数学归纳法PPT课件

1、我是一毛我是二毛我是三毛我是谁？我不是四毛！我是小明！猜：四毛！第1页/共36页1. 了解数学推理的常用方法（归纳法）.2. 了解数学归纳法的原理及使用范围.3. 初步掌握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论.4. 会用数学归纳法证明一些简单的等式问题. （重点、难点）第2页/共36页探究点探究点 数学归纳法的原理与定义数学归纳法的原理与定义问题1:口袋中有4个吃的东西，如何证明它们都是糖？ 把研究对象一一都考察到，而推出结论的归纳法把研究对象一一都考察到，而推出结论的归纳法. .完全归纳法 11211,.nnnnaaaaa 问问题题 ：对对于于数数列列若若（1 1）求出数列前）求出数列前4 4

2、项项, ,你能得到什么猜想？你能得到什么猜想？（2 2）你的猜想一定是正确的吗？）你的猜想一定是正确的吗？第3页/共36页11a*)(1Nnnan猜想数列的通项公式为：猜想数列的通项公式为：212a 313a 解解: :414=a不完全归纳法从一类对象中的部分对从一类对象中的部分对象都具有某种性质推出象都具有某种性质推出这类对象全体都具有这这类对象全体都具有这种性质的归纳推理方法种性质的归纳推理方法919=a717=a818=a验证验证: :515=a616=a逐一验证，不可能！能否通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立？第4页/共36页数学归纳法与多米诺骨牌有怎样的相似之处呢？数学归

3、纳法与多米诺骨牌有怎样的相似之处呢？多米诺骨牌多米诺骨牌第5页/共36页数学归纳法的第一步：先证明数学归纳法的第一步：先证明n n取第一个值时命题成取第一个值时命题成立立. .相当于多米诺骨牌开始倒的第一张相当于多米诺骨牌开始倒的第一张. .数学归纳法的第二步：假设当数学归纳法的第二步：假设当n=kn=k时命题成立，时命题成立，并证明当并证明当n=k+1n=k+1时命题也成立时命题也成立. .相当于多米诺骨牌第相当于多米诺骨牌第k k张倒后第张倒后第k+1k+1张是否也会跟着张是否也会跟着倒倒. .第6页/共36页1.1.第几块骨牌，数列第几项都是与正整数有关的问题第几块骨牌，数列第几项都是与

4、正整数有关的问题. .2.2.共同点是任意前一个的情况都可以推出后一个的情共同点是任意前一个的情况都可以推出后一个的情况况. . 多米诺骨牌与我们要解决的问题2有相似性吗？相似性体现在哪些方面呢？ 上述上述2 2，事实上给出了一个递推关系，换言之就，事实上给出了一个递推关系，换言之就是假设第是假设第k k块倒下，则相邻的第块倒下，则相邻的第k+1k+1块也倒下块也倒下. .第7页/共36页 你能类比多米诺骨牌游戏牌全倒条件，证明上述问题2猜想的结论吗？猜想数列的通项公式为猜想数列的通项公式为.1nan证明证明: : (1)(1)当当,1时=n猜想成立猜想成立. .,1111=a(2)(2),猜

5、想成立时假设当kn .1kak即那么那么, ,当当,1时+= kn=+kkaa1=+kk11111+k.,1猜想也成立时即当 kn=+1ka根据根据(1)和和(2)，猜想对于任何，猜想对于任何 都成立都成立.*Nn第8页/共36页 一般地，证明一个与正整数n n有关的命题，可按下列步骤进行：1.1.（归纳奠基（归纳奠基) )证明当证明当n n取第一个值取第一个值n n0 0( (n n0 0 N N* *) )时命题时命题成立成立. .2.2.（归纳递推）假设当（归纳递推）假设当n=k(n=k(knkn0 0，k k N N* *) )时命题成立，时命题成立，证明当证明当n=k+1n=k+1时

