23等差数列的前n项和(共三课时)

1、学问是苦根上长出来的甜果学问是苦根上长出来的甜果主备人：罗瑜唐强主备人：罗瑜唐强 审核人：牟必继审核人：牟必继1.等差数列的定义：等差数列的定义： 1(2)nnnaaad n 是是等等差差数数列列2.通项公式：通项公式：1(1) .naand3.重要性质重要性质:() .nmaanm d.mnpqmnpqaaaa 复习复习 一般地，我们称一般地，我们称a1+a2+an为数列为数列an的前的前n项和，项和，常用常用Sn表示，即表示，即Sn=a1+a2+an数列前数列前n项和项和:首项与末项的和：首项与末项的和： 1100101，第第2项与倒数第项与倒数第2项的和：项的和： 299 =101， 第

2、第3项与倒数第项与倒数第3项的和：项的和： 398 101， 第第50项与倒数第项与倒数第50项的和：项的和：5051101，于是所求的和是：于是所求的和是：1001015050.2问题问题1:求求 S=1+2+3+100=？你知道高斯是怎么计算的吗？高斯算法：高斯算法：高斯算法用到了等差数列的什么性质？高斯算法用到了等差数列的什么性质？.mnpqmnpqaaaa 高斯出生于一个工高斯出生于一个工匠家庭，幼时家境贫困，匠家庭，幼时家境贫困，但聪敏异常。上小学四但聪敏异常。上小学四年级时，一次老师布置年级时，一次老师布置了一道数学习题：了一道数学习题：“把把从从1 1到到100100的自然数加起

3、的自然数加起来，和是多少？来，和是多少？”年仅年仅1010岁的小高斯略一思索岁的小高斯略一思索就得到答案就得到答案50505050，这使，这使老师非常吃惊。那么高老师非常吃惊。那么高斯是采用了什么方法来斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？巧妙地计算出来的呢？ 高斯（高斯（1777-18551777-1855），）， 德德国数学家、物理学家和天文学国数学家、物理学家和天文学家。他和牛顿、阿基米德，被家。他和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家。誉为有史以来的三大数学家。有有“数学王子数学王子”之称。之称。 高斯高斯“神速求和神速求和”的故事的故事: :问题问题2：1+2+3+n=？ 1

4、 + 2 + + n-1 + n n + n-1 + + 2 + 1 (n+1) + (n+1) + + (n+1) + (n+1)(1)2n n怎样求一般等差数列的前怎样求一般等差数列的前n项和呢？项和呢？ 12,.nnnnanSSaaa 设设等等差差数数列列的的前前 项项和和为为即即12.nnSaaa11.nnnSaaa12112()()()nnnnSaaaaaa1().nn aa1211nnnaaaaaa1().2nnn aaS 新课新课倒序相加法倒序相加法等差数列的前n项和公式1(1)naand2)1nnaanS （dnnnaSn2)11 （公式1公式2注：注： a1为首项，为首项，n

5、为项数，为项数，d为公差为公差, an为第为第n项项dnnnaSn2)11 （dnaan)1(1 思考： na1, , ,nna a n d S1anan公式记忆公式记忆1)2nnn aaS（11)2nn nSnad（ 类比梯形面积公式记忆例例1、计算：、计算：(1)123(2)1 35(21)(3)2462(4)1 23456(21)2 .nnnnn ；(4)1 3 5(21) (2 4 62 ).nn 解：原式(1 2) (3 4) (5 6)(21) 2 .nn又解：原式(1)2n n 2n(1)n n11)21)2nnnn aaSn nSnad（ 举例举例.5002)955(1010

6、S2550)2(2)150501005050 （S,2617 . 05 .1432 n.5 .6042)325 .14(2626 S;10,95,5)1(1 naan;50,2,100)2(1 nda.32,7.0,5.14)3(1 nada2. 根据下列条件，求相应的等差数列根据下列条件，求相应的等差数列 的的 nanS练习练习例例2.已知一个等差数列已知一个等差数列an的前的前10项的和是项的和是310，前，前20项项的和是的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的前，由这些条件能确定这个等差数列的前 n 项项和的公式吗？和的公式吗？解：依题意知，解：依题意知，S10=310，S20=

