高中数学之函数的极值与最值知识点

1、高中数学之函数的极值与最值知识点函数的极值与最值函数的极值及其求法定义:设函数/(灯在(区协内有定义,与6(。力), 若存在X。的一个邻域，在其中当X金曲时，(1) f(x) f(x则称/为/(刈的极小值点, 称/(瓦)为函数的极小值.极大值点与极小值点统称为极值点 极大值与极小值统称为极值例如,函数/a)=2/-9/+12”3工=1为极大值点,/(1)二2是极大值工二2为极小值点，八2) = 1是极小值注意：1)函数的极值是函数的局部性质.2)对常见函数，极值可能出现在导数为。或不存在的点.片,丫4为极大值点工2，为极小值点“3不是极值点定理2(第一充分条件)设函数/(X)在X。处连续,且在

2、住0工,工0)5工0,与+力)内可导.(1)如果在(勺也勺)内/(x)0,在( /+内/(x)0,那么 函数/在与处取得极大值；“左正右负”(2)如果在(x04 .%)内/(x)0,那么 函数/()在X。处取得极小值；“左负右正”如果在(中，X。)及即与+力)向/ (X)的符号相同，那么 函数在X。处没有极值.确定极值点和极值的步事求出导数1（x）;（2）求出人.0的全部驻点和不可导点;（3）考察在每个驻点和不可导点的左右邻近尸住）的符号;（4）确定出函数的所有极值点和极值.22 5= t x-%例1.求函数/（X）=（X-1）X3的极值.解：1）求导数/（X）二/十（X-1） ,冗s = |

3、2）求极值可疑点一令r（x）=o,得再=1；令八x）=oc3）列表判别x (-oo,0)0(0, 1).x = 0是极大值点，其极大值为/（0） = 0x - 1是极小值点，其极小值为/（1） = -0.33定理3 （第二充分条件）设函数/U）在点X。处具有二阶导数且r %xo）=O,广（Xo）=0， 那么（1）当/（X。）vO时，函数/（X）在人处取得极大值；/C（2）当/6。）0时，函数/（x）在处取得极小值.F v /（X）- fxQ） . /（X）证：（I） / （x0） = lim ，gm，= hm,，KX - Xqat*0 X Xq由/（Xo）v。知I,存在 5。,当（）归一0|8

4、时,0故当Xo -Svxvxo时，/（x）0；+_ 当Xo VX VXo+K时，/（X）V。，士 戈 士 入0 O 人03o十）由第一判别法知/（X）在X。取极大值.（2）类似可证.应注意的问题，如果Hxo）=OJGo）=O,则定理3不能应用，但不能由此 说明/（勺）不是“M）的极值。讨论：函数Ax）=.v以*）=在点d是否有极值？例2.求函数f(x) = (x2-l)3 + l的极值.解：1)求导数八x) = 6x(f-1)2,=1)(541)2）求驻点令/（x） =。，得驻点须二一1,工2 =，%3 =13）判别因/(0)= 60,故/（0） = 0为极小值;又一（-i）=no=（），故需

5、用第一判别法判别.由于/（X）在:x = l左右邻域内不变号，!f（x）在X= 1没有极值. /-1 O 1 X定理3 （判别法的推广）若函数/（X）在X。点有直到，阶导 数，且 ff（x0 ） = f（x。） = = /5T）（X。）= 0, f）（X。）工 0, 则：1）当为偶数时，/为极值点，且/（/7）（ 0）。时，X0 是极小点；+/（）（Xo）vO时，X。是极大点._2）当为奇数时，与不是极值点.证：利用/（X）在X。点的泰勒公式，可得/（x）- /（x0） = /（）卜）（X - X。V + o（x -/ V ）当X充分接近X。时，上式左端正负号由右端第一项确定， 故结论正确.例

6、如，例2中ip+i r(x) = 24x(5?-3), r(D*O 所以X二1不是极值点.说明：极值的判别法(定理1定理3)都是充分的.例如：2-x2(2 + sini),2,/(0) = 2为极大值，但不满足定理1x40x-0当这些充分条件不满足时,不等于极值不存在.定理3的条件.例如，例2中/= (f1)3+1 r(x) = 24x(5x2-3), r(l)0 所以X=1不是极值点.说明：极值的判别法(定理1定理3)都是充分的.当这些充分条件不满足时,不等于极值不存在.xhOx = 0例如：-(2 + sinl作)二X/(0)二2为极大值，但不满足定理112,定理3的条件.观察与思考M观察

