2005真题及解析

1、2005年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题：1-6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(1)设 y=(1+sinx)x，贝y dy=.3(1 + x)2曲线y = '的斜渐近线方程为.v'x1 xdxo2厂0 (2 x2) 1 x21(4)微分方程xy"+2y =xln x满足y(1)=的解为.9 当 X-； 0 时，(x) =kx2 与：(x) - . 1 xarcsin x - cosx 是等价无穷小，则 k=.(6)设1/'2'3均为3维列向量，记矩阵A = (： 1, ： 2, ： 3), B = (：1：2

2、：3,：12：2 43 , ：1 3：293),如果A =1,那么B =.二、选择题：7-14小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内(7)设函数f(x) =limn 1 x3nn卜-，则 f (x)在(-：)内(A)处处可导.(B)恰有一个不可导点(C)恰有两个不可导点(D)至少有三个不可导点(8)设F(x)是连续函数f (x)的一个原函数， 则必有()(A) F (x)是偶函数二f (x)是奇函数.(C)F(x)是周期函数二f(x)是周期函数"M = N"表示 M的充分必要条件是 N(B) F (x

3、)是奇函数=f (x)是偶函数.(D) F (x)是单调函数=f (x)是单调函数(9)设函数y =y(x)由参数方程£ 2X=t2 +2t,y = l n(1 +t)确定，则曲线y = y(x)在x = 3处的法线与x轴交点的横坐标是()1(A)In 2 3.8(C)-81 n2 3.1(B) In 2 3.8(D) 8ln 2 3.(10)设区域D =(x, y)x2 + y2兰4, x HO,y HO , f(x)为D上的正值连续函数，a,b为常数，则(A) ab 二.(B)竽.(C) (a b)二.(D)ji2xHy(11)设函数u(x, y)二(x - y)- y)亠i ；

4、'(t)dt,其中函数具有二阶导数，具有一阶导数，则必有 ()(A).2- 2:u: u-2 - 1 - 2x；y(B)；：2u；：2u一 2 - 一 2x；y(C)；：2u:x :y；：2u(D)；：2u；：2u；:y：X2 (12)设函数 f(X)二 一,则() e -1(A) x=0, x=1都是f(x)的第一类间断点.(B) x=0, x=1都是f (x)的第二类间断点.(C) x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点(D) x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点(13) 设'1, '2是矩阵 A的两个不同的特征值，

5、对应的特征向量分别为>1,2U >1，A(1 2 )线性无关的充分必要条件是()(A)0.(B)'2=0.(C) h =0.(D) '2=0.(14) 设A为n(n -2)阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B, A*,B*分别为A, B的伴随矩阵，贝U()(A)交换A*的第1列与第2列得B* .(B)交换A*的第1行与第2行得B* .(C)交换A*的第1列与第2列得- B* .(D)交换A*的第1行与第2行得- B* .三、解答题：15- 23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分11分)x设

6、函数f (x)连续，且L(xt)f (t)dt f (0)0,求极限 limf (x -t)dt0(16)(本题满分11分)1如图，G和C2分别是y (1 ex)和y二ex 的图象，过点(0,1)的曲线C3是一单调增函数的图象 过C2上任一点M (x, y)分别作垂直于x轴和y轴 的直线lx和ly 记C1,C2与lx所围图形的面积为 S,(x) ； C2,C3与ly所围图形的面积为 S2(y).如 果总有S,x)二S2(y)，求曲线C3的方程x二(y).(17)(本题满分11分)如图，曲线C的方程为y = f(x)，点32 是它的一个拐点，直线l1与l2分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处

7、的切线，其交点为(2, 4).设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积92科分 ° (x x) f (x)dx.(18)(本题满分12分)用变量代换x =cost(0 : t ：二)化简微分方程(1 - x2)y - xy y = 0，并求其满足x.=1,yx.=2的特解.(19)(本题满分12分)已知函数f(x)在0, 1上连续，在(0,1)内可导，且f (0) =0, f (1) = 1.证明:(I) 存在；(0,1),使得 f)=1 ;(II) 存在两个不同的点,(0,1)，使得f( )f)=1.(20)(本题满分10分)已知函数z=f(x, y)的全微分dz =2xdx 2y

