第9节子群的陪集与商群

1、近世代数1第第9节节 子群的陪集与商群子群的陪集与商群主要内容主要内容:l 子群的陪集子群的陪集l Lagrange定理定理l 正规子群正规子群l 商群商群近世代数2陪集陪集定义定义1 设设H是是G的子群，的子群，aG. 令令aH=ah | hH称称aH是子群是子群H在在G中的中的左陪集左陪集. 称称a为为aH的的代表元素代表元素. 令令Ha=ha | hH，称，称Ha是子群是子群H在在G中的中的右陪集右陪集. 称称a为为Ha的的代表元素代表元素. 近世代数3陪集陪集例例1 设设G=e,a,b,c是是Klein四元群，四元群，H=(a)=e,a是是G的子群的子群. H所有的左陪集是：所有的左陪

2、集是： eH=e,a=H, aH=a,e=H, bH=b,c, cH=c,b不同的左陪集只有两个，即不同的左陪集只有两个，即H和和b,c. e a b ceabc e a b c a e c b b c e a c b a e 近世代数4陪集的基本性质陪集的基本性质性质性质1 设设H是群是群G的子群，则的子群，则 (1) He = H ;(2) aG 有有aHa .性质性质2 设设H是群是群G的子群，则的子群，则 a,bG有有 abH baH a 1bH aH=bH .性质性质3 设设H是群是群G的子群，在的子群，在G上定义二元关系上定义二元关系R： a,bG, (a,b)R a 1 bH则则

3、 R是是G上的等价关系，且上的等价关系，且aR = aH.近世代数5性质性质4 设设H是群是群G的子群的子群, 则则(1) aG，aH ;(2) a,bG，aH = bH 或或 aHbH = ;(3) aH = G .性质性质5 设设H是群是群G的子群，则的子群，则 a,bG，|H |=|aH| =|bH| .性质性质6 设设H是群是群G的子群，则的子群，则H的所有左陪集构成的的所有左陪集构成的集族是集族是G的一个划分的一个划分.性质性质7 设设H是群是群G的子群，令的子群，令Sl为为H的所有左陪集构的所有左陪集构成的集族，成的集族， Sr为为H的所有右陪集构成的集族，则的所有右陪集构成的集族

4、，则| Sl|=| Sr|.陪集的基本性质陪集的基本性质近世代数6Lagrange定理定理定理定理1 （Lagrange）设）设G是有限群，是有限群，H是是G的子群，则的子群，则|G| = |H|G:H 其中其中G:H 是是H在在G中的不同左陪集中的不同左陪集(或右陪集或右陪集) 数，数，称为称为H在在G 中的中的指数指数. 证证 设设G:H = r，a1,a2,ar分别是分别是H 的的r个右陪集的代个右陪集的代表元素，表元素， G = Ha1Ha2Har|G| = |Ha1| + |Ha2| + + |Har|由由|Hai| = |H|，i = 1,2,r, 得得 |G| = |H|r =

5、|H|G:H近世代数7Lagrange定理的推论定理的推论推论推论1 设设G是是n阶群，则阶群，则 aG，|a|是是n的因子，且有的因子，且有an = e. 证证 任取任取aG，(a)是是G的子群，的子群，(a)的阶是的阶是n的因子的因子. (a)是由是由a生成的子群，若生成的子群，若|a| = r，则，则 (a) = a0=e,a1,a2,ar 1即即(a)的阶与的阶与|a|相等相等, 所以所以|a|是是n的因子的因子. 从而从而an = e.近世代数8Lagrange定理的推论定理的推论推论推论2 对阶为素数的群对阶为素数的群G，必存在，必存在aG使得使得G = (a).证证 设设|G|

6、= p，p是素数是素数. 由由p2知知G中必存在非单位元中必存在非单位元. 任取任取aG，a e，则，则(a)是是G的子群的子群. 根据拉格朗日根据拉格朗日定理，定理，(a)的阶是的阶是p的因子，即的因子，即(a)的阶是的阶是 p或或1. 显然显然(a)的阶不是的阶不是1，这就推出，这就推出G = (a).近世代数9Lagrange定理的应用定理的应用命题命题：如果群：如果群 G 只含只含 1 阶和阶和 2 阶元，则阶元，则 G 是是Abel群群. 证证 设设a为为G中任意元素，有中任意元素，有a 1 = a. 任取任取 x, yG，则，则 xy = (xy) 1 = y 1x 1 = yx，

7、 因此因此G是是Abel群群. 近世代数10Lagrange定理的应用定理的应用例例2 证明证明 6 阶群中必含有阶群中必含有 3 阶元阶元. 证证 设设G是是6 阶群，则阶群，则G中元素只能是中元素只能是1阶、阶、2阶、阶、3阶阶或或6阶阶.若若G中含有中含有6 阶元，设为阶元，设为a，则，则 a2是是3 阶元阶元. 若若G中不含中不含6 阶元，下面证明阶元，下面证明G中必含有中必含有3阶元阶元. 如若不然，如若不然，G中只含中只含1阶和阶和2阶元，即阶元，即 aG，有，有a2=e，由命题知，由命题知G是是Abel群群. 取取G中中2阶元阶元 a 和和 b，a b，令，令 H = e, a,

8、 b, ab，则，则H 是是G的子群，的子群，但但 |H| = 4，|G| = 6，与拉格朗日定理矛盾，与拉格朗日定理矛盾. 近世代数11例例3 证明阶小于证明阶小于6 的群都是的群都是Abel群群. Lagrange定理的应用定理的应用证证 1 阶群是平凡的，显然是阿贝尔群阶群是平凡的，显然是阿贝尔群. 2, 3和和5都是素数，由推论都是素数，由推论2它们都是单元素生成的它们都是单元素生成的循环群，都是循环群，都是Abel群群. 设设G是是4阶群阶群. 若若G中含有中含有4阶元，比如说阶元，比如说a，则，则G=(a)，由上述分析可知由上述分析可知G是是Abel群群. 若若G中不含中不含4阶元，阶元，G中只含中只含1阶和阶和2阶元，由命题可阶元，由命题可知知G也是也是Abel群群. 近世代数12正规子群正规子群定义定义2 设设H是群是群G的子群。如果的子群。如果 aG有有aH=Ha，则，则称称H是群是群G的正规子群或不变子群的正规子群或不变子群.定理定理2(正规子群的判别定理正规子群的判别定理) 设设H是群是群G的一个子群，的一个子群，则则(1)H是群是群G的正规子群的正规子群 aG有有aHa-1=H ；(2)H是群是群G的正规子群的正规子群 aG有有aHa-1 H .近世代数13商群商群定理定理3 设设H是群是群G的正规子群，则的正