2012年江苏省南通市高三第一次调研数学试卷(2)

1、2012年江苏省南通市高三第一次调研数学试卷一、填空题本大题共14小题，每小题5分，共50分把正确答案填在相应位置2 21._（5分）（2012?江苏一模）在平面直角坐标系xOy中，双曲线y -x2=1的离心率为 _.2.（5分）（2012?江苏一模）若复数z满足（1+2i）z=-3+4i（i是虚数单位），则z=_.3.（5分）（2012?江苏一模）在如图的算法中，最后输出的a,b的值依次是.;a*l；12II心;cri a! Y；Pnnt bI4._（5分）（2012?江苏一模）一组数据9.8,9.9,10,a,10.2的平均数为10,则该组数据的方差为 _ .5._（5分）（2012?江苏

2、一模）设全集U=Z，集合A=x|x2-x-2为,x，则？UA_（用列举法表示）.6.（5分）（2012?江苏一模）在平面直角坐标系xOy中，已知向量；二（1, 2）,：-*匸二（3, 1），贝石诩=_7.（5分）（2012?江苏一模）将甲、乙两个球随机放入编号为1,2,3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1,2号盒子中各有1个球的概率为 _.&（5分）（2012?江苏一模）设P为函数 尸仁（时1）图象上异于原点的动点，且该图象在点P处的切线的倾斜角为0,贝U B的取值范围是 _ .9.（5分）（2012?江苏一模）如图，矩形ABCD的三个顶点A、B、C分别在函数的图象上，且矩形

3、的边分别平行于两坐标轴，若点A的纵坐标为2，则点D的坐标为_.10.（5分）（2012?江苏一模）观察下列等式:13=1,13+23=9,13+23+33=36,13+23+33+43=10033333*、猜想：1 +2+3 +4 + n =_(nN)11.（5分）（2012?江苏一模）棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E,F分别为AA1,C1D1的中点，G是 正方形BCC1B1的中心，则空间四边形AEFG在该正方体的面上的正投影的面积最大值为 _ .12.（5分）（2014?浙江模拟）若a1x0）的等差数列，后三项依次成公比为q的等比数列，若a4-a1=88，则q的所有可能的值

4、构成的集合为 _.二、解答题本大题共6小题，共30分解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤15.（5分）（2014?湖南模拟）在斜三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.（1）若2sinAcosC=sinB，求卫的值；q（2）若sin（2A+B）=3sinB，求二的值.tanC16.(5分)(2012?江苏一模)如图，在六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1/CC1,A1B=A1D,AB=AD. 求证：(1)AA1丄BD;(2)BB1/DD1.13. （5分）（2012?江苏一模）如图，在平面直角坐标系xOy中,F1,F2分别为椭圆224工1的左、a2b2右焦点，B,

5、C分别为椭圆的上、下顶点，直线BF2与椭圆的另一个交点为，则直线CD17.(5分)(2012?江苏一模)将52名志愿者分成A,B两组参加义务植树活动，A组种植150捆白杨树苗，B组 种植200捆沙棘树苗.假定A，B两组同时开始种植.(1)根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时卫小时， 种植一捆沙棘树苗用时 丄小时.应如何分配A,B两组的人数，使植树活动持续时间最短？(2)在按(1)分配的人数种植1小时后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗仍用时，小时，而每名志愿者种植一5捆沙棘树苗实际用时 上小时，于是从A组抽调6名志愿者加入B组继续种植，求植树活动所持续的时间.2 2 218.(5分)(2

6、012?江苏一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1:(x+1)+y =1，圆C2： (x-3)+(y-4)2=1.(1)若过点C1(-1,0)的直线I被圆C2截得的弦长为上，求直线I的方程；5(2)设动圆C同时平分圆C1的周长、圆C2的周长.1证明：动圆圆心C在一条定直线上运动；2动圆C是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由.19.(5分)(2012?江苏一模)已知函数f(x)=x+sinx.(1)设P, Q是函数f(x)的图象上相异的两点，证明：直线PQ的斜率大于0;兀(2)求实数a的取值范围，使不等式f(x)為xcosx在| 一，上恒成立.2* * 220.(