8、dy，并且f(1,1) = 2.求f (x, y)在椭圆域 D =( x, y) x22牛1上的最大值和最小值(21)(本题满分9分)计算二重积分D316 (k为常数)，kx2 十 y2 1dcr，其中 D =( x, y) 0 兰 x 兰 1,0 兰 y 兰1(22)(本题满分9分)确定常数a,使向量组1二(1,1, a)T ,2二(1, a,1)T , ： - (a,1,1)T可由向量组+ =(1,1,a)T2 =(-2,a,4)T,飞=(-2,a,a)T线性表示，但向量组 “乜、不能由向量组：j, >2, >3线性表示.(23)(本题满分9分)1 2已知3阶矩阵A的第一行是(

9、a,b,c), a,b,c不全为零，矩阵B= 243 6且AB =0,求线性方程组 AX =0的通解.2005年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(1)【详解】先求出函数的导数，再求函数在某点的微分方法1利用恒等变形得y =(1 sinx)x = exln(1 'sinx)，于是卜 x In(1 -sin x)y ecosxIn(1 sinx) x，1+s in x从而dy = y "(ir)dx =ndx.x=ji方法2：两边取对数，In y二xln(1 sin x)，对x求导，得y=ln(1 sin x)xcosx1 sin xcosx 于是 y = (1

10、 sin x)x ln(1 sin x) x，1+s in x故dy = y"(江)dx =兀 dx.(2)曲线3(1 亠 x)1 2的斜渐近线方程为x【详解】由求斜渐近线公式y二ax b (其中a二lim丄，b = liF xlim f (x) - ax)，得:x L :321x 八：x xa =讪便=lim (1 X) x_W xbpmf(x)3.(1 + x)?axlimxtH3-x3x 飞，d cost1 cos2t二-arctan(cost)|2于是所求斜渐近线方程为(3)【详解】通过还原变换求定积分n方法 1 令 x 二 si nt (0 : t ：)，则方法 2：令-、

11、1 -x0 (2 - x2)、1 一 x20 (2 - sin t) cost 0 2 -sin t 二 t，有 x2 =1t2,所以有 xdx 二-tdt，其中 0 : t : 1.【答案】1 xdx0 (2 _x2) J -x21 -dt0fT二 arcta ntxlnxx.39【详解】求方程 3 - P(x)y =Q(x)的解，有公式P(x)dxQ(x)e dx C(其中C是常数).dx-P(x)dxy =e2将原方程等价化为y y = In x，于是利用公式得方程的通解x-x x 50dx2dxy 二e 2 lim lnx ex dx C1 211 C2 x ln xdx C= xln

12、x x2 ,(其中 C 是常数)x39 x111由y(1) 得C = 0，故所求解为yxl nxx.939(5)【详解】由题设,P(x)/+xarcsin xJcosxx arcsi nx + 1cosxlimlim2= lim kx2x0 ： (x) xpkxxT kx2(. 1 x arcs in x. cos x)二丄 lim2k x刃2kxarcs in x 1-cosx 1arcs in x1-cosx又因为1cox;l i mX0x所以由题设：(x)1 “1x 0 : (x)2k 2limarcs inx limX ：°x()吒Xr 0 时-：i(x) ：(x)，所以ar

13、cs in x 二 u lim = 1 u e sinu存1，【答案】【详解】1111方法 1 因为1 *2 *3)=(123)1，(口1+2口2+4。3)=(。1, Jj十3。2 +9C（3）= （,0（2, 口3）3,'9J1 1 1故 B = （% +a2 +a3 % 坨 a2 +4 5 耳 + 3 g2 + 9 =（常,0（2 3）1 2 3 .1 49_记A=（：1,：2,：3），两边取行列式，于是有1B =|A 111 12 3 =1 疋 2 =2.方法2:利用行列式性质4 9(在行列式中，把某行的各元素分别乘以非零常数加到另一行的对应元素上，行列式的值不变；从某一行或列中

