电磁感应中金属棒在匀强磁场中的运动

1、利用公式E= BLv求电动势这类习题在中学物理中是常见的，但利用此公式时应 注意以下几点。1. 此公式的应用 对象是一部分导体在磁场中做切割磁感线运动时产生感应电动 势的计算，一般用于匀强磁场（或导体所在位置的各点的磁感应强度相同）。2. 此公式一般用于导体各部分切割磁感线速度相同的情况，如果导体各部分切 割磁感线的速度不同，可取其平均速度求电动势。例1.如图1所示，导体棒AB长为L，在垂直纸面向里的匀强磁场中以 A点为圆 心做匀速圆周运动，角速度为- o磁感应强度为B,求导体棒中感应电动势的大 小。MWW ;图1解析：导体棒 AB在以A点为圆心做匀速圆周运动过程中，棒上每一点切割磁感线的线速

2、度是不同的，我们可以求出导体棒切割磁感线的平均速度为:7旦二=L2 2 2则导体棒中感应电动势为:3. 此公式中的L不是导体棒的实际长度，而是导体切割磁感线的有效长度，所 谓有效长度，就是产生感应电动势的 导体两端点的连线在切割速度 v的垂直方向 上投影的长度。例2.如图2甲、乙、丙所示，导线均在纸面内运动，磁感应强度垂直纸面向里， 其有效长度L分别为：甲图.一 一一:口乙图：沿可方向运动时，L = MN沿巾方向运动时，L= 0丙图：沿方向运动时，二二，沿：方向运动时，L= 0,沿一方向运动时，L= R甲乙丙图24. 在匀强磁场里，若切割速度v不变，则电动势E为恒定值，若v为时间t里 的平均速

3、度，则E为时间t里的平均电动势。若v为瞬时值，则E为瞬时电动势。5. 若v与导体棒垂直但与磁感应强度 B有夹角：时，公式中的v应是导体棒的 速度在垂直于磁场方向的分速度。此时，公式应变为二-m。例3.如图3所示，磁感应强度为B,方向竖直向下。一导体棒垂直于磁场放置， 导体棒的速度方向与磁场方向的夹角为 "，大小为v。求导体棒上感应电动势的 大小。解析：把导体棒的速度 v沿垂直于磁场方向和平行磁场方向进行分解，得到分速度v1、v2 ,且.二_。则导体棒上的感应电动势为：二 -o6. E = BLv公式中的速度v应是导体棒相对于磁场的速度。我们常见的是磁场静止，对于这一种情况，公式中的V

4、就是导体棒的速度V。例4.如图4所示，水平面上有两根很长的平行直导轨，导轨间有竖直向下的匀 强磁场，磁感应强度B= 2T,磁场运动的速度二 j ： 方向向左。导轨上有 金属棒MN以速度向左运动。设两根直导轨间距 L= 1m求金属棒MN上产生的感应电动势的大小，问哪一端的电势高？MMX*II *XX图4解析：在本题中，磁场的运动速度为 二'；'，方向向左，金属棒的速度为二： 方向向左，侧金属棒相对于磁场的速度为v = 2m/s，方向向右。则金属棒上产生的感应电动势为： - ' - ': -即金属棒上产生的感应电动势为4V，由右手定则可判定 M点的电势高。对E= B

5、Lv的应用金属棒在匀强磁场中的运动，是电磁感应中极其重要的物理模型， 是近年高考的 热点问题之一。分析其运动问题的关键是弄清金属棒运动过程中的受力情况。 结 合受力情况的变化对其运动过程作动态分析，并确定金属棒的最终运动状态。分 析运动中牵涉到的动力学知识、能量守恒、电磁学知识等的综合应用，能较全面 地考查学生综合应用知识的能力。因此，掌握此类运动模型的分析方法尤为重要。本文就几种常见的金属棒在匀强磁场中的运动问题，进行分类探讨。1. 金属棒在倾斜轨道上的运动例1.如图1所示，有两根与水平方向成a角的光滑平行的金属轨道，上端接有 可变电阻R,下端足够长，空间有垂直于轨道平面的匀强磁场， 磁感应

6、强度为B，经过足够长的时间后，金属杆的速一根质量为m的金属杆从轨道上由静止滑下, 度会趋近一个最大速度Vm，则（）A. 如果B增大，vml将变大B. 如果a增大，Vm将变大C. 如果R增大，Vm将变大D. 如果m减小，Vm将变大解析：将导体棒受力的三维图转化为二维图（如图2所示），利用右手定则可知，感应电流方向如图中所示，利用左手定则可知磁场力沿斜面向上，开始时棒的速度由0增大，磁场力F也由0增大，由牛顿第二定律可知，加速度a将减小，当a减小到0时，棒以最大速度 vmB Lvwig/? sin awg sin c? =,= a , °做匀速直线运动，即-'''