7、12201(1)2nn nSnad10a1+45d=31020a1+190d=1220得得解得解得 a1=4，d=62(1)4632nn nSnnn将它们代入公式将它们代入公式注：本题体现了方程的思想注：本题体现了方程的思想.练习、练习、10, 6, 2,2,54 等差数列前多少项的和是 ？ 1212,10,6( 10)4,54.( -1)-10454262709,3-10 -6 -2 2954nnnanSadSn nnnnnn 设设该该等等差差数数列列为为其其前前 项项和和是是则则根根据据等等差差数数列列前前项项和和公公式式，得得 整整理理得得 解解得得 （ （舍舍去去）因因此此，等等差差数

8、数列列， ， ， ， 前前 项项的的和和是是解：解：例例3、 2512151636,.naaaaaS 在在等等差差数数列列中中，已已知知求求解：1161611616()8()2aaSaa2512152155121163618aaaaaaaaaa8 18144. 例例4. 2000年年11月月14日教育部颁发了日教育部颁发了关于在中小学实关于在中小学实施施“校校通校校通”工程的通知工程的通知某市据此提出了实施某市据此提出了实施“校校通校校通”工程的总目标：从工程的总目标：从2001年起用年起用10年时间，年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网据测算，在全市中小学建成不同标准的校园网据测算，20

9、01年该市用于年该市用于“校校通校校通”工程的费用为工程的费用为500万元，为了保万元，为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加增加50万元那么从万元那么从2001年起的未来年起的未来10年内，该市在年内，该市在“校校通校校通”工程中的总投入是多少？工程中的总投入是多少？解：根据题意，从解：根据题意，从2001-2010年，该市每年投入年，该市每年投入“校校校校通通”工程的经费都比上一年增加工程的经费都比上一年增加50万元万元.所以，可以建立一个等差数列所以，可以建立一个等差数列an ，表示从，表示从2001年起年起各年投入的资金，

10、其中各年投入的资金，其中a1=500d=5010 (10 1)10 50050 7250102S那么，到那么，到2010年年(n=10),投入的资金总额为投入的资金总额为答：从答：从20012010”年年,该市在该市在“校校通校校通”工程中的总工程中的总投入是投入是7250元元.解：根据题意，从解：根据题意，从2001-2010年，该市每年投入年，该市每年投入“校校校校通通”工程的经费都比上一年增加工程的经费都比上一年增加50万元万元.所以，可以建立一个等差数列所以，可以建立一个等差数列an ，表示从，表示从2001年起各年起各年投入的资金，其中年投入的资金，其中 a1=500d=502026

11、0,?某某剧剧场场有有排排座座位位 后后一一排排比比前前一一排排多多 个个座座位位最最后后一一排排有有个个座座位位 这这个个剧剧场场共共有有多多练练：少少个个座座位位习习8201、用倒序相加法推导等差数列前、用倒序相加法推导等差数列前n项和公式项和公式;1n1( ) ()2(1)S2nnn aaSn nnad 2 2、求求和和公公式式 小结小结3、应用公式求和、应用公式求和.“知三求二知三求二”，方程的思想，方程的思想.已知首项、末项用公式已知首项、末项用公式；已知首项、公差用公式；已知首项、公差用公式.作业作业书面作业：书面作业：P46 习题习题2.3 A组组 1、2 、3 2.2.3 2.

12、2.3 等差数列的前等差数列的前n项和项和第二课时第二课时例例1. 已知数列已知数列an的前的前n项和为项和为 ，求该，求该数列的通项公式，这个数列是等差数列吗？如果是，数列的通项公式，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是什么？它的首项和公差分别是什么？212nSnn新课讲授新课讲授解：解：Sn=a1+a2+an，Sn-1=a1+a2+an-1(n1)1nnnaSS 当当n=1时，时，211131122aS a1也满足也满足式式22111122()()nnnn 当当n1时，时，122n所以数列所以数列an的通项公式为的通项公式为:122nan由此可知，数列由此可知，数列an是一个