14、提取某一公因子行列式值不变)B =-.：:3：:1 2二2 .去巾宀 3二2 9二32 413 42=些 +0（2 +3,2 +3口3 ,2口2 +8口3 = = = = % +口2 +3,2 +30（3,20（31 42=2 %,。1 43=2 % 叫 7卫2 +3,0（3=2 S ao a,心3厶 12' 2，3又因为人=些，2,0(3 =1，故B =2A =2.二、选择题【答案】C【详解】分段讨论，并应用夹逼准则，当 |x|：1 时，有乞 n 1 |x|3n 乞 n 2，命 n：取极限，得 lim n 1=1 ,limn2=1， n 厂n § ：由夹逼准则得f(x) =

15、lim n订严 -1 ；当 |X|=1 时，f(x) =lim n11 =lim2 =1 n>C，当 |x| 1 时，IX I3 二 n |x| < n 1 |xfn E n 2|xT = n 2 |x 3，命 n； 粘取极限，得竖02 | x |3n =|x |3，由夹逼准则得313f（x）Jim:|x| （讦 1）n =|x|.所以|1, f （x）：lxx勺1|x|-1再讨论f (x)的不可导点.按导数定义，易知x= 1处f (x)不可导，故应选(C).(8) 【答案】A【详解】方法1应用函数奇偶性的定义判定，x函数f(x)的任一原函数可表示为F(X) f (t)dt C，且

16、F (x)二f(x).当 F(x)为偶函数时，有 F (_x) = F (x)，于是 F ( _x) ( _1) = F (x)，即- f (-x)二 f (x)，亦即 f (-X)二-f(x)，可见 f (x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则F(-x)二：f(t)dt C，令t=-k，则有dt=-dk，_xxx所以F( -x)f (t)dt C = - o f(-k)dk C = ° f (k)dk C = F(x)，x从而 F(x)= i0 f(t)dt+C 为偶函数，可见(A)为正确选项.方法2：排除法，令 f (x) =1 ,则取 F(x) = x 1,排除(B)、(

17、C);1 2令 f(x)=x，则取 F(x) x ,排除(D)；(9) 【答案】A2【详解】当x=3时，有t23，得ti=1,t2=-3(舍去，此时y无意义)，dy 丄曲线 y = y(x)的导数为或 =0 f(y)“ f(x) t =1一2，dx dx 2t +22(t+1)dt1所以曲线y = y(x)在x=3(即t -1)处的切线斜率为-8于是在该处的法线的斜率为-8,所以过点(3,ln 2)的法线方程为y -1 n 2 二-8(x-3)，一 1令y=0,得其与x轴交点的横坐标为：ln 2 3,故应(A).8(10)【答案】D【详解】由于积分区域D是关于y = x对称的，所以x与y互换后

18、积分值不变，所以有a. f(x) b* f (y) d v f(xp , f(y)a、f(y) - b、f(x)1 af(x) b jf (y)ajf (y) b Jf (x) . ,d-2 d J(x). f (y)、f(y) . f (x)a b a b 1 辭 a b宀、*d2. 应选(D).2 D242(11)【答案】Bi u【详解】因为(x y) ：； ：i '(x-y) H (x y)(x-y),(x y)- (x -y) (x y) '- (x- y), :y,_,2韦仝“(X y) (x - y) J (x K- y), .x'U = (x y) 一 ：