6、命题也成立时命题也成立. . 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对于从只要完成这两个步骤，就可以断定命题对于从n n0 0开始的所有正整数开始的所有正整数n n都成立都成立. .这种证明方法叫做这种证明方法叫做数学归纳法数学归纳法. .第9页/共36页若n = k ( k n0) 时命题成立，证明n=k+1时命题也成立. 验证n=n0时命题成立.命题对从命题对从n n0 0开始所有开始所有的正整数的正整数n 都成立都成立.归纳奠基归纳奠基归纳递推归纳递推数学归纳法：数学归纳法：两个步骤 一个结论缺一不可第10页/共36页已知三角形内角和为已知三角形内角和为180180，四边形的内角和为四边形的

7、内角和为360360，五边形的内角和为，五边形的内角和为540540，于是有：凸，于是有：凸n n边边形的内角和为形的内角和为(n-2)180(n-2)180，若用数学归纳法证，若用数学归纳法证明，第一步验证明，第一步验证n n取第一个正整数时命题成立，则取第一个正整数时命题成立，则第一个正整数取值为第一个正整数取值为_3【即时训练即时训练】第11页/共36页例例1 1 用数学归纳法证明用数学归纳法证明).(6) 12)(1(321*2222Nnnnnn证明：证明： （1）当）当n=1时，时， 左边左边=12=1,右边右边=1 等式成立等式成立(2)假设当假设当n=k( )时等式成立时等式成立

8、,即即.6) 12)(1(3212222kkkk那么那么,当当n=k+1时时22222) 1(321+kk2) 1(6) 12)(1(kkkk6) 1(6) 12)(1(2+=kkkkkN*第12页/共36页6)672)(1(2+=kkk6)32)(2)(1(+=kkk.6 1) 1(21) 1)(1(kkk即当即当n=k+1时等式也成立时等式也成立.根据根据(1)和和(2),可知等式对任何可知等式对任何 都成立都成立.*Nn第13页/共36页用数学归纳法证明用数学归纳法证明:(n+1)(n+2)(n+n)=2n 1:(n+1)(n+2)(n+n)=2n 13(2n-1)3(2n-1)时，在证

9、明时，在证明n=k+1n=k+1时：左边代数式时：左边代数式为为 ，共有共有 项，从项，从k k到到k+1k+1左边需要增乘的代左边需要增乘的代数式为数式为_. _. (k+1)+1(k+1)+1(k+1)+2(k+1)+(k+1)(k+1)+2(k+1)+(k+1)k+1k+12 2（2 2k k+ +1 1) )【变式练习】第14页/共36页即即n=k+1n=k+1时等式成立时等式成立. .所以等式对一切自然数所以等式对一切自然数 均成立均成立. .nN【总结提升】问题问题1 1：甲同学猜想：甲同学猜想 用数学归纳法证明步骤如下：用数学归纳法证明步骤如下：1125312nn证明：证明：假设

10、假设n=kn=k时等式成立，即时等式成立，即21 3 5(23)(21)1 kkk那么那么1 35(21)(21) kk221(21)(1)1kkk 上述证法是正确的吗？为什么？上述证法是正确的吗？为什么？第15页/共36页2135(23)(21)1上上 述述 证证 明明 是是 错错 误误 的的 , ,事事 实实 上上 命命 题题本本 身身 是是 错错 误误 的的当当 n n = = 1 1时时 , ,左左 边边 = = 1 1, ,右右 边边 = = 0 0左左 边边 右右 边边nnn 结论结论1 1：第一步是递推的基础，缺少了第一步就失第一步是递推的基础，缺少了第一步就失去了保证，不要误认