13、首项为是一个首项为1.5，公差为，公差为2的的等差数列等差数列 若已知数列若已知数列an前前n项和为项和为Sn，则该数列的，则该数列的通项公式为通项公式为S1， n=1Sn- Sn-1，n2an=练习：练习：（1）若）若Sn=n2-1，求，求an；（；（2）若）若Sn=2n2-3n，求，求an.0 ,121,2nnann （1）45nan （2）2）= =注意注意：(1)这种做法适用于这种做法适用于所有数列所有数列； (2)用这种方法求通项需检验用这种方法求通项需检验a1是否满足是否满足an. 若是，则若是，则an = Sn- Sn-1结论结论探究：探究： 一般地，如果一个数列一般地，如果一个

14、数列an的前的前n项和为项和为Sn=pn2+qn+r，其，其中中p、q、r为常数，且为常数，且p0，那么这个数列一定是等差数列，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，则它的首项与公差分别是什么？吗？若是，则它的首项与公差分别是什么？分析：分析：当当n1时，时，当当n=1时，时，a1=S1=p+q+r又又当当n=1时，时，a1=2p-p+q=p+q 当且仅当当且仅当r =0时，时，a1满足满足an=2pn-p+q故只有当故只有当r=0时该数列才是等差数列，时该数列才是等差数列，此时首项此时首项a1=p+q，公差，公差d=2p(p0)an=Sn-Sn-1 =pn2+qn+r-p(n-1)2-q(n-

15、1)-r =2pn-p+q2,( ,)nSAnBn AB 为为 常常 数数数列数列an为等差数列为等差数列等差数列前等差数列前n n项和公式的函数特征：项和公式的函数特征：21111222nddSnan ndnan12,22nSAnddABaABnB设则是常数2200,.nnAdSnSAnBnyAxBx当即时是关于 的二次函数式,即的图象是抛物线上的一群孤立的点特征：特征：知识拓展：知识拓展： 2( ,)nnnanSAnBn ABa数列的前 项和为常数 ，则数列是不是一定是等差数列？思考：思考： 22( ,)nnaASAnBn A B是公差为的等差数列为常数结论：结论：22.,( ,)nSAn

16、Bn A B 思思路路为为常常数数100A+10B=310400A+20B=1220比如：比如：P44例例2思路思路1：带公式解方程组：带公式解方程组例例1：P45例例5等差数列前项和的最值问题：等差数列前项和的最值问题： 47137 ,0aaa且 例2、已知一个等差数列中满足 .nnnSannS是数列的前 项和，求 为何值时取最大值9.n解：方法一471437033aada11437(1)()0334naanan 111433()0 .334naanan，nnSa是数列的前解：方法二471437033aada 11(1)4()233 nn nSnaa21123 5,3 33 3a na n

17、对称轴 且更接近9，所以n=9.358,94n 47137,0aaa且 例2、已知一个等差数列中满足 nnnS项和，求 为何值时取最大值 n248n1aa0,0n.SSS变式 ：等差数列中，求使得成立的最大自然数 n389n2aaa0,0.SnS变式 ：等差数列中，为何值时 最小？2、在等差数列中an，若a1=25，且S9=S17，求数列前多少项和为最大？ 3、在等差数列、在等差数列an中，中，Sn为其前为其前n项和，首项和，首项项a1=13，且，且S3=S11，则，则n=_时时,Sn取得最取得最大值。大值。7作业:1、P45 练习练习 2第三课时第三课时3221223nnnnnSSaaa 结

18、论：结论： 若数列若数列an为等差数列为等差数列,记记12nnSaaa 2122nnnnnSSaaa 仍成等差数列，仍成等差数列，232,nnnnnSSSSS则则且公差为且公差为n2d等差数列前等差数列前n项和性质项和性质方法一：方法一：方程思想方程思想10S ，2010SS，3020SS方法二：方法二：成等差数列成等差数列等差数列奇，偶项和问题等差数列奇，偶项和问题例2、已知一个等差数列前12项的和是354，前 12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差分析：方法一：直接套用公式； 方法二：利用奇数项与偶数项的关系解：方法一： 12112 1112354,26 55.62322,6 527622addadad例2、已知一个等差数列前12项的和是354，前 12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差解：方法二： 354,162,32,192,27SSSSSS奇偶奇奇偶偶3065.SSdd偶奇例3、已知一个等差数列中d=05， 100145,S13599 .aaaa求的 值分析：还是利用奇数