7、，要使Vm增大，正确选项为BCo点评：对于金属棒在磁场中的运动这类问题，一般要对杆列出牛顿第二定律的方程，讨论加速度和速度的变化时，注意加速度为零时速度最大是运动的转折点。2. 金属棒在圆环轨道上的运动例2.如图3所示，粗细均匀的电阻为R的金属环放在磁感应强度为 B的垂直环 面的匀强磁场中，圆环直径为do长也为d、电阻为R/2的金属棒ab中点与环相 切，使ab始终以垂直棒的速度v向左运动，当到达圆环直径位置时，ab棒两端 的电势差大小为多少。图3解析：ab到达虚线所示直径位置时，由于金属棒切割磁感线产生电动势等效于电源，等效7_ E _ 4Bdv=17 = " % "鼻竺全

8、电路如图4所示U上4-；X X X X X图4点评：当导体切割磁感线平动时，导体中产生感应电动势，导体相当于电源。在处理电磁感应这类问题时， 明确等效电源和内外电路， 准确地画出等效电路， 是迅速获解的 关键所在。3. 金属棒在角形轨道上的运动例3.如图5所示，三角形导轨CODE放一根导体MN拉动MN使它以速度v匀 速平动。如果导轨与棒都是同种材料同种规格的均匀导体，匀强磁场垂直于轨道 平面，那么棒MN运动过程中，闭合回路的（）A. 感应电动势保持不变B. 感应电流保持不变C. 感应电动势逐渐增大D. 感应电流逐渐增大解析：在时间t内棒从0前进的距离为vt，设/ COD=29，各段导体的电阻率

9、均为 厂，横截 面积为S,棒与轨道的接触点为 A、B。则/ COD内的棒长为，则回路中的感应电动势E = 2Bv2t tan 8由全电路欧姆定律；及八，可得£7?v tan 3 cos ff EFv sin Bptancos 4- ppsin 0 + p故正确答案为B、Co点评：棒在角形框架上滑动时， 要注意审题，整个棒产生的电动势和闭合回路中产生的电流 是不同的，前者变大，后者不变。4. 金属棒在轨道上涉及能量转化的运动例4.如图6所示，MN和PQ为竖直方向的两平行长直 金属导轨，间距为0.40m,电阻不计。导轨所在平面 与磁感应强度B为0.50T的匀强磁场垂直。质量 m为 6.0

10、 x 10-3 kg，电阻为1.0 Q的金属杆ab始终垂直于导 轨，并与其保持光滑接触。导轨两端分别接有滑动变 阻器和阻值为3.0 Q的电阻R。当杆ab达到稳定状态 时以速率v匀速下滑，整个电路消耗的电功率 P为20.27W,重力加速度取10m/s，试求速率v和滑动变阻 器接入电路部分的阻值F2。X XXX X图6解析：由功率表达式得:设电阻R1与R2的并联电阻为'，ab棒的电阻为r，有111， 理=+9 Z =PIE，代入数据得:以及外电路各部分电阻间的点评：电磁感应与直流电路结合的题目，首先要明确内外电路,串并联关系。然后利用能量守恒和全电路欧姆定律综合去处理。例5.如图7所示，平

11、行导轨MN和PQ相距0.5m,电阻可忽略。其水平部分是粗 糙的，置于0.60T竖直向上的匀强磁场中，倾斜部分的导轨是光滑的，且该处没 有磁场。导体棒a和b的质量均为0.20kg，电阻均为0.15 Q，a、b相距足够远, b放在水平导轨上，a从斜轨上高0.050m处无初速释放。求：(1) 回路中的最大感应电流是多少？(2) 如果导体棒与导轨间的动摩擦因数门"1",当导体棒b的速度达到最大 值时，导体棒a的加速度是多少？Ar-图7解析：（1） a棒在没有磁场的倾斜轨道上下滑时，机械能守恒，设进入水平轨道时a棒的速严=罷曲=10x0.0503Is Xm! s此时a棒速度最大，进入

12、磁场切割磁感线，产生的感应电流最大,E BLv 0 60x0.5x1 ”.K = 一 =月=1卫w R 2r 2xQJ5（2）当a、b棒组成的闭合回路中有感应电流时，a、b棒都受安培力作用，a棒受安培力向右、摩擦力向右，b棒受安培力向左，摩擦力向右。Ff /fwg Q. 10x0.20 x 10= O.22TF= 5ZR£ = 0 60x1x0.52= 0.3y因为；''''所以b棒开始向左加速。a棒是向左做减速运动，b棒的速度增大时，电路中 的感应电流减小，b棒受的安培力在减小，当电流减为I”时b棒匀速运动，这时满足：= BL L此时a棒受到的摩擦力

