线性代数测试试卷及答案

1、以上答案都不正确a22a33及A分别等于(A) 10, 8(B)8, 10(C)10,8(D)10,84.设实二次型f(x1,x2)2 (X1,X2) 4X2的矩阵为A,那么()(A) A(B)(C)(D)线性代数(A卷)一、选择题(每小题3分，共15分)1 .设A、B是任意n阶方阵，那么下列等式必成立的是()(A) AB BA (B) (AB)2 A2B2 (C) (A B)2 A2 2AB B2 (D) A B B A2 .如果n元齐次线性方程组 AX 0有基础解系并且基础解系含有 s(s n)个解向量，那么矩阵A的秩为()(A) n (B) s (C) n s (D)3 .如果三阶方阵A

2、 (aj )3 3的特征值为1,2,5,那么an5.若方阵A的行列式A 0,则()(A) A的行向量组和列向量组均线性相关 (B)A的行向量组线性相关，列向量组线性无关 (C) A的行向量组和列向量组均线性无关 (D)A的列向量组线性相关，行向量组线性无关 二、填空题(每小题3分，共30分)1如果行列式D有两列的元对应成比例，那么该行列式等于 ;2.设A100210, A是A的伴随矩阵，则(A )3413.设 ， 是非齐次线性方程组AX b的解，若也是它的解，那么4 .设向量 (1, 1,1)T与向量 (2,5, t)T正交，则t 5 .设A为正交矩阵，则A ;1116 .设a,b,c是互不相

3、同的三个数，则行列式abc2,22a b c7 .要使向量组 1 (1, ,1)T, 2 (1,2,3)T, 3 (1,0,1)T 线性相关，则 8 .三阶可逆矩阵A的特征值分别为1, 2, 3,那么A 1的特征值分别为 ;9 .若二次型 f(xi,X2,X3)x2i x22 5x23 2txiX2-2xiX3 4x2X3 是正定的，则 t 的取值范围 为；10 .设A为n阶方阵，且满足A2 2A 4I 0 ,这里I为n阶单位矩阵，那么A 1.三、计算题(每小题9分，共27分)1 01.已知A0 1 ,求矩阵X使之满足AX X B.0 012 3 4234 1一2.求行列式234 1的值.34

4、124 12 33求向量组(1,0,1,0), 2(2,1,3, 7), 3 (3, 1,0,3,), 4(4, 3,1, 3,)的一个最大无关组和秩.四、(10分)设有齐次线性方程组X(1)x2x30,(1)x1x2x30,X飞(1)x30.问当 取何值时，上述方程组(1)有唯一的零解；(2)有无穷多个解，并求出这些解.五、(12分)求一个正交变换X PY ,把下列二次型化成标准形：f (x1，x2,x3)4x1x24x1x3 4x2x3.六、(6分)已知平面上三条不同直线的方程分别为11 : ax 2by 3c 0,12 : bx 2cy 3a 0,13 : cx 2ay 3b 0.试证：

5、这三条直线交于一点的充分必要条件为a b c 0.线性代数(A卷)答案1. D2.C 3. B4. A5. A1.02. (A ) A3. 14. 35. 1或-1114116. （c a）（c b）（b a） 7. 0 8.1, , 9.- t 0 10.A I23542三、1.解由 AX X B得 X （A I）1B. （2 分）下面求（A I） 1.由于（4 分）011（7分）1（A I ） 23011130073111110所以X （A I） 1B011 1 01110 11100 00 111 . （9 分）1 12.解12 3 42 3 4 13 4 124 12 310 2 3

6、410 3 4 110 4 1 210 1 2 312 3 4112 3分）1234（8 分）160 （9 分）.0 113100 0440 0 043.解由于r3 5r2 04jujdUj2 0041301 UUuuU10302341135337332 34113021204241234故向量组的秩是3 ,0JjjjjjJjJ3 01 32 12（6分）3是它的一个最大无关组。（9分）四、解 方程组的系数行列式2(1)(2)(2 分)当 A (1)(2)20,即1且 2时，方程组有唯一的零解；（4分）当1 时,|A（1）（2）2 0,方程组的系数矩阵为它有一个二阶子式3 0,因此秩（A）2

7、n （这里n 3）,故方程组有无穷多个解.对A施行初等行变换，可得到方程组的一般解为XX3,X2X3,其中X3可取任意数；（7分）X3X3,当 2 时，|A (1)(2)20 ,方程组的系数矩阵为显然，秩（A） 1 n （这里n可得方程组的一般解为3）,所以方程组也有无穷多个解.对A施行初等行变换X1X2 X3,X2 X2,其中X2,X3可取任意数.(10 分)X3 X3,五、解二次型的矩阵为(2分)因为特征多项式为2-22(1)(5),1所以特征值是1（二重）和5 . （4 分）(I A)X 0 得把特征值1代入齐次线性方程组解此方程组可得矩阵A的对应于特征值利用施密特正交化方法将1,2正交

