2019-2020学年山东省青岛市平度市高一下学期线上阶段测试数学试题(解析版)

1、2019-2020学年山东省青岛市平度市高一下学期线上阶段测试数学试题一、单选题rrr1 .已知向量 a 2,4 , b 1,1，则 2ab()A. 5,7B. 5,9C. 3,7D. 3,9【答案】Arr r【解析】因为2a (4,8)，所以2a b (4,8) ( 1,1)= (5, 7),故选A.【考点】本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题2.设a与b是两个不共线向量，且向量 aA. 0B. 1 C.-2D.2【答案】Br r rb与 b 2a共线，则 =()12ra不是零向量，r rk b 2a 成r rr【解析】 试题分析：因为a与b是两个不共线向量，所以向量 b 2r rr

2、rrr又因为向量a b与 b 2a共线，所以存在唯一实数 k,使a b第17页共14页立，rr r所以，1 2k a k b 0,所以，1 2k 02,故选B。k 012【考点】共线向量。3.已知e, eu是夹角为60。的两个单位向量，若a£+U2, b r ra与b的夹角为().A . 30°B. 60°C. 120°【答案】C.【解析】 试题分析：因为| a |2 (e %)2理 |b|2 (2牝 4e1)2 4e24er+2 er,则D. 150°e2 2e e2 e 3 ,所以 | a | J3 ,同|b| 2石,又216e e2 16

3、e2 12, 则a b(ei e2)(4e 2e?)2 cc 24ei 2ei 8 4* 2ecosa b 3| a |b | 2 331 一o o,又 0 ,180 ,所以21200.2 a b 【考点】|a| a ,两向量夹角的余弦公式：cos ，向量数量积的运算律|a|b|24 .已知VABC的角A、B、C所对的边为a、b、c, c J7, b 1, C ，则a3( )A.娓B, 2C. 73D. 3【答案】B【解析】由已知结合余弦定理，得到关于 a的方程，即可得答案.【详解】2.22由余弦定理可得，cosC a一b一-2ab一 1a 1 7c即，整理可得a2 a 6 0,2 2a解可得

4、a 2.故选：B.【点睛】 本题考查余弦定理的简单应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解 能力，属于基础试题.uuuv5 .如图所示，在正方形 ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则 AF3 uuv 1 uuiv A. -AB -AD441 uuv unv C. -AB AD【答案】DB.1 uuvAB 43 uuv -AD 43 uiv1 iuvD.-AB-AD42【解析】由平面向量基本定理和向量运算求解即可根据题意得：uuur i uuuAF （AB 2故选D.【点睛】uur i uuurAF (AC2uuur i uuuAD -AB)2uur uurAE),又 A

5、C3 uur i uuur -AB -AD4 2uuui uuuruuirAB AD，AE1 uuu-AB ,所以2本题主要考查了平面向量的基本定理的简单应用，属于基础题r r r r 一 r.r6 .若|a 4, b 2|, a和b的夹角为30。，则a在b万向上的投影为（）A. 2B. 33C. 2-J3D. 4【答案】C 一 r ， r 、 ， ， i， 一，【解析】利用a在b方向上的投影公式即可得到答案.【详解】r r r r因为|a| 4, b 2 , a和b的夹角为30r rr r r所以a在b万向上的投影为 a cos a,b 4 cos30 2<3 .故答案选C【点睛】本题

6、考查向量投影的公式，属于基础题.7 . 一船向正北方向航行，看见正西方向有两个相距 10海里的灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60。方向上，另一灯塔在船的南偏西 75方向上，则这艘船的速度是（）C. 10海里/时D. 10J3海里/时CDA 15, CD CA 10,在A . 5海里/时B, 573海里/时【答案】C【解析】在ACD中，计算得到 CADRt ABC计算得到AB ,得到答案【详解】如图依题意有BAC 60 , BAD 75CAD CDA 15，从而 CD CA 10,在Rt ABC中，求得AB 5,5.这艘船的速度是 10 (海里/时)0.5【点