7、5分)(2012?江苏一模)设数列an的各项均为正数.若对任意的n N，存在k N，使得an+k=an?an+2k成立，则称数列an为Jk型”数列.(1)若数列an是J2型数列，且a2=8,a8=1,求a2n；(2)若数列an既是“3型”数列，又是“4型”数列，证明：数列an是等比数列.三、附加题21.(2012?江苏一模)选做题(A)选修4-1：几何证明选讲如图，AB是半圆1,求DE的长.(B)选修4-2：O的直径，延长AB到C,使7 戸崔,CD切半圆于点D,DE丄AB，垂足为E,若AE:EB=3:矩阵与变换在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx在矩阵1对应的变换下得到的直线经过点P(4,1

8、),求实数k的值.1 0.(C)选修4-4:坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆尸as inB(a0)与直线p 進(B+匹)二1相切，求实数a的值.(D)选修4-5:不等式选讲已知a,b,c满足abc=1,求证：(a+2) (b+2) (c+2)22.(2012?江苏一模)已知数列an满足：ai=(1)求a2,a3的值；(2)证明：不等式0vanvan+i对于任意nN*都成立.23.(2012?江苏一模)本题主要考查抛物线的标准方程、简单的几何性质等基础知识，考查运算求解、推理论证的 能力.如图，在平面直角坐标系xOy，抛物线的顶点在原点，焦点为F(1,0).过抛物线在x轴上方的不同两点A、B

9、, 作抛物线的切线AC、BD，与x轴分别交于C、D两点，且AC与BD交于点M，直线AD与直线BC交于点N.(1)求抛物线的标准方程；(2)求证：MN丄x轴；(3)若直线MN与x轴的交点恰为F(1,0),求证：直线AB过定点.2012年江苏省南通市高三第一次调研数学试卷参考答案与试题解析一、填空题本大题共14小题，每小题5分，共50分把正确答案填在相应位置1.（5分）（2012?江苏一模）在平面直角坐标系xOy中，双曲线y2-x2=i的离心率为一7考点：双曲线的简单性质.专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：根据双曲线的标准方程，确定几何量，进而利用离心率公式可得结论.解答：解：由题意

10、，a=b=1,.-=e亠-3故答案为：:点评：本题考查双曲线的标准方程与几何性质，属于基础题.2.（5分）（2012?江苏一模）若复数z满足（1+2i）z=-3+4i（i是虚数单位），则z= 1+2i考点：复数代数形式的乘除运算.专题：计算题.分析：通过复数方程，两边冋乘1-2i,然后求出复数z即可.解答：解：因为复数z满足(1+2i)z=-3+4i，所以(1-2i) (1+2i)z=(-3+4i) (1-2i), 即5z=5+10i,所以z=1+2i.故答案为：1+2i.点评：本题考查复数方程的求解，复数代数形式的乘除运算，考查计算能力.3.（5分）（2012?江苏一模）在如图的算法中，最后

11、输出的a,b的值依次是2,1 a*-l；I心 ；tf；a；by Print b :II考点：伪代码. 专题：图表型.分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据程序所示的顺序，可知：该程序的作用是利用顺序结构计算变 量a,b,c的值，并输出，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输 出结果.解答：解：行数a,b,c的值的情况1行：a=12行：b=23行：c=34行：c=15行：a=26行：b=1故最后输出的a,b的值是2,1. 故答案为：2,1.* fl*1亡:;by* Pnrtt 6bp点评：求一个程序的运行结果我们常用模拟运行的方法，但在模拟过程中要注意对变量值