8、化：(1,0, 1)T再将2单位化得把特征值5代入齐次线性方程组解此方程组可得矩阵A的对应于特征值再将3单位化得则P是一个正交矩阵，且满足2x12x22%0,2x12x22x30,2xi2x22x30,1的特征向量为(1,0,可,(I4x12x12x1(A)X2x24x22x2(0,1, 1)T.2)T,(8。得2x32%4x30,0,0,5的特征向量为3 (1,1,11v33 73 T飞飞飞).(10分）分）3 -3-3 -3- 36 一 6一3一6一62 o -2-23,2,1/kp1P 1AP PTAP00所以，正交变换X PY为所求，它把二次型化成标准形22-2"。"

9、; y 1 y 2 5y 3.(12分）六、证明：必要性由ll23交于一点得方程组ax 2by 3c 0bx 2cy 3a 0cx 2ay 3b 0有解，可知a2b3cR(A) R(A)b2c3ac2a3b1 b c0 (a b c) 1 c a1 a b0 (2 分)1bc由于1ca1ab222 _4(b a) (c b) (a c) 0,所以 a b c 0 (3 分)充分性：a b c 0 b (a c)a 2bb 2c2(ac b2) 2ac (a c)2a2c2(a c)2 0又因为1bc6(a b c)1ca01aba 2b 3cb 2c 3ac 2a 3ba b c6 b c a

10、 cabR(A) R(A) 2, (5 分)因此方程组ax 2by 3c 0bx 2cy 3a 0cx 2ay 3b 0有唯一解,即11,12,13交于一点.（6分）线性代数习题和答案第一部分选择题（共28分）、单项选择题（本大题共 14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。1.设行列式A. m+nC. n - m2.设矩阵A.aiiai2a2ia22=mai3a23aiia2i=n,则行列式an a12a13a 21 a22 a23B. - (m+n)D. m- nC.3.设矩阵A. 一 6A=A=，则A-

11、 1等于（* . . . . .1 , A是A的伴随矩阵，则4C. 24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC,则必有A. A = 0C. A 0 时 B=C5.已知3X4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A. 1C. 36.设两个向量组A.B.C.D.有不全为有不全为有不全为有不全为.a 1,（0的数入0的数入0的数入0的数入2,2,2,入入入入B.D.D.中位于（B. 61, 2）的元素是（B. B C时 A=0D. | A| 0 时 B=CAT)等于(B. 2D. 4, 3 s均线性相关，则（s 使入 1 a 1+入 2a 2+ Isa s=0 和入 11+入 22+入 s 3 s=0s

12、使入 1 ( a 1+ 3 1) +入 2( a 2+3 2) +入 s(as+3s) =0s 使入 1 (a1- 3 1) + 入2 (a 2- 3 2)+A,s(as- ”)=0s和不全为0的数科1,科2,，sc s使入1(X1+入2 a 2+ , , + X s a s=0和181+11282+ |ls3 s = 07 .设矩阵A的秩为r ,则A中（）B.所有r- 1阶子式全为0D.所有r阶子式都不为0Y 2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）B. - y1 1+刀2是Ax=b的一个解22刀1-刀2是Ax=b的一个解）B.秩（A）=n- 1D.方程组Ax=0只有零解A.所有r - 1阶

13、子式都不为0C.至少有一个r阶子式不等于08 .设Ax=b是一非齐次线性方程组，y i,A.刀i+刀2是Ax=0的一个解C.刀1-刀2是Ax=0的一个解9 .设n阶方阵A不可逆，则必有（A.秩（A）<n=010 .设A是一个n（>3）阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数入和向量 a使Aa =入a ,则a是A的属于特征值入的特征向量B.如存在数入和非零向量 a ,使（入E- A） a =0,则入是A的特征值的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如入1,入2,入3是A的3个互不相同的特征值，“1, a 2, “3依次是A的属于入1,入2,入3的特征向量，则a 1, a 2,

14、a 3有可能线性相关11.设入0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于入0的线性无关的特征向量的个数为k,则必有（）A. k <3B. k<3C. k=3D.k>312 .设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.| A|2必为 1B.| A| 必为 1=AT的行（列）向量组是正交单位向量组13 .设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，所人0则（）与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14 .下列矩阵中是正定矩阵的为（）A.3 B.21 1 1D. 1 2 01 0 2100C. 0 2303 5第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共 10小