7、睛】本题考查了三角函数的应用，属于简单题.8 . ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a, b, c, asin AsinB+bcos 2A= J2a ,b则b () aA. 273B. 2垃C. V3D. 41【答案】D【解析】由正弦定理与同角三角函数的平方关系，化简等式得 sinB= JlsinA,从而得到b= 2 a,可得答案.【详解】ABC 中，asinAsinB+bcos2A =反 a, .根据正弦定理，得 sin2AsinB+sinBcos 2A = J2 sinA ,可得 sinB (sin2A+cos2A) = 72 sinA, / sin2A+cos2A = 1,

8、 , sinB = V2 sinA，得 b= J2 a,可得一=J2 .a故选D.【点睛】本题考查了正弦定理、同角三角函数的基本关系等知识，属于基础题.二、多选题r9.在下列向量组中，不能把向量aITUUA.e(0,0),62(1,2)uruuC.6(3,5),62(6,10)【答案】ACD(3,2)表不出来的是()uruuB.61(1,2),62(5,2)uruuD.61(2,3),62(2,3)【解析】 根据向量的坐标运算，如果选项中的两个向量是共线向量，则不能把向量irii故e1(0,0), e2(1,2)不能做为一组基底，in1,2) , e2(5, 2)不共线，故8能ii,e2 (6

9、,10)不能做为一组基底，故 C不能.m3), e2 ( 2,3)不能做为一组基底，故D不能.本题主要考查向量共线的坐标运算、平面向量基本定理的应用，解题的关键是判断向量ra (3,2)表示出来.【详解】对A,零向量与任何向量都是共线向量，故A不能；ir对 B, ( 1) ( 2) 5 2,，0(ir对 C,3 10 5 6,e1 (3,5)ir对 D, 2 3 (2) (3), y (2故选：ACD.【点睛】是否共线，属于基础题.10.下列说法正确的是()A.在 VABC 中，a:b:c sin A :sin B :sin CB.在 VABC 中，若 sin2A sin2B,则 a BC.在

10、 VABC 中，若 sin A sin B ,则 A B；若 A B,则 sin A sinBD.在VABC中， bc sin A sin B sin C【答案】ACD【解析】由正弦定理，二倍角的正弦函数公式逐一分析各个选项，即可得答案.【详解】a b c_对于A,由正弦定理 2R,可得：sin A sin B sin Ca: b: c 2Rsin A:2Rsin B: 2RsinC sin A:sin B :sin C ,故 A 正确;对于 B,由 sin2A sin2B,可彳导 A B,或 2A 2B ，即A B,或 A B 一, 2.222ab,或a b c,故B错误；对于C,在 ABC

11、中，由正弦定理可得 sin A sinB a b A B,因此A B是sin A sinB的充要条件，故 C正确；abc_对于D,由正弦定理2R,sin Asin Bsin Cb c 2RsinB 2RsinC ,可得右边 2R 左边，故D正确.sin B sinC sin B sinC故选：ACD .【点睛】本题主要考查了正弦定理， 二倍角的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题.11.在 VABC 中，a5J2，c 10, A 30 ,则角B的值可以是（A . 105oB. 15oC. 15oD. 135o【答案】AB【解析】由已知结合正弦定理可求 C ,再结合三角形的

12、内角和定理，即可得答案.【详解】Q a 5衣，c 10, A 30，由正弦定理可得,asin Asin C52102即 1 sin C，sin C 22Q a c, A45 或 C 135 ,则角B 105或B 15故选：AB.本题考查正弦定理在求解三角形中的应用、三角形解的个数的判断，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力运算求解能力.12.关于平面向量有下列四个命题，其中正确的命题为()r r r r r rA.若 ab ac，则 b c；rrr rB,已知 a (k,3) , b ( 2,6)，右 a/b ,则 k 1 ；r r r r r r r r rC ,非零向量a和

