数学 定积分在几何中的应用 人教A选修PPT课件

1、1、定积分的几何意义：Ox yab y f (x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 x a、x b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。 当 f(x)0 时，积分dxxfba)(在几何上表示由 y=f (x)、 x yOab y f (x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 -S 当f(x) 0时，由y f (x)、x a、x b 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方，一、复习引入第1页/共16页 如果如果f(x)f(x)是区间是区间aa，bb上的连续函数，上的连续函数，且且F F (x)=f(x)(x)=f(x)，那么，那么: :)()()(aFbFxdx

2、fba-2.2.微积分基本定理：微积分基本定理：第2页/共16页类型类型1 1：求由一条曲线求由一条曲线y=f(x)y=f(x)和直线和直线x=a,x=b(ab)x=a,x=b(ab)及及x x轴所围成平面图形的面积轴所围成平面图形的面积S S-bccabccadxxfdxxfdxxfdxxfS)()()(|)(| )3(badxxfS)( ) 1 (-badxxfS)( )2(2)xyoabc)(xfy(3)(1)xyo)(xfy ab1.1.几种典型的平面图形面积的计算：几种典型的平面图形面积的计算：二、新课讲解二、新课讲解第3页/共16页类型类型2 2：由两条曲线由两条曲线y=f(x)y

3、=f(x)和和y=g(x)y=g(x)，直线，直线 x=a,x=b(ab)x=a,x=b(ab)所围成平面图形的面积所围成平面图形的面积S S-bababadxxgxfdxxgdxxfS)()(|)(|)( )2(-bababadxxgxfdxxgdxxfS)()()()( ) 1 (yxoba)(xfy )(xgy (2)(xfy )(xgy (1)第4页/共16页例题讲解例题讲解分析：首先画出草图.从图中可以看出，所求图形的面积可以转化为两个曲边梯形面积的差，进而可以用定积分求面积s.为了确定出被积函数和积分的上、下限，我们需要求出两条曲线的交点的横坐标.第5页/共16页解解: :作出作出

4、y y2 2=x,y=x=x,y=x2 2的图象如图所示的图象如图所示: :即两曲线的交点为即两曲线的交点为(0,0),(1,1)(0,0),(1,1)1 12 20 0S S= = ( ( x x- -x x ) )d dx x323102()|33xx-.31 边边曲梯形OABC曲梯形OABDS= S-Soxy2yx2yx2xy yxABCDO11200 xdxx dx-11002yxyxxyxy或解方程组第6页/共16页(1)(1)作出示意图作出示意图;(;(弄清相对位置关系弄清相对位置关系) )(2)(2)求交点坐标，确定图形范围求交点坐标，确定图形范围( (积分的上限积分的上限, ,

5、下限下限) )(3)(3)写出平面图形的定积分表达式；写出平面图形的定积分表达式；2.2.求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤: :(4)(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出面积。运用微积分基本定理计算定积分，求出面积。第7页/共16页例例2.2.计算由曲线计算由曲线 直线直线y=x-4y=x-4以及以及x x轴围成图形轴围成图形 的面积的面积. . xy2解解: : 作出作出y=x-4, y=x-4, 的图的图象如图所示象如图所示: :2yx解方程组：解方程组：-42xyxy得：直线得：直线y=x-4y=x-4与与 交点为交点为(8(8，4)4)直

6、线直线y=x-4y=x-4与与x x轴的交点为轴的交点为(4(4，0)0)2yx因此，所求图形的面积为一因此，所求图形的面积为一个曲边梯形与一三角形面积个曲边梯形与一三角形面积之差：之差：340)4(28480-dxxdxxS本题还有其他解法吗？本题还有其他解法吗？第8页/共16页另解另解1 1：将所求平面图形的面将所求平面图形的面积分割成左右两个部分。积分割成左右两个部分。3402)4(40240-dyydyyS还需要把函数还需要把函数y=x-4y=x-4变形为变形为x=y+4x=y+4，函数，函数 变形为变形为2yx22yx 2yx4- - xyS1S2)4(2284844021dxxdx

7、xdxxSSS-340)4(213223224848042323-xxx另解另解2 2：将所求平面图形的面积将所求平面图形的面积看成位于看成位于y y轴右边的一个梯形与轴右边的一个梯形与一个曲边梯形的面积之差，因此一个曲边梯形的面积之差，因此取取y y为积分变量，为积分变量，第9页/共16页3322822024 22 21166426|(4 )|18332333xxxx-28022 2( 24)xdxxxdx-思考：思考：将曲线沿将曲线沿x x轴旋转，轴旋转，与直线相交于一点，求曲与直线相交于一点，求曲线与直线围成的面积。线与直线围成的面积。ABS2S1S1解法解法1：281202222( 2

8、4)SSSxdxxxdx-第10页/共16页AB解法2：dyyS-4222y)4(1864224324242-yyy思考：思考：将取将取y y为积分变量，为积分变量，把函数把函数y=x-4y=x-4变形为变形为x=y+4x=y+4，函数函数 变形为变形为2yx22yx第11页/共16页1.思想方法思想方法: 数形结合及转化数形结合及转化.2.求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤:(1)(1)作出示意图作出示意图;(;(弄清相对位置关系弄清相对位置关系) )(2)(2)求交点坐标，确定图形范围求交点坐标，确定图形范围( (积分的上限积分的上限, ,下限下限) )(3)(3)写出平面图形的定积分

9、表达式；(4)(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出面积。运用微积分基本定理计算定积分，求出面积。课堂小结课堂小结第12页/共16页练习练习1.1. 求抛物线求抛物线y=xy=x2 2-1-1，直线，直线x=2x=2，y=0y=0所围所围 成的图形的面积。成的图形的面积。yx解：解：如图：由如图：由x x2 2-1=0-1=0得到抛物线得到抛物线与与x x轴的交点坐标是轴的交点坐标是(-1,0)(-1,0)，(1,0).(1,0).所求面积如图阴影所示：所求面积如图阴影所示：所以：所以：-112212) 1() 1(dxxdxxS课堂练习课堂练习38)3()3(113123-xxxx第13页/共16页xy-212102)23()32(dxxxdxxxS