12、的管理、计算及循环条 件的判断如果变量较多，或循环次数较多时，也可用表格对数据进行管理.4.（5分）（2012?江苏一模）一组数据9.8,9.9,10,a,10.2的平均数为10，则该组数据的方差为0.02考点：极差、方差与标准差.专题：计算题.分析：根据这组数据的平均数是10,写出平均数的表示式，得到关于a的方程，求出其中x的值，再利用方差的公式，写出方差的表示式，得到结果.解答：解：数据9.8,9.9,10,a,10.2的平均数为10,9849斜1。4士10.2=105a=10.1,这组数据的方差是 (0.04+0.01+0+0.01+0.04)=0.02 5故答案为：0.02.点评：本题

13、考查一组数据的平均数的应用，考查求一组数据的方差，本题是一个基础题，如出现一定是一个送分 题目5. （5分）（2012?江苏一模）设全集U=Z，集合A=x|x2-x-2为，x Z，则?uA 0,1（用列举法表示）考点：补集及其运算；一兀二次不等式的解法.专题：计算题.分析：求出集合A中一兀二次不等式的解集，确定出集合A，根据全集U=Z，求出集合A的补集，找出补集解集中的整数解，列举出集合A的补集即可.解答：解：由集合A中的不等式x2-x-2%,因式分解得：(x-2) (x+1)为,fx - 20 fx- 20 x+1 0 x+10解得：x2或x - 1,A=x|x丝或x- 1，且x Z，又全集

14、U=Z,?UA=x|-1v x v 2，且x Z=0,1.故答案为：0,1点评：此题考查了补集及其运算，以及一兀二次不等式的解法，做题时学生注意审清题意，求补集时注意全集的 范围.6.（5分）（2012?江苏一模）在平面直角坐标系xOy中，已知向量；二（U）,：-爭二（3, 1），则訂=_0.考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.专题：计算题；平面向量及应用.分析：根据条件 0-1. 2）,且（3,1）求出却然后再根据向量数量积的坐标计算公式即可求出解答：解: 書二12),：一厩二6 1)&2；-2(3,1)=(-4,2)b=(1,2)?(-4,2)=-4+4=0故答案为0点评：本

15、题主要考查了平面向量的数量积，属常考题，较易.解题的关键是求出 方以及熟记平面向量数量积的坐标计算公式！7.（5分）（2012?江苏一模）将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限,则在1,2号盒子中各有1个球的概率为.考点：排列、组合及简单计数问题；古典概型及其概率计算公式.专题：计算题；概率与统计.分析：确定所有放法，求出在1,2号盒子中各有1个球的放法，即可得到结论.解答：解：甲、乙两个球随机放入编号为1,2,3的3个盒子中，每个球都有3种放法，故共有3X3=9种放法在1,2号盒子中各有1个球，有2种放法2在1,2号盒子中各有1个球的概率为-故答案为：-9

16、点评： 本题考查排列知识，考查概率的计算，属于基础题.8（5分）（2012?江苏一模）设P为函数尸仁图象上异于原点的动点，且该图象在点P处的切线的倾斜TT TT角为0,贝U B的取值范围是丄,）.32考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的几何意义.围，而0n,从而可求0的取值范围.解答：解：函数尸,y=；T吩 （当且仅当匚，=取等号），yq .；, + 8）,tan0 - 又0W殳n,专题：分析：计算题.由f，(x)=，再利用基本不等式求其范围，从而得出切线的倾斜角为0的正切值的取值范3x+l .32故答案为：丄，丄）.点评：本题考查导数的几何意义，关键在于通过导数解决问题，难点在于对切

17、线倾斜角的理解与应用，属于中档 题.9.（5分）（2012?江苏一模）如图，矩形ABCD的三个顶点A、B、C分别在函数10.(5分)(2012?江苏一模)观察下列等式：1 =1,331 +2 =9,*3 J J 1 +2 +3 =36,33331 +2 +3 +4 =100的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴，若点A的纵坐标为2，则点D的坐标为-2_4-考点：指数函数的图像与性质；对数函数的图像与性质；幕函数的性质.专题：函数的性质及应用.分析：先求出A、B、C的坐标，设出点D的坐标，再根据 门1=|,求出点D的坐标.解：由题意可得,再由矩形的性质可得A、B、C点坐标分别为 【g刃,（4,2