13、b ,满足|a|b|a b|,则2与2 b的夹角为30q rrrrabab-D0|a|b|a|b|【答案】BCD【解析】通过举反例知A不成立，由平行向量的坐标对应成比例知B正确，由向量加减法的意义知，C正确，通过化简计算得 D正确.【详解】, t r r对a,当a 0时，可得到a不成立；r k 3对b, a/b时，有-,k 1,故b正确.2 6,r r r r , r r 对 C，当 | 吉| |b |a b |时，a、br ra b这三个向量平移后构成一个等边三角形,r ra b是这个等边三角形一条角平分线，故C正确.D,r rrb ab、a) (-rJ)|b| |a| |b|r a 2|a

14、|r(阜)2 1 1 0,故D正确. |b|故选：BCD.本题考查两个向量的数量积公式，两个向量加减法的几何意义，以及共线向量的坐标特点.属于基础题.三、填空题rr13.向量 a 1,x , b1r r万，5，且a/b，则x【答案】-10；【解析】根据向量平行，坐标对角相乘要相等，可得到关于答案.【详解】r r1a/Zb,5 - x x 10.2故答案为：10.【点睛】x的方程，解方程即可得到本题考查向量平行的坐标运算，属于基础题14 .点。是4ABC所在平面内的一点，满足uuu uurOA OBuuir uur unr uurOB OC OC OA，则点 O是 ABC的 心.【答案】垂【解析

15、】 根据向量数量积的运算律可整理出unr uuuOB CA 0，即OB AC ;同理可得OA BC , OCAB ,由垂心定义可知 O为垂心.【详解】unv unv unv unv Q OA OB OB OCuuu uuur unr unr uuuOA OC OB 0,即 OB CA 0OB AC同理可得：OA BC , OC AB点O为ABC的垂心本题正确结果：垂【点睛】本题考查三角形垂心的判断，关键是能够通过向量数量积的运算律整理出垂直关系.15 .设 ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b。若bcosC ccosB asinA,则 ABC的形状为【答案】直角三角形【解析】根据正弦定理

16、，将条件式子转化为角的表达式，结合正弦的和角公式即可求得角A,进而判断三角形形状.【详解】因为 bcosC ccosB asin A由正弦定理可得 sin BcosC sin C cosB sin2 A2即 sin B C sin A,而 sin B C sin A所以 sin A sin2 A因为在三角形中sin A 0所以1 sin A所以A ,即ABC为直角三角形 2故答案为：直角三角形【点睛】本题考查了三角函数恒等变形及三角形形状的判断，正弦定理边角转化的应用，属于基础题.16 .有一解三角形的题目因纸张破损有一个条件不清，具体如下：在 VABC中，已知2 A Ca J3, 2cos

17、(& 1)cosB, c，求角A,若该题的答案是2A 60，请将条件补充完整.答案 6-2 2【解析】 利用诱导公式、二倍角公式求得B ,再利用两角和的正弦公式求得sin75的值，再利用正弦定理求得 c的值.【详解】A C 在 ABC 中，Q a 向，2cos (42 1)cos B,21 cos(A C)(婢 1)cosB ,即 1 cosB (& 1)cosB,2 B cos B ， B .24若 A 60 ,则 C 180 A B 75 ,6.2-sin 75 sin(45 30 ) sin 45 cos30 cos45 sin 30,则由正弦定理可得 c一后,解得c 乐

18、屈.sin 75 sin 602故答案为：_6J. 2【点睛】本题考查诱导公式、二倍角公式、两角和的正弦公式、正弦定理，考查函数与方程思想、 转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力r r17 .已知 a 4 , b 3 ,r r(1)求2与b的夹角 ；r r(2)求 a b .【答案】(1) (2)3【解析】(1)由已知可以求出四、解答题r r2a 3b 2ab 61.一 r .r求出cos a, ba br ,37r ra b的值，进而根据数量积的夹角公式,r r进而得到向量a与b的夹角；rr .(2)要求a bi,我们可以根据(1)中结论，先求出a b的值，然后开方求出答案.【详解