11、为第一步是一个简单的验证，去了保证，不要误认为第一步是一个简单的验证，可有可无可有可无. .第16页/共36页问题问题2 2：乙同学用数学归纳法证明：乙同学用数学归纳法证明如采用下面证法，对吗？为什么？如采用下面证法，对吗？为什么？212531nn11,.n （1 1）当当时时 左左边边证证：右右边边明明 21321.nkkk（2 2）假假设设当当时时，等等式式成成立立，即即1nk则则时时， 21121132112kkkk1.nk即即时时等等式式也也成成立立.nN 根根据据(1)(1)和和（2 2），可可知知等等式式对对任任何何都都成成立立结论结论2 2：在第二步中在第二步中, ,证明证明n=

12、k+1n=k+1命题成立时命题成立时, ,必须用到必须用到n=kn=k命题成立这一归纳假设命题成立这一归纳假设, ,否则就打破数学归纳法步否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑严密关系骤之间的逻辑严密关系, ,造成推理无效造成推理无效. . 22135(21)(21)(21)1kkkkk 上 述 证 明 没 有 用 到 n=k命 题 成 立 这 一 归 纳 假 设正 解 ：第17页/共36页 计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明.) 13)(23(1nn例例2 2 已知数列已知数列4117411071，解：解： 1031071

13、72;7274141;414114321SSSS第18页/共36页 可以看到，上面表示四个结果的分数中，分可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数子与项数n n一致，分母可用项数一致，分母可用项数n n表示为表示为3n+1,3n+1,于是于是可以猜想可以猜想.13 nnSn 下面我们用数学归纳法证明这个猜想下面我们用数学归纳法证明这个猜想. .(1)当n=1时，114S左左边边，11313 1 14nn 右右边边，猜想成立猜想成立. .第19页/共36页1,kkN（）(2)假设n=k 时, 猜想成立，即11111 44 77 1032)(31)31kkkk（那么111111 44 77

14、1032)(31)31)(34)kkkk（所以，当n=k+1时,猜想也成立.)43)(13(113kkkk)43)(13(1432kkkk 对对* *根根据据(1)和(1)和(2)，(2)，可可知知猜猜想想任任何何nN 都nN 都成成立立. .第20页/共36页证明: (1)当n=1时,左边= , 212111)1(1321211kkkk(2)假设n=k(kN*)时原等式成立 ，即21111右边= 此时，原等式成立. *111n(nN ).1 22 3n (n1)n1证明：【变式练习】第21页/共36页11111223(1)(1) (2)111(1)(2)(1)1kkkkkkkkkk那么n=k

15、+1时,这就是说，当n=k+1时,命题也成立.由 (1)(2)知,对一切正整数n,原等式均正确. 第22页/共36页例例3 3 求证求证: :( (n+1)(n+2)(n+n)=2n+1)(n+2)(n+n)=2n n 1 3 (2n-1) 1 3 (2n-1)第23页/共36页证明：证明：【解题关键解题关键】第一步验证第一步验证n n取第一个正整数取第一个正整数1 1时等式成时等式成立，第二步假定立，第二步假定n=k(kNn=k(kN* *) )时命题成立，再推证时命题成立，再推证n=k+1n=k+1时成立时成立. .*111n.(n N )1 3 3 52n 1 2n 12n 1【变式练习

16、】【证明证明】(1)(1)当当n=1n=1时，左边时，左边= = 右边右边= =左边左边= =右边，所以等式成立右边，所以等式成立111 33，11,2 1 13 第24页/共36页(2)(2)假设假设n=k(k1)n=k(k1)时等式成立，即有时等式成立，即有所以当所以当n=k+1n=k+1时，等式也成立时，等式也成立由由(1)(1)、(2)(2)可知，对一切可知，对一切nNnN* *等式都成立等式都成立 2111k1 3 3 52k 1 2k 12k 11111n k 11 3 3 52k 1 2k 12k 1 (2k 3)k 2k 31k12k 12k 1 2k 32k 1 (2k 3)

