概率论与数理统计东华大学出版社第三章第一节

1、 11、设 x N (- 1,16) 求 P x > -1.5， P- 5 < x £ 1， P 求常数 c ，使 P x ³ c = P x £ c。 解： P x > -1.5 = Pí x < 1， Px + 1 ³ 2； ìx + 1 - 1.5 + 1ü > h > -0.125 = F(0.125) = 0.5498 ý = P 4 þ î 4 x +1 ì ü P- 5 < x £ 1 = Pí- 1

2、 < £ 0.5ý = F(0.5) - F(- 1) = 0.5328 4 î þ x +1 ì ü Px < 1 = P- 1 < x < 1 = Pí0 < < 0.5ý = F(0.5) - F(0) = 0.1915 4 î þ x +1 ì ü Px + 1 ³ 2 = 1 - Px + 1 < 2 = 1 - Pí- 0.5 < < 0.5ý 4 î þ =

3、1 - F(0.5) - F(- 0.5) = 0.617 P x ³ c = 1 - P x < c = P x £ c P x £ c = 0.5 ìx + 1 c + 1 ü Pí £ ý = 0.5 4 þ î 4 æ c + 1ö Fç ÷ = 0.5 è 4 ø c +1 =0 4 c = -1 12、设测量误差 x 的密度函数 f (x ) = 1 40 2 e - ( x - 20)2 3200 ， - ¥

4、; < x < +¥ 求测量误差的绝对值不超过 30 的概率； 如果接连测量 3 次， 每次测量相互独立， 求至少有一次误差的绝对值不超过 30 的概 率。 解： m = 20, s = 40 ， ì - 30 - 20 x - 20 30 - 20 ü Px < 30 = P- 30 < x < 30 = Pí < < ý 40 40 þ î 40 = F(0.25) - F(- 0.125) = F(0.25) + F(0.125) - 1 = 0.4931 设 h 表示“测量误

5、差的绝对值不超过 30” ， h B(3,0.4931) 6 0 (0.4931) (1 - 0.4931) = 0.8698 P h ³ 1 = 1 - P h < 1 = 1 - P h = 0 = 1 - C3 0 3 13 、一工厂生产的电子管寿命 x 服从参数为 m 和 s 的正态分布， m = 160 ，若要求 2 P 120 £ x £ 200 ³ 0.80 ，问 s 最大允许为多少？ 解： P 120 £ x £ 200 = P í ì120 - 160 x - 160 200 - 160 &

6、#252; £ £ ý s s s î þ æ 40 ö æ 40 ö æ 40 ö = Fç ÷ - Fç - ÷ = 2Fç ÷ - 1 ³ 0.8 ès ø è s ø ès ø 40 æ 40 ö ³ 1.28 ， s £ 31.25 ，即允许 s 最大为 31.25。 Fç ÷ ³

7、; 0.9 ，从而 s ès ø 14、某地会考中学生成绩服从正态分布，现知不及格人数占总数 15.9%，96 分以上占总数 2.3%，问成绩在 6084 之间的占总数多少？ 解： P x < 60 = 0.159 ìx - m 60 - m ü æ 60 - m ö Pí < ÷ = 0.159 ý = Fç s þ î s è s ø æ m - 60 ö Fç ÷ = 0.841 è s

8、ø m - 60 =1 s æ 96 - m ö Fç ÷ = 0.977 è s ø P x > 96 = 1 - P x £ 96 = 0.023 由，得： m = 72, 96 - m s =2 s = 12 ì 60 - 72 x - 72 84 - 72 ü P60 < x < 84 = Pí < < ý = F(1) - F(- 1) = 0.6826 12 12 þ î 12 15、设某元件寿命 x 是个随机变量

9、，其密度为 0, x £ 1000 ì ï f (x ) = í1000 , x > 1000 ï î x2 问在 1500 小时内 三个元件中没一只损坏的概率 a ； 三个元件全部损坏的概率 b 。 这里假设三个元件是否损坏是相互独立的。 x > 1500 = 解： p = P ò +¥ 1500 f (x )dx = ò 1000 1000 2 dx = - = 2 1500 x x 1500 3 +¥ +¥ a = p 3 = 8 / 27 b = (1 - p )

10、= 1 / 27 3 7 16、设随机变量 x 的密度函数为 ì2 x, 0 < x < 1 f (x ) = í 其它 î 0, 用 h 表示对 x 进行三次独立重复观察中事件 x £ 1 2出现的次数 求 h 的分布律； 求 P h = 2。 解： P x £ 1 2 = ò 1 2 0 2 xdx = x 1 2 2 0 = 1 4 h P i(i = 0,1,2,3) æ1ö æ 3ö C ç ÷ç ÷ è 4ø &

11、#232; 4ø i 3 i 3- i æ1ö æ 3ö 9 P h = 2 = C ç ÷ ç ÷ = è 4 ø è 4 ø 64 2 3 2 17、设随机变量 x 服从在 2,5 上的均匀分布，现在对 x 进行 4 次观察，试求至少有 2 次观 察值大于 3 的概率。 ì1 ï , 2£ x£5 解： f ( x ) = í 3 ï 其它 î 0, 0 4 0 4 1 4 1 1 2 p = Px > 3 = ò dx = 3 3 3 3 5 P = 1 - C p (1 -