19、】/、八 r/(1) Q|a| 4, |b| 3,r r r r r 2 r 2 r r r rQ (2a 3b) (2a b) 4| a|2 3|b|2 4ab 37 4ab 61,r,r, r ，r ,r.ab| a | b |gsosa, b6 ,r r 1 r r .cos a, b 一，1- a,b 120 , 2向量a与b的夹角=120?.rr2 r 2 r 2 r r(2) Q|ab|2|a |2|b |22ab16 9 12 37 ,r r .一| a b| ,37.【点睛】本题考查数量积表示两个向量的夹角、向量的模，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求

20、解能力.18.如图，在 4ABC 中，AB=3 J6, B , D 是 BC 边上一点，且/ ADB=一 43(1)求AD的长；(2)若CD=10 ,求AC的长及4ACD的面积.【答案】(1) AD=6 (2) S=15 73【解析】(1)在ALPC中由正弦定理可求得(2)在 UCD中，由余弦定理可得面积.【详解】r-一ad (1)在XLSD中，由正弦te理得 ,S1115£11(2) . DE = , . WC = 33在X.1CD中，由余弦定理得ACZ = AD:-f n= 36 + WO-2x6xlOx； - =196 ,AC =14SDC7377一口一»综上AC =

21、14 , SACD的面积为15档.AD的长；4,利用5=X0 .0。7山三可得所求 23匕如T即走走M6 ， 3= 1.【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和余弦定理、三角形的面积公式求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行边转角”寻求角的关系，利用甭转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值.利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.19 .在锐角 ABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，且 J3a 2csinA.(1)求角C的大小；(2)若c "，

22、且 ABC的面积为3Z3 ,求a b的值. 2【答案】(1) 60° (2) 5.【解析】(1)由，3a 2csin A ,利用正弦定理可得sin C 叵,结合C是锐角可得 2结果；(2)由1 absin C 3叵，可得ab 6 ,再利用余弦定理可得结果.22【详解】(1)因为 J3a 2csin A所以由正弦定理得 J3sin A 2sin C sin A，因为 sin A 0 ,所以sin C , 2因为C是锐角，所以C 60°.1 3 3(2)由于一absinC ， ab 6 ,2 2又由于 c2 a2 b2 2abcos60° 227 a b 3ab a

23、b 18,a b 2 25,所以a b 5.【点睛】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷.如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中 含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两 个定理都有可能用到.20.已知长方形 AOCD中，OA 3, OC 2, E为OC中点，P为AO上一点，利用向量知识判断当点 P在什么位置时，PED 45【答案】 点P在靠近点A的AO的三等分点处 一 一，一 uuu , uuir ， uur unr ，、 一，、. uuu 【解析】把角 PED看成向重EP与ED的

24、夹角，以OA、OC为基底，用基底表不EPED ,再代入两向量的夹角公式即可解出.【详解】uuruuir r r r _一 ， ,设OA a、OC b，则a、b为表示平面的一组基底，r r r r=uju-uuir&右且|a| 3, |b| 2, a b, PED为向量EP与ED的夹角，uuu uuu uuu r又 OP/OA，可设 OP ta，uiur unr uuir uiur uuu而 ED OD OE OC OAMEworar b 1-2% wo1-2山o1- 2rar b1- 2uuu unn r i r rEP ED (ta b) (ar b 1-2仇2r b1 - 42 racosuur |EP|PED2b)2uur EP nuur- 9t2uur ED -utu|EP|ED|uuir|ED|9t 1r (a2br)2解得ti 、6 (舍)点P在AO的一个3等分点时，PED 45 .D【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能