17、2k3k 1k 1k 12k 1 2k 32k 32 k 11 ，则当时，第25页/共36页1.(20151.(2015南阳高二检测南阳高二检测) )命题命题P(n)P(n)满足：若满足：若n=k(kNn=k(kN* *) )成立，则成立，则n=k+1n=k+1成立，下面说法正确的是成立，下面说法正确的是( () )A.P(6)A.P(6)成立则成立则P(5)P(5)成立成立B.P(6)B.P(6)成立则成立则P(4)P(4)成立成立C.P(4)C.P(4)成立则成立则P(6)P(6)成立成立D.D.对所有正整数对所有正整数n n，P(n)P(n)都成立都成立【解析解析】选选C.C.由题意知，

18、由题意知，P(4)P(4)成立，则成立，则P(5)P(5)成立，若成立，若P(5)P(5)成立，则成立，则P(6)P(6)成立，所以成立，所以P(4)P(4)成立，则成立，则P(6)P(6)成立成立. .C第26页/共36页2.2.下面四个判断中，正确的是下面四个判断中，正确的是( () )A.A.式子式子1+k+k2+kn(nN1+k+k2+kn(nN* *) )中，当中，当n=1n=1时，式子的值为时，式子的值为1 1B.B.式子式子1+k+k2+kn-1(nN1+k+k2+kn-1(nN* *) )中，当中，当n=1n=1时，式子的值为时，式子的值为1+k1+kC.C.式子式子 (nN(

19、nN* *) )中，当中，当n=1n=1时，式子的时，式子的值为值为D.D.设设f(x)= (nNf(x)= (nN* *) )，则，则f(k+1)=f(k)+f(k+1)=f(k)+1 1112 32n 1 1 112 3 111n 1 n 23n 11113k 2 3k 3 3k 4C第27页/共36页3.3.用数学归纳法证明用数学归纳法证明1+2+21+2+22 2+2+2n+1n+1=2=2n+2n+2-1(nN-1(nN* *) )的过程中，在验证的过程中，在验证n=1n=1时，左端计算所得的项为时，左端计算所得的项为 ( () )A.1 B.1+2A.1 B.1+2C.1+2+2C

20、.1+2+22 2 D.1+2+2 D.1+2+22 2+2+23 3C第28页/共36页第29页/共36页4n13n第30页/共36页 5. 5.是否存在常数是否存在常数a a、b,b,使得等式使得等式: : 对一切正整数对一切正整数n n都成立都成立, ,并证明你的结论并证明你的结论. .2 22 22 22 21 12 2n na an n + + n n+ + + + += =1 1 3 33 3 5 5( (2 2n n - -1 1) )( (2 2n n + +1 1) )b bn n + + 2 2点拨点拨: :对这种类型的题目对这种类型的题目, ,一般先利用一般先利用n n的

21、特殊值的特殊值, ,探探求出待定系数求出待定系数, ,然后用数学归纳法证明它对一切正然后用数学归纳法证明它对一切正整数整数n n都成立都成立. .第31页/共36页(2)(2)假设当假设当n=kn=k时结论正确时结论正确, ,即即: :2 22 22 22 21 12 2k kk k+ + k k+ + + + += =. .1 1 3 33 3 5 5( (2 2k k - - 1 1) )( (2 2k k + + 1 1) )4 4k k + + 2 2(1)(1)当当n=1n=1时时, ,由上面解法知结论正确由上面解法知结论正确. .解解: :令令n=1,2,n=1,2,并整理得并整理

22、得311,.10324 a baabb所以以下用数学归纳法证明以下用数学归纳法证明: :2222*12()1 33 5(21)(21)42.nnnnNnnn第32页/共36页则当则当n=k+1n=k+1时时, ,2 22 22 22 22 22 22 22 22 22 21 12 2k k( (k k + +1 1) )+ + + + + +1 1 3 33 3 5 5( (2 2k k1 1) )( (2 2k k + +1 1) )( (2 2k k + +1 1) )( (2 2k k + + 3 3) )k k + + k k( (k k + +1 1) )k k( (k k + +1 1) )( (2 2k k + + 3 3)