13、和安培力方向都向右，a棒的加速度为：p&ng + 5/' Z = maa = 2x0.10x10/? =2沐只金属棒在匀强磁场中的运动归类一、滑轨上只有一个导体棒的问题滑轨上只有一个导体棒的问题，分两类情况：一种是含电源闭合电路的导体棒问 题，另一种是闭合电路中的导体棒在安培力之外的力作用下的问题。（一）含电源闭合电路的导体棒问题例1如图1所示，水平放置的光滑导轨 MN PQ上放有长为L、电阻为R质量 为m的金属棒ab,导轨左端接有内阻不计、电动势为 E的电源组成回路，整个 装置放在竖直向上的匀强磁场 B中，导轨电阻不计且足够长，并与电键 S串联。 当闭合电键后，求金属棒可达到

14、的最大速度。图1解析闭合电键后，金属棒在安培力的作用下向右运动。当金属棒的速度为v时，产生的感应电动势，它与电源电动势为反接， 从而导致电路中电流减小，安培力减小，金属棒的加速 度减小，即金属棒做的是一个加速度越来越小的加速运动。但当加速度为零时，导体棒的速度达到最大值，金属棒产生的电动势与电源电动势大小相等，回路中电流为零，此后导体棒将以这个最大的速度做匀速运动。KT v - F金属板速度最大时，有丄一 一 一解得:点评 本题的稳定状态是金属棒最后的匀速运动；稳定条件是金属棒的加速度为零（安培力为零，棒产生的感应电动势与电源电动势大小相等）（二）闭合电路中的导体棒在安培力之外的力作用下的问题

15、1.导体棒在外力作用下从静止运动问题例2 （全国高考题）如图2,光滑导体棒be固定在竖直放置的足够长的平行金属 导轨上，构成框架abed，其中be棒电阻为R,其余电阻不计。一质量为 m且不 计电阻的导体棒ef水平放置在框架上，且始终保持良好接触，能无摩擦地滑动。 整个装置处在磁感应强度为 B的匀强磁场中，磁场方向垂直框面。若用恒力F向上拉ef，则当ef匀速上升时，速度多大？图2解析 本题有两种解法。方法一：力的观点。当棒向上运动时，棒ef受力如图3所示。当ef棒向上运动的速度变大时， ef棒产生的感应电动势变大，感应电流 l=E/R变大，它受到的向下的安培力F安=BIL变大，因拉力F和重力mg

16、都不变，故加速度:丄），由物体的变小。因此，棒ef做加速度越来越小的变加速运动。当a=0时（稳定条件），棒达到最大 速度，此后棒做匀速运动（达到稳定状态）。当棒匀速运动时（设速度为 平衡条件有P=Fs+tngF. =BIL=（BaLa）/R由以上二式解得vB = （F-mg）R / （BT）点评应用力学观点解导体棒问题的程度：（a）分析棒的受力情况，判断各力的变化情况；（b）分析棒的运动情况，判断加速度和速度的变化情况；（c）分析棒的最终运动情况，依平衡条件或牛顿第二定律列方程。方法二：能量观点。当导体棒ef以最大速度匀速运动以后，拉力做功消耗的能量等于棒重力势能的增加"卜和be部分

17、产生的热量 Q之和。设棒匀速运动的时间为t，则有Fv11t = mgvt + QQ = I2Rt = （BLv11）/R3Rt由以上两式得 =fF-mg）R/（B2L3）点评 ef棒的运动尽管在达到最大速度以前为变速运动，产生的感应电流及感应电动势都在变化，但达到最大速度以后， 感应电流及感应电动势均恒定，故计算热量可以用 计算。求导体棒的最大速度问题，要会抓住速度最大之后速度不变这一关键条件，运用能量观点处理，往往会使运算过程简洁。求导体棒的最大速度问题，可以运用力的观点和能 量观点的任一种，但两种方法所研究的运动过程却不同。力观点研究分析的是棒达到最大速度为止的以前的运动过程，而能量观点研

18、究的是从棒达到最大速度开始以后做匀速运动的一 段过程。要注意这两种观点所研究运动过程的不同。2.外力作用下有初速问题 例3如图4所示，匀强磁场竖直向上穿过水平放置的金属框架， 框架宽为L，右 端接有电阻为R,磁感应强度为B, 根质量为m电阻不计的金属棒受到外力 冲量后，以 的初速度沿框架向左运动，棒与框架的动摩擦因数为,测得棒在 整个运动过程中，通过任一截面的电量为 q,求：（1）棒能运动的距离？ （ 2） R上产生的热量？图4解析 （1）在整个过程中，棒运动的距离为s，磁通量的变化-''通过棒的任一截面的电量解得-.:（2）根据能的转化和守恒定律，金属棒的动能的一部分克服摩擦