18、）,（4, 4）-=31匸丨，故（m-二，n2）=（0,，设D(m,n),点评:=0,n-2=-解得m=,4门=二，故点D的坐标为（4丄）.本题主要考查幕、指、对函数的图象与性质以及基本运算能力，向量相等的条件，属于基础题.故答案为111解答:猜想：1 +2 +3 +4 + n = - JZ(nN).考点：合情推理的含义与作用；等差数列.专题：计算题.分析：观察等式右边的数的规律，从中发现右边数是（1+2+3+n）2,从而可求出所求.解答：解：将这些算式进行整理.13=1,13+23=9=32=(1+2)3,13+23+33=36=62=(1+2+3)2,13+23+33+43=100=102

19、=(1+2+3+4)2,由以上规律可得13+23+33+n3=（1+2+3+n）2=_ 2.2故答案为：一22点评：本题主要考查合情推理能力和等差数列知识，提醒学生从等号右侧数都为平方数入手寻找发现规律，属于基础题.11.（5分）（2012?江苏一模）棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E,F分别为AAl,C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则空间四边形AEFG在该正方体的面上的正投影的面积最大值为2综上所述面积最大的是丄,故答案为：丄.2点评：本题考查平行投影及平行投影作图法，考查一个空间四边形在不同面上的投影不同，得到的面积也不同,本题需要运算.兀12.（5分）（20

20、14?浙江模拟）若a1xWinx0)的等差数列，后三项依次成公比为q的等比数列，若a4-孑割，则q的所有可能的值构成的集合为_J L.考点：等差数列与等比数列的综合.专题：综合题；等差数列与等比数列.分析：先假设数列的项，禾U用三项依次成公比为q的等比数列，建立等式，从而可得公差的范围及取值，由此,即可求得结论.解答：解：设a1,a1+d,a1+2d,a1+88，其中a1,d均为正偶数，则/后三项依次成公比为q的等比数列J (呂+日)(aj+88)，整理得 g(耳 -d)所以(d - 22)(3d- 88)v 0,即22d3，总用时3.125小时小时还需小丄20-672857小时点评:B组已种

21、还需时间32寸=48捆，余200-48=152捆，此后B组32+6=38人 亏38320P.687小时V.植树持续时间卩仁本题主要考查了线性规划知识在实际问题中的应用，解题的关键是要把实际问题转化为数学问题,B组所用时间A组所用时间2 2 218.(5分)(2012?江苏一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1: (x+1)+y =1，圆C2： (x-3)+(y-4)2=1.(1)若过点C1(-1,0)的直线I被圆C2截得的弦长为一，求直线I的方程;5(2)设动圆C同时平分圆C1的周长、圆C2的周长.1证明：动圆圆心C在一条定直线上运动；2动圆C是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若

22、不经过，请说明理由.考点：圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系.专题：计算题；综合题；直线与圆.分析：(1)设过直线I方程：y=k(x+1),根据垂直于弦的直径的性质，结合点到直线的距离公式列式，可解出k的值，从而得到直线I的方程；(2)由题意，圆心C到C1、C2两点的距离相等，由此结合两点间的距离公式建立关系式，化简整理得x+y-3=0,即为所求定直线方程；根据题意设C(m,3-m),得到圆C方程关于参数m的一般方程形式，由此可得动圆C经过圆x2+y2-6y-2=0与直线x-y+仁0的交点，最后联解方程组，即可得到动圆C经过的定点坐标.解答： 解：(1)设过点C1(-1,0)的直线I