7、哪些点有可能成为函数的最大值或最小值点, 怎样求函数的最大值和最小值.。极值与值的关系闭区间上的连续函数其最大值和最小值只可能在区间的 端点及区间内的极值点处取得.函数在闭区间同加上的最大值一定是函数的所有极大值 和函数在区间端点的函数值中的最大者；其最小值一定是函 数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中的最小者.。大值和小值的求法(1)求出函数/U)在s, Z0内的驻点和不可导点，设这此点(2)计算函数值/(a),人。)，心),八人);(3)判断：最大者是函数/()在小上的最大值，最小者是 函数/(*)在a,例上的最小值.最大值M = max Jxx ), / (x2 ), . . , /

8、(xw), f (a)9 f (A) 最小值m = min。)，f(x2 ),，Jxn),，(a) J(b) 当/在力内只有一个极值可疑点时， 若在此点取极大（小）值，则也是最大（小）值.当/在。,可上单调时,最值必在端点处达到.对应用问题，有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大值点或最小值点.例3,求函数/（、） = 2八%2+12在闭区间卜为 上的最大值和最小值.能显然/（次q-#,且.f-（2?-9r+12x）, -Jx0X）=2x3-9r+12x,0。窈f -6x2+18x-12=-6(.r-l)(x-2), -x0“, 6x2-18x+12 = 6(x-1)(x-2),0i网在

9、周牺有极值可疑点乎。用T用二2用)=3去/(0)=0,/(1) = 5,/(2)=4,/(沪5故函数在xO取最小值0;在工二度取最大值5.例4工厂。与铁路线的垂直距离/IC为20km, 4点到火车站B的距离为100km.欲修一条从工厂到铁路的公路CD已知 铁路与公路每公里运费之比为3:5.为了使火车站B与工厂。间 的运费最省，问点应选在何处？解 设力O=x(km),B与C间的运费为%则y=5k CD+3k DB (A是某个正数),BP y=5AV400+x2 +3A(100-x) (0x100).100km由 y = A( / 51 -3)=0,得.r=15. J400+N由于凡旬=400,凡

10、=15=380, yY=100=,例5把直径为”的圆木锯成截面为矩形的梁.问矩形截面的高A和宽b应如何选择才能使梁的抗弯截面模量(% =,防2)最大?6其中以Wl5=380A为最小，因此当/O=15km时，运费最省.解把W表示成力的函数：% =Lbh2=Lb(d2-b2)gbVd). 66由二4(2_35)二0,得函数的唯一驻点. oV j由”=_a0知，函数在唯一驻点拆处一定取得最大值,所以当b=、栏d时，抗弯截面模量最大，这时/7 =a为多少时才可使力户的大小最小?解:克服摩擦的水平分力人=/cosa例6.设有质量为5 kg的物体置于水平面上，受力F作 用开始移动,设摩擦系数4二0.25,

11、问力不与水平面夹角正压力 P-K：=5g-Fsina，Fcosa = (5g-Fsina)即/ae0,fcosa + sina -令9(a) = cosa+sina则问题转化为求夕(a)的最大值问题.即F 二5，aefO4cosa + /7sina 一令(p(a) = costz+/sin a则问题转化为求9(a)的最大值问题.夕(a)二一sina + cosa夕”(a) = -cos a sin a令(a) = 0,解得a - arctan = arctan0.25 = 14 2 而夕(。)0, P(X2)0 1 cos X(A)不可导；(b)可导，且/()工()；(C)取得极大值(力)取得极小值3.设提示：利用极限的保号性.y = f(X)是方程 y-2y，+ 4y = 0 的一个解,若/(Xo)。，JL.r(xo) = O,则/(x)在 x(月)(N)取得极大值;(5)取得极小值;(。在某邻域内单调增加;(0在某邻域内单调减少提亲：将/(X)代入方程，令x = %0,得/(Xo) =-4/(Xo)V。4 .试问4为何值时,/(工)=如山工+ 十亩3工2在x =、兀时取得极值,求出该极值,并指出它是极大还是极小.解：,八幻= (7C0SX + C0S 3x, 由题意应有(2兀)=0771即 4/COS(y7l) +