25平面向量的应用

1、学习目标：学习目标：1. 1.运用向量有关知识，解决平面几何中线段的平行、垂直、相等运用向量有关知识，解决平面几何中线段的平行、垂直、相等等问题。等问题。2. 2.体会平面向量知识解决平面几何问题的两种方法体会平面向量知识解决平面几何问题的两种方法几何法几何法和坐标法。和坐标法。3. 3.体验向量在解决平面几何问题中的工具作用。体验向量在解决平面几何问题中的工具作用。复习回顾复习回顾（用向量的几何运算和坐标运算两种形式表（用向量的几何运算和坐标运算两种形式表示示）（1）向量共线的充要条件:ab 与 共线 0, bRba（2）向量垂直的充要条件：0, 00bababa（3）两向量相等充要条件：,

2、 baba且方向相同。0/),(),(12212211yxyxbayxbyxa0),(),(21212211yyxxbayxbyxa21212211,),(),(yyxxbayxbyxa(4)向量法解平面几何的步骤：选取适当的基底，用向量表示几何关系；进行向量运算；还原为几何问题。.1,4ABCDEFACAEFCACDEBF例1已知平行四边形中， 、 是对角线、 上的两点，且试用向量方法证明四边形也是平行四边形DABCEF小结：小结：AB CDABCD要证且ABCD要证ABDC要证选取适当的基底，用向量表示几何关系；选取适当的基底，用向量表示几何关系；进行向量运算；进行向量运算；还原为几何问题

3、。还原为几何问题。ABDC ABDC ABDC 存在实数 ，使转化转化.例2求证：平行四边形的对角线互相平分。ABCDM,ABCDAC BDMMAC BD已知：四边形是平行四边形，交于求证：是的中点。ABCDMab小结：小结： 选取基底设未知数；选取基底设未知数；列向量方程（即同一向量两个分解式）列向量方程（即同一向量两个分解式）由向量分解的唯一性解方程组。由向量分解的唯一性解方程组。方程思想方程思想1.:2:3ABCDEBCACADBEGAG ADBG BE如图，中， 、 分别是、的中点，设与相交于 ，求证： G E D C B A步骤：步骤： 选取基底设未知数；选取基底设未知数；列向量方程

4、（即同一向量两个分解式）列向量方程（即同一向量两个分解式）由向量分解的唯一性解方程组。由向量分解的唯一性解方程组。方程思想方程思想BACEDPF例3已知正方形ABCD，P为对角线AC上任意一点，PE垂直AB于点E，PF垂直BC于点F，连接DP，EF。求证DP垂直EF。xy1证明：不妨设正方形边长为，建系如图：则D(1,1),P(x,1-x),E(0,1-x),F(x,0)(1,),( ,1)DPxx EFx x DPEFDPEF 小结：小结：建立坐标系；建立坐标系；写出用到的点的坐标及向量坐标；写出用到的点的坐标及向量坐标；进行坐标运算；进行坐标运算；还原为几何问题。还原为几何问题。几何几何问

5、题代数化几何问题代数化数形结合思想数形结合思想(1)(1)0DP EFx xx x 1.21,ABCDECDAEDB如图，已知矩形的长与宽分别为和是边上的中点，证明：ECBADyOx2(0,1)(,0)(0,0)( 2,1)2AEDB证明：建系如图：则2(, 1)( 2,1)2AEBD 0AE BD AEBD 即AEBD步骤：步骤：建立坐标系；建立坐标系；写出用到的点的坐标写出用到的点的坐标及向量坐标；及向量坐标；进行坐标运算；进行坐标运算；还原为几何问题。还原为几何问题。PFyxEDCBAOEFPAPFCEDBPABCD证证明明：是是矩矩形形上上一一点点，是是对对角角线线是是正正方方形形四四

6、边边形形如如图图所所示示例例 ，3.证明证明:直径所对的圆周角是直角直径所对的圆周角是直角. oACBBAOCOAB90求求证证：任任意意一一点点、上上异异于于圆圆为为的的直直径径，为为圆圆已已知知：如如图图所所示示，OCAB用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤三个步骤”：（1 1）选取适当的基底，建立平面几何与向量的联）选取适当的基底，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；何问题转化为向量问题；（2 2）通过向量运算，研究几何元素之间的度量和）通过向量运算，研究几何元素之间的度量和关系，如线段的长度、平