23、方程：y=k(x+1),化成一般式kx-y+k=0直线I被圆C2截得的弦长为一，13k _ 4+k | |D A点C2(3,4)到直线I的距离为d=_,姑+1 V5解之得k=丄或二3 4由此可得直线I的方程为：4x-3y+4=0或3x-4y+3=0.(2) 设圆心C(x,y),由题意，得CC1=CC2,即J(計1) 2+y2=J匕一3)+q)2，化简整理，得x+y-3=0, 即动圆圆心C在定直线x+y-3=0上运动.设圆C过定点，设C(m,3-m),则动圆C的半径为匸；、.十 5 丨二.I二于是动圆C的方程为(x-m)2+(y-3+m)2=1+(m+1)2+(3-m)2, 整理，得x2+y2-

24、6y-2-2m(x-y+1)=0,庐1十由？夕得2=0尸2+L所以动圆C经过定点，其坐标为点评：本题求被定圆截得定长的弦所在直线方程，并探索动圆圆心在定直线上的问题考查了直线与圆的方程、 直线与圆和圆与圆的位置关系，考查学生运算能力.19.(5分)(2012?江苏一模)已知函数f(x)=x+sinx(1)设P, Q是函数f(x)的图象上相异的两点，证明：直线PQ的斜率大于0;(2)求实数a的取值范围，使不等式f(x)為xcosx在| ,上恒成立.2考点：导数的几何意义；利用导数求闭区间上函数的最值.专题：导数的综合应用.分析：(1)先利用导数研究函数的单调性，然后设P(xi,yl),Q(x2,

25、y2),根据斜率的定义建立关系式，从而 可知可证结论；(2)设Q ( K)二昌(瓦)-f(瓦)二曲Qgx - K一siiu*耳 EEOj弓,然后利用导数研究函数的最小 值，使得Q(x)min为即可.解答： 解：(1) /f(x)=x+sinx/f(x)=1+cosx为函数f(x)在R上单调递增y2_yi-设P(X1,y1) ,Q(x2,y2)则-AQ,即卩kPQ0S2K1直线PQ的斜率大于0;JT(2)依题意得，设(J (u) =g (x)_f (u) =azccsz - x - siru, 0* ,a1当a切时，Q(x)切恒成立；- (8分)2当a0时，Q(x)=(a-1)cosx-axsi

26、nx-1, - (10分)兀10va2时，注意到当 尤E0.-77时，x為nx,于是Q(x)=axcosx-x-sinx axcosx-2x=x(acosx- 2),兀必存在 切(0* )，使得当x(0,X0)时，有Q(xo)0，不能使Q(x)切恒成立.综上所述，实数a的取值范围为a电.- (16分)点评：本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识，考查灵活运用数学结合、分类讨论的思想进行探究、 分析与解决问题的能力.*Q20.(5分)(2012?江苏一模)设数列an的各项均为正数.若对任意的n N，存在k N，使得an+k=an?an+2k成立，则称数列an为Jk型”数列.(1)若数列an

27、是J2型数列，且a2=8,a8=1，求a2n；(2)若数列an既是“3型”数列，又是“4型”数列，证明：数列an是等比数列.2a4a3a2a4a6a5q 二 二 二 二 考点：专题：分析：数列递推式；等比关系的确定. 综合题；等差数列与等比数列.(1)利用数列an是“2”型数列，可得数列an的奇数项、偶数项分别组成等比数列，根据 出数列的公比，即可得到通项；n8时，an-6,an-3,an,an+3,an+6成等比数列；an6,an-2,an+2,解答:由此可得数列a2=8,a8=1，求an+6也成等比数列，a n为等比数列.解：(1) 数列an是“2”型数列,f ?an+4 数列an的奇数项

28、、 偶数项分别组成等比数列 设偶数项组成的等比数列的公比为q=2q2Ta2=8,a8=1, .L.：二T,q,a2n=8n-l=24-n；(2)由题设知， 从而当n绍时，当n为时，an-6,3an+3=an-6an+6, (*)且an-6an+6=an-2an+2.2an=an所以当n绍时,an2=anan-3,an,an+3,an+6成等比数列；an6,an-2,an+2,an-3,an-1,an+1,an+3成等比数列，从而an-3an+3=an-1an+1，故由(*)ai+6也成等比数列.，当2奇m电时，m+6 %，从而由(*)式知am+62=amam+i2,从而2ajn+7am-+1+

