高等数学下册第6章向量代数及空间解析几何 (8)

1、6.8 6.8 二次曲面二次曲面6.8.4 6.8.4 单叶双曲面单叶双曲面6.8.3 6.8.3 锥面锥面6.8.2 6.8.2 椭圆抛物面椭圆抛物面6.8.1 6.8.1 椭球面椭球面6.8.5 6.8.5 双叶双曲面双叶双曲面6.8.6 6.8.6 双曲抛物面双曲抛物面二次曲面的定义：二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称为三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面二次曲面相应地平面被称为相应地平面被称为一次曲面一次曲面讨论二次曲面性状的讨论二次曲面性状的截痕法截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后相截，考察其交

2、线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌加以综合，从而了解曲面的全貌以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面6.8.1 椭球面1222222 czbyax方程方程(1)(1)范围：范围：.,czbyax (2)(2)与坐标面的交线：椭圆与坐标面的交线：椭圆,012222 zbyax,012222 xczby 012222yczaxxyzoacb)(11czzz 的交线为椭圆：的交线为椭圆：1zz (3) (3) 截痕截痕: :1)()(212221222222 zcyzcxcbcaxyzoacb同样同样)(11byyy 的截痕也为椭圆的截痕也为椭圆. .

3、）（axxx 11及及(4) (4) 当当ab 时为时为旋转椭球面；旋转椭球面； 当当abc 时为时为球面球面.6.8.2 椭圆抛物面方程方程2222byaxz 曲面在曲面在xOy面的上方且与面的上方且与xOy面交面交于原点于原点.zyxo曲面与平面曲面与平面)0(11 zzz的交线为的交线为 , 11212212zzbzyazx用平面用平面1yy 去截该曲面去截该曲面，所得交线也是抛物线所得交线也是抛物线 .,122122yybyaxz例例1 方程方程z =3-=3-x2 2-2-2y2 2表示什么的曲面？表示什么的曲面？的椭圆抛物面，将这个曲面向上平移的椭圆抛物面，将这个曲面向上平移3 3

4、个单位，即个单位，即得得z =3-=3-x2 2-2-2y2 2得图形（见图得图形（见图6.636.63）xyzo3解解z=-(=-(x2 2+2+2y2 2) )的图形是开口向下，顶点在原点的图形是开口向下，顶点在原点图图6.636.636.8.3 锥面方程方程22222byaxz 所表示的曲面称为椭圆锥面所表示的曲面称为椭圆锥面 xyzo与与y=y1的交线为双曲线的交线为双曲线. .,221222byaxz y=y1.当当a=b时时, ,曲面就是圆锥面曲面就是圆锥面. .6.8.4 单叶双曲面方程方程1222222 czbyaxby 1) 1上上的的截截痕痕为为平平面面1zz 椭圆椭圆.

5、.时时, , 截痕为截痕为22122221byczax ( (实轴平行于实轴平行于x 轴；轴；虚轴平行于虚轴平行于z 轴）轴）1yy 1yy 平面平面 上的截痕情况上的截痕情况: :双曲线双曲线: : yxzo虚轴平行于虚轴平行于x 轴）轴）by 1)2时时, , 截痕为截痕为0 czax)(bby 或或by 1)3时时, , 截痕为截痕为22122221byczax ( (实轴平行于实轴平行于z 轴轴; ;1yy 相交直线相交直线: : 双曲线双曲线: : 0 6.8.5 双叶双曲面1222222czbyax方程方程上的截痕为上的截痕为平面平面1yy 双曲线双曲线上的截痕为上的截痕为平面平面

6、1xx 上上的的截截痕痕为为平平面面)(11czzz 椭圆椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别: : 双曲线双曲线zxyo 222222czbyax单叶双曲面单叶双曲面11双叶双曲面双叶双曲面6.8.6 双曲抛物面（马鞍面）zbyax2222用截痕法讨论用截痕法讨论图形如下图形如下:xyzo方程方程223yxz 223yxz 例例2画出由曲面画出由曲面及平面及平面x=0, x=1,y=0, y=1, z=0所围成立体的图形所围成立体的图形.解解x=0, x=1, y=0, y=1都是与都是与z 轴平行的平面，轴平行的平面，它们围成了立体的侧面它们围成了立体的侧面.当当10, 10 yx时，时，, 0322 yxz所以平面所以平面z=0是立体的底面，是立体的底面，曲面曲面是立体是立体的顶部曲面，的顶部曲面