19、(x -y) '- (x y)宀(x-y), .x .y (x y) "y)，(xy)gy),:y:x2-2:u02y，应选(B).(12)【答案】D【详解】由于函数 f (x)在X = 0 , x = 1点处无定义，因此是间断点且l imf (x)工处，所以x = 0为第二类间断点; x=0(D).limf(x) =0， lim f(x) - -1，所以x=1为第一类间断点，故应选x 1 'X-(13)【答案】B【详解】方法1利用线性无关的定义12分别是特征值'1, '2对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有AS 一 'r1,A -

20、2： 2 二 A(： >2)一 仁 1 2： 2.设有数 k1,k2，使得 & ： 1 k2 A( ： 2) = 0，则kr1 k2'r1 k2 -(k1 k2'11 k2'-0.因'2，因不同特征值对应的特征向量必线性无关，故：'1'2线性无关，则ki + k2 人1 = 0,k?畫2 = 0.1 九当c =花学0时，方程只有零解，则ki=0,k2= 0,此时G1, A（Oti+G2）线性0入2无关；反过来，若:-1， A（ 1亠"：2 ）线性无关，则必然有2=0（否则，宀与A（1匕2）=、1线性相关），故应选（B）.方

21、法2:将向量组的表出关系表示成矩阵形式12分别是特征值'1, '2对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有A冷- 冷，A2 - '22= A（ 匕2） - 仁（1九Ja20為丿因'2，因不同特征值对应的特征向量必线性无关,知：'1/'2线性无关.若1，由于 |：冷，A（> 1 ：.勺）= 冷，1'2H2A（：1： 2）线性无关，则 r ：1,A（：1 *2）=2，则/*1 1） 11站1'12 = r（%,。2 ）< min 2 r （% ,口2 ）,r'兰rI0儿丿11。-2 Jj1。'-2&l

22、t;2，1<0<2，从而<0=2，从而广1-2，又：，12线性无关，则/1 /-11人r（«12 ）=r<0'-2 几丿I02 /=2，rgAq +企）产r （：'1/'2=2从而:1，AC、：匕）线性无关的充要条件是二兔2 =0.故应选（B）.方法3:利用矩阵的秩分别是特征值 1, '2对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有A_J -'-九人一:辺-'2-：辺=A（_y 卜工2）- 仁:訂“心二2.因.2，因不同特征值对应的特征向量必线性无关，故1 = 2线性无关，又A（r *2）= '1 *

23、'22，故-1， A（r 叱辽）线性无关=r（: 1, A（: i : 2） = 2将：勺-1咅加到第2列又因为：対，、冷川'二2二2=宀匕二2则 r （宀，计、冷.2-2） = r （-； 1,人2'丄2） = 2 ：= '2=0 （右，2 0 ,与 r（、； 1,人2'；2） = 2 矛盾）方法4:利用线性齐次方程组冷2分别是特征值'1, '2对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有A冷- 冷，A2 - '22= A( 匕2) - 仁i：U-1/-2线性无关,由1 = '2，因不同特征值对应的特征向量必线性无关，

24、故 1,A（1卜二2）线性无关：'1, '1'22线性无关/ 、<0妇丿<X2丿=0，只有零解,：'1,，11 一22 X =0 只有零解，又：j,'匸 1 * '22'J(«12 )I0'-2t=0只有零解1,2线性无关时12 丫 =0只有零解，故丫二/ 、X1<0 '-2 丿“2丿=0的系数矩阵是个可逆矩阵,1（=妇鼻0，故应选（B）0打方法5:由1 = 2 ,1,2线性无关特征向量的定义，有：2分别是特征值'1, 2对应的特征向量，根据特征值、A" - 'v：,A

25、： - '22= A（m h.二2）-二:匸边二2向量组I ：冷，爲2和向量组II ： ： 1, A(1壯22)=2 显然向量组II可以由向量组I线性表出；当2=0时，不论的取值如何，向量组 I可以由向量组II线性表出 '；1） （，1用1 川,鼻2'； 2 ）=/ 2/ 2亠-丄Ad)，从而I , II是等价向量组=当，2 =0时,r :対，二2= r 宀，2= 2B、（Ei2A）aE ；,2又A4=A，BB，故A E b'aE12，又因B = A，故 A*E12 = -B(14)【答案】(C)【详解】方法1:由题设，存在初等矩阵Ei2(交换n阶单位矩阵的第