29、13+62厂，进而可得aJ+HQ对任意n丝都成立,-2an+2，即一于是当n茅时,故am+72=am+1am+13,n丝都成立.，所以ala3a2a1ala6故数列an为等比数列.点评：本题考查新定义，考查等比数列的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.三、附加题21.(2012?江苏一模)选做题(A)选修4-1:几何证明选讲如图，AB是半圆O的直径，延长AB到C,使卜二=,CD切半圆于点D，DE丄AB，垂足为E,若AE:EB=3:1,求DE的长.(B)选修4-2:矩阵与变换在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx在矩阵1对应的变换下得到的直线经过点P(4,1),求实数k的值.1(C)选

30、修4-4:坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆尸as inB(a0)与直线 Q匚护(B 十匹)二1相切，求实数a的值.4(D) 选修4-5:不等式选讲(a+2) (b+2) (c+2)墓7.考点：几种特殊的矩阵变换；简单曲线的极坐标方程；综合法与分析法(选修).专题：计算题.分析：(A)连接OD、BD，由题目中条件知：DE丄AB，垂足为E,且E是OB的中点”可得三角形BOD是等边三角形，设圆的半径为R,再在直角三角形OCD中，可得CD的长，最后根据题中圆的切线条件再依据切割线定理求得DE的长.变换特点，写出两对坐标之间的关系，把已知的点的坐标代入得到直线的方程，得到结果.(C)先圆 尸acos

31、B与直线 Qcos(9+匹)二1,利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用pcos0=x, psin0=y,4p2=x2+y2,进行代换即得直角坐标系，再利用直角坐标方程求解即可.(D):将(a+2) (b+2) (c+2)展开，再利用基本不等式结合条件abc=1，即可证得.解答：解：(A)连接OD,/DE丄AB，垂足为E,且AE:EB=3:1得E是OB的中点可得等腰三角形BOD是等边三角形，在直角三角形OCD中，/COD=60设圆的半径为可得CD=；OD=F R, CD是圆O的切线，由切割线定理得,CD2=CBCA,即3R2=；?Ex (；+2R)R=.:,(B):设变换T:(B)设变换T:*1

32、*y), (x,y)是所得的直线上一点，根据矩阵R,已知a,b,c满足abc=1，求证:，直线y=kx上任意一点(x,DE=：_OE= . :则/=01,(5分)LvLi oj-V.1即J代入直线y=kx得y=kx,将点P(4,1)代入,(C):p2=apcosB,圆p=acos 0的普通方程为：x2+y2=ax, (x-舟)2+y2=(号)2,直线PG曰(B -I-)二1的普通方程为：xy-、=0,I。-专-又圆与直线相切，所以-=a，解得：a=4型.V2/ a0, a=4+2|.(D): (a+2) (b+2) (c+2)=abc+2(ab+bc+ca)+4(a+b+c)+8羽+2 3 W

33、+4+8点评：本题主要考查二阶矩阵的变换，简单曲线的极坐标方程，不等式的证明等.考查运算求解能力.*22.(2012?江苏一模)已知数列an满足：ai=,an+仁(n N).3an+1(1)求a2,a3的值；(2)证明：不等式0vanvan+1对于任意nN*都成立.考点：数列递推式.专题：综合题；等差数列与等比数列.分析：C(1)利用且|七，旦 4 -，将n=1,2代入计算，即可求a2,a3的值;12口十丄项，从而可证结论.(2)证明：因为気总，斗(灵前)，所以屯丸(辰)于是在十1丄牛两边取倒数得吉为公比的等比数列,即可确定数列的通解答:1密1=27，当且仅当a=b=c时等号成立.(2)对是以1为首项,(1)解:整理得 -I ;-an+l2 an所以1是以1为首项，二