19、力做功，一部分转化为电 能，电能又转化为热能 Q,即有mvj / 2 = jUmgS + Q解得Q= mvj / 2 -= mvj f 2 - OngqR） / （BL）点评本题的棒与框架无论有无摩擦，棒的最终状态是静止。不过，无摩擦时，原来棒的动 能全部要转变成 R上产生的热量。二、滑轨上有两个导体棒的运动问题滑轨上有两个导体棒的运动问题， 还分为两种：一种是初速度不为零，无安培力 之外的力作用下的问题，另一种是初速度为零，有安培力之外的力作用下的问题。（一）初速度不为零，无安培力之外的力作用的问题1.两棒各以不同的初速度做匀速运动问题例4如图5所示，相距d的平行光滑金属长导轨固定在同一水平

20、面上处于竖直 的匀强磁场中，磁场的磁感应强度为 B,导轨上面横放着两条金属细杆 ab、cd 构成矩形回路，每条金属细杆的电阻为 R,回路中其余部分的电阻可忽略不计。 已知ab、cd分别以2v、v的速度向右匀速运动，求两金属细杆运动 t秒后，共 产生多少热量？£B仁d I b图5解析 以整个回路为研究对象，t秒后磁通量的变化=回路中的感应电动势|： 二'''!回路中的感应电流''''''；，1产生的热量点评本题的关键，是把两杆及导轨构成的回路作为研究对象，利用法拉第电磁感应定律求 电动势E。如果用E=BLv求每杆的

21、电动势，再求回路总电动势，那就要涉及到中学阶段不要 求的反电动势问题。2.两棒之一有初速度的运动问题例5在例4中，两棒的质量均为 m若开始用一水平冲击力使ab获得一冲量I , 使其沿轨道向右运动，而cd无初速度。求ab棒在整个过程中产生的焦耳热？ 解析ab棒获得速度J =1'，就开始向右切割磁感线， 产生感应电流，从而ab棒在磁场 力作用下做减速运动，cd棒做加速运动，当两棒速度相等时，两棒产生的感应电动势大小 相等，在回路中方向相反，感应电流为零，磁场力也为零。此后两棒以相同的速度v做匀速运动（达到稳定状态）。在这个过程中，两棒组成的系统所受外力之和为零，系统动量守恒，有 v= &#

22、39; O在上述过程中，系统损失的动能先转化为电能，电流通过电阻后又转化为焦耳热。又因为两棒电阻相同，产生的焦耳热相等，故有厂：一宀-匚”'故ab棒在整个过程中产生的焦耳热'1 1（二）初速度为零，有安培力之外的力作用下的问题1. 初速度为零，有安培力之外的恒力作用下的问题例6 （03年高考理综卷）两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感应强 度B=0.50T的匀强磁场与导轨所在平面垂直， 导轨的电阻很小，可忽略不计。导 轨间的距离L=0.20m。两根质量均为m=0.10kg的平行金属杆甲、乙可在导轨上 无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电阻为门。在t=0

23、时刻，两杆都处于静止状态。现有一与导轨平行、大小为0.20N的恒力F作用于金属杆上，使金属杆在导轨上滑动。（1） 若经过t=5.0s，金属杆甲的加速度为，问此时两金属杆的速 度各为多少？（2）若经过10s，电路中的电功率达到最大值。问第 10s末， 金属杆甲的加速度是多少？ 两金属杆的速度各是多少？解析（1）设任一时刻t两金属杆甲、乙之间的距离为x，速度分别为，经过很短的时间 t，杆甲移动距离"，杆乙移动距离，回路面积改变|: - .：i .i1-r' - I.：由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势 匸 " '由闭合电路欧姆定律，回路中电流对甲由牛顿第二

24、定律，有由于作用于杆甲和杆乙的安培力总是大小相等、方向相反，所以两杆的动量（t=0时为0）等于外力F的冲量二=i -联立以上各式解得圧汽"匚工：门二.:叫工一；-（一皿丿：-：）.：；.代入数据得（2）根据法拉第电磁感应定律可知，甲、乙两杆的速度差越大，感应电动势越大。开始阶段，甲杆的加速度大于乙杆的加速度，甲杆的速度比乙杆的速度增加得快，因而速度差不断增大，直到两杆加速度相等，即"二（稳定条件）时，两杆达到稳定状态 � &#0；均做加速度相同的匀加速运动，此时1 -二达到最大值，从而 E、I最大，电路中的电功率 r达最大。由于'1 '故i -i. x i -解得v ；由牛顿第二定律，金属杆乙的加速度 -:11金属杆甲的加速度a甲= lm /©号I 二 F妄 f