26、1行与第2行所得)，使得E12A =B，(A进行行变换，故A左乘初等矩阵)，于是又初等矩阵都是可逆的，故巳2=电 ,12 E匚12又巳2 = E = -1 (行列式的两行互换，行列式反号),E12 E12，故* *即A E12 =B，可见应选(C).方法2：交换A的第一行与第二行得 B，即B =E12A.又因为 A是可逆阵，巳2 = -E = 1，故 B| =|E12A =|E12 A= AHO,1 1 1所以B可逆，且B =(巳2人)二A E12. * *B = A E 12 = A E12三、解答题(15)【详解】 作积分变量代换，命 X-t=U，则x0x0 f (x -t)dt = x

27、f(u)(-du)二 0 f(u)du ,于是x0(X-t)f(t)dtXX0 f(X-t)dtXXx0 f(t)dt- 0tf(t)dtXX0 f(u)du整理x0 f(t)dtXo f (u)du - xf (x)洛必达法则上下同除limx »0Xo f(u)du xf(x)1 xX 0f(t)dt1 f(x)-XXn f(t)dtlim fx 0 x 0X而W xX0f(t)df)l t-m0l ifmx x； 0)f(0)所以由极限的四则运算法则得,1 XX0f(t)dt1 X叽；0 f(t)dtf(0)f (0) =0 11 Xf(x)fdtf(0)f(0)lim f (x

28、) lim 1 Xf(t)dt0x 0(16)【详解】由题设图形知，C3在C1的左侧，根据平面图形的面积公式得,1 + 13(x)二.09 二(1 d)dt 匕® -x-1)，yS2(y) = 1 (ln t -(t)dt，由 SNx)二 S2(y)，得1y2(ex -x-1) = 1 (lnt -(t)dt，注意到M (x, y)是y = ex的点，1y于是-(y Tn y T) = J (In t ®(t)dt11两边对y求导得丄(1 -丄)=ln y -(y)，2y整理上面关系式得函数关系为：X二(y) =ln y -2y(17)【详解】由直线l1过(0,0)和(2,

29、4)两点知直线l1的斜率为2.由直线l1是曲线C在点(0,0)的切线，由导数的几何意义知f(0) = 2.同理可得 (3) =-2.另外由点(3,2)是曲线C的一个拐点知f “(3) = 0.由分部积分公式，3232233L(x2 +x)f "(x)dx= (X2 +x)df "(x) =(X2 +x) f ”(x) 0J。f ”(x)(2x + 1)dx= (32 +3)f “(3) _(02 +0)f “(0) _ 0 f “(x)(2x + 1)dx333L (2x +1)df lx) = -(2x +1) f Xx) 0 + 2f x)dx3=(2x3+1)f (3

30、) +(2 x0+1)(0) +2 J。f (x)dx=16 2f (3) - f (0)H 20.y二鱼生一丄矽,ydt dxsi nt dtdy dt r cost dy dt dx sin2t dt丄雪(),sint dt sin t代入原方程,(1cos21)cost dysin2t dt1 d2y sin t dt211 dy卜药向一石即y化简得2? y =0 ,其特征方程为dt22r +1=0,特征根A#-i,通解为 y =Gcost C2sint(18)【详解】dx由题设-cost(0二)，有-sint，由复合函数求导的链式法则得所以 y =G cost C2sin t = C1