15、题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的 空格内。错填或不填均无分。1 1115. 3 5 69 25 36、汗 11116.设 A=1 111 B=12 3 .则 A+2B=2 417.设 A=(a ij )3 x 3|A|二2Aj表示| A|中元素aj的代数余子式(i,j=1,2,3),则(a 11A21+a12A22+a13A23)+(a 21A21 + a22A22+a23A23) +(a 31A21 + a32A22+a33A23)=18.设向量(2, -3, 5)与向量(-4,619.设A是3X4矩阵，其秩为3,若刀1,为 20.设A是mX n矩阵，A的秩为

16、r(<n)a)线性相关，则a= .y 2为非齐次线性方程组 Ax=b的2个不同的解，则它的通解,则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为 21.设向量a、22.设3阶矩阵3的长度依次为2和3,A的行列式| A|=8 ,已知则向量a + 3与a - 3的内积(a + 3 , a - 3 )二A有2个特征值-1和4,则另一特征值为.23.设矩阵A=1031021是它的一个特征向量，则 a所对应的特征值为224.设实二次型f(x1,x 2,x 3,x 4,x 5)的秩为、计算题(本大题共7小题，每小题4,正惯性指数为3,则其规范形为6分，共42分)125.设 A= 31B=.求(

17、1) ABT； (2)|4A|.26.试计算行列式3521110513132413427.设矩阵A= 11,求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.试判断a 429.设矩阵A=是否为122321301301, 52=(X 3=, (X 4 =022434191 1, a 2,a 3的线性组合；若是，贝U求1：30328.给定向量组a 1 =2413120306232634求：(1)秩(A);02 230.设矩阵A= 23 4的全部特征值为12431和-8.求正交矩阵T和对角矩阵 D,使T- 1AT=D.31 .试用配方法化下列二次型为标准形 222f（x1,X2,X3）=X1 2x2 3x3

18、4x1x2 4x1x3 4x2x3 ?并写出所用的满秩线性变换。四、证明题（本大题共 2小题，每小题5分，共10分）32 .设方阵A满足A3=0,试证明E- A可逆，且（E- A） - 1=E+A+A A的列向量组的一个最大线性无关组。.33 .设刀0是非齐次线性方程组 Ax=b的一个特解， ），E 2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明 （1）刀1 =刀。+21,刀2二刀o+22均是 Ax=b的解；（2） Y 0 , Y 1 , Y 2 线性无关。答案：一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）二、填空题（本大题共 10空，每空2分，共20分）15. 616.17. 418

19、. - 1019. Y1 1 + C( Y 2 Y 1)(或 Y) 2 + C( Y 2 Y 1) ) , C 为任意常数20. n r21. - 522. - 223. 1222224. Z1Z2Z3Z4三、计算题(本大题共7小题，每小题6分，共42分)12 02225. 解(1) ABT= 3 4 0 341 2 110 6=18 10 .3 10(2) 14 A|=4 3| A|=64| A| ,而120I A|=3402.121所以 14 A|二64.(- 2)=- 128311226.解513420111533511111 131001055 30511111155 06 230 1

20、0 40.5527.解 AB=A+2B 即(A- 2E) B=A,而1223, - 1(A- 2E)= 11 01211所以 B=(A- 2E)-1A= 143 4 2 353110386=296 .2 129 13028.解一13 01022413 010 11241 91035011200880014140 131 1210 3 50 1120 0 110 0 0 010 0 20 10 10 0 110 0 0 0所以a 4=2 a 1+ a 2+ a 3,组合系数为(2, 1,1)解二 考虑 a 4=X1 a 1+X2 a 2+X3 a 3,2x1 X2 3X3 0X1 3X2 , X

21、2, X3)= (X1+2X2- 2x3)2- 2X22+4X2X3- 7X322X2 2X3 43X1 4X2 X3 9.方程组有唯一解（2, 1, 1） T,组合系数为（2, 1, 1）29.解对矩阵A施行初等行变换1210 200062A03282096321210203283000620002171210 203283c二B.0003100000(1)秩(B) =3,所以秩(A)=秩(B) =3.(2)由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。(A的第1、2、5列或1、3、4歹U,或1、3、5列也是)30.解 A的属于特征值入=1的2个线性无关的特征向量为E 1= (2, - 1, 0) T, E 2= (2, 0, 1) T.2.5/525/15经正交标准化，得 Y 1= 75/5 , v 2= 4Y5/150.5/3