2020年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学一模试卷(文科)

1、2020年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学一模试卷（文科）.选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的第 5页（共20页）1. （5分）已知集合 A x|2x 13 , B x|2x 2,则 A B (2,A. (, 2)2. (5分)设 z i(iA. M3. (5分)已知向量B.3),则 |z| ()C. 3a (v3, i), brD. （ 2,1）E. 2应2煦），则向量a,F. (1,)D.娓rb的夹角为（）D.6)2xD. y xA. -B.4. (5分)曲线y sin x在点A. y 2xB.-C.-（0,0）处的切线方程为（y x

2、C. y"的()5. （5分）“平面内存在无数条直线与直线 1平行”是“直线1/平面A.充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6. （5分）已知一组数据的茎叶图如图所示.下列说法错误的是（）I卜&-T 0 0 I 2 3 5 6A .该组数据的极差为 12B.该组数据的中位数为 21C.该组数据的平均数为 21D.该组数据的方差为 117. （5分）执行如图所示程序框图，则输出的S （）B.108. （5分）若将函数A .一4sin（2 x 一）的图象向右平移 4C.4115163D.60一个单位长度, 6平移后所得图象为曲线 f(x) sin

3、(2x f(x) sin(2x曲线y f（x）的对称中心的坐标为曲线y f（x）的对称中心的坐标为(-2k(T247240)(k Z)0)(k Z)y f（x）,下列四个结论:)126其中所有正确的结论为（）A.B.C.D.9.（5分）在ABC中.角A、B、C所对边分别为a、b、c ,若 acosAsin C (2b a)sin AcosC ,则角C的大小为（10. （5分）已知AB .一42 xB为双曲线-2 aC.2誉1(a b0,b0）上的两个不同点， M为AB的中点,O为坐标原点，若1kABgkoM-,则双曲线的离