31、x C2 一1 -x2，将初始条件 y x=1,代入得，1 =G x0 + C2 J1_02 =C2，即 C2=1.yJCk C/、1-x2 ) = C <2汉0将 yx=0 = 2 代入得 2 = C1 + C1，即 C1 = 2.2“1 一02将G = 2,C2 =1代入通解公式得满足条件的特解为y = 2x1 - x2, -仆：x ： 1.(19)【详解】(I)令 F(x) = f (x) -1 x，则 F(x)在0，1上连续，且 F(0) =1 ： 0, F(1) = 1 0,于是由闭区间连续函数的介值定理知，存在(0,1),使得F)=0, 即卩f)= 1：(II)在0,和,1上

32、对f (x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点f(1)-f()1-于是f ( )f ()f ( ) 1 - f( ) 1 -=r(20)【详解】.:zZ'Z由 dz=2xdx2ydy知2x,2y2x两边积分得；:x(0, ),( ,1)，使得 f ( ) = f()：(0),f()-022Z-z = f (x, y) = x c(y).将 z(x, y) = x c( y)代入 2y 得 c (y) = 2y .所以2 2 2c(y) = y c.所以z = x -y - c.再由x=1,y=1时z = 2知，c = 2.于是所讨论的函 数为 z = x2 - y2 2.2求

33、z在x2 <1中的驻点.4三=2x,三= -2y得驻点;x: y(00,)对应的2讨论-xy22在D的边界x27 =1上的最值，有两个方法方法1把y2 =4(1-x2)代入z的表达式，有Z=x2 _y2 2=5X2 _2，_1岂 x1zx = 10x命z；=0解得x=0，对应的y = ±2，乙乂曲金=_2还要考虑1兰x兰1的端点x = ±1，对应的y = 0，z x才,y=0 = 3由z = 2, z - -2, z = 3比较大小，故mi nz = -2(对应于 x=0， y = 2)， maxz = 3(对应于 x = 0，y = 2 )方法2：用拉格朗日乘数法，

34、作函数 F (x, yj ) = x2 - y2 2 (x2 '1)4Fx = 2x = 2(1 )x = 0,解方程组Fy y = 2y 丄 y = 0內 222 F$ = x2 +»_1 =0人4由上面的第一个方程解得x =0或 - -1 :当x=0时由最后一个方程解得y = 2 ;当 怎二1是由第二个方程解得 y = 0 ,这时由最后一个方程解得 x =：T.故解得4个可能的极值点(0,2),(0, -2),(1,0),( -1,0).计算对应 z 的值:再与(0,0) 2比较大小，(0, -2) = -2，Z结论同方法 1.(1,0)=3, z(,0) = 3的圆周，

35、戈怆D如下图为D1与D2.-1 =0为以O为中心半径为(21)DiD后一个积分用直角坐标做，2 2【详解】D : x y(x, y)D2(x, y) D1亠 ii(x2 y2 -1)dxdyD21 1(x2 y2 -1)dxdy = ：0d 12(x2 - y2D2-1)dy:(x2 T)-(x2 -1)、.1 -x2 £ -卡/护dx1 2 222 21 2122 12?(x2)(1-x2) dxx2dxdx (1-x2) dx03300 330-1 - 'coshdt 1 2 2(1 cos2t)2dt3 3 033 022 13 4 02(1 2C0S2t2cos 2t

36、) dtIT2(1 2cos 2t 1 C0S4t)dt2丄34 022cos 2t C0S4t)dt2 13二21+ X X X： + x： 3 422o2(2cos2t C0S4t2 )dt兀 2103 83 4前一个积分用极坐标做，1_3Tt+ 8D1所以(1_x2 _y2)dxdy =JJx2+y2 -1dji “ = +81 20(1-r )rdrjr ji方法2：由于区域D2的边界复杂，计算该积分较麻烦，可以将D2内的函数 扩充”到整个区 域D= dAJ D2，再减去 扩充”的部分，就简化了运算即(x2 y2 -1)d，(x2 y2 -1)d 二- (x2 y2 -1)d匚D1D2

37、因此仃 X2 + y2 _1db =.(1-x2-y2)d 亠 I I (x2 y2 - 1)d二DiD2=(1-x2 -y2)d匚 + . (x2y2 _1)dt _ (x2 y2_1)dtDiD1由极坐标所以2 2 2 2= 2. (1 x -y )d；+ . (x y 1)d匚D1H(1-x2-y jdxdy昶(1-r )rdr =D1!i(x2y2 -1)d-1 1 2 =0【3 y Tdy 二32 2x +y 12 = 211 221 x210dy0(x2 y2-1)d.023 (y1) xQdy122 v3210(y 右GV(22)【详解】方法 1：记 A = (>1,2,

38、>3), B = ( ：1, ：2, ：3)由于：1, ：2, ：3 不能由 >1, >2, >3 线性表出，故r(A) ：3，(若r(A)=3，则任何三维向量都可以由宀宀，3线性表出)，从而把第2、行加到第1行2+a提取第1行的公因子(2 a)(2 a)2行-1行3行 -1行(2 a)a -1a -1按第3列展开(2+a) (1)卡沃仆0a -1a-102一(2 a)(a -1) -0无解)，故a = 1符为方程组=故1,2,3：1 栢=?1 =1,1,1，则 >1 = >2 =3i 0 上 2 * 0 上 3，2, >3线性表出(因合题意当a =

39、-2时，由于_1B、A= 1£-2-2-2 :-2 :-2 :-2-1行,13行 - 1行1 3 1 100-21 _3(其中(-1)1指数中的1和3分别是1所在的行数和列数从而得a =1或a当a =1时,因r(B) =2 =r(B、2)=3，系数矩阵的秩和增广矩阵的秩不相等，故方程组BX -无解，故>2不能由'1, '2, '3线性表出，这和题设矛盾，故 a - -2不合题意因此a = 1 方法2：对矩阵A =123、，2,3)作初等行变换，有：1，2，3 )=11-2-2a12行_1行，3行_1行耳当 a - -2 时，A -2-2:11a 1a+2

40、a+2:0a -104 +2a3a:01-a 1一 a-2-2:11a1a+2a+2:0a 100a 4:0+3(1-a)1-a-2-2 :11 -2"|114aa000-3j0100,不存在非零常数k1,k2, k3，31、1、ss-30+ k20+ k30<3><0><0丿<_6>0-6使得：2不能由当a =4时,Lt"线性表示，因此a 一2 ；100-2-240-3非零常数k1,k2,k3 ,使得4、50=k10+ k26+ k361一36<0<0>-：%不能由，：2, ：3线性表.因此a = 4.而当a卞-

41、2且a = 4时，秩r G_,1 H：-"2 ? '；3)二3，此时向量组-S,用2," 3可由向量组11aB = (。1,02,。3 "必，卩2,爲)=1a1la11：1, ：2, ：3线性表示又1-2-21aaa4a"1 12行-1行，|/ 一 / 一0 a -13行一 1行x a：0 1 -aa1 -a1-a21 -20 a+2 a+20 4 2a 3a11a:1-223行 0 a-11 -a: 0a + 2a + 2,2 亠002aa : 0 6+3a 4a+2由题设向量组=,：2, ：3不能由向量组一:訂，_：2,二3线性表示，则方程组

42、1：-1 >2 ：'3 X十或?1 ?2 ：'3 乂二為或>12 -'3 *3无解，故系数矩阵的秩=增广矩阵的秩，故r(Bp- n： ： 2 ： 3 .又当 a -2 且 a = 4 时，r (B) = 3，则必有 a-1=0 或 2_a-a2 = 0，即 a=1或 a = -2.综上所述，满足题设条件的 a只能是：a =1.方法3：记A二冷，：宀,B= s辽，一：3 ，对矩阵 A B作初等行变换，得1-2-21aaa4a11 a(A：B)= a 1,鼻 2,肚3： 01,32,33)= 1 a 1'a 11维向量都可以由2行-1行，3行1001a -11 -a1 -20 a 204 2a-2 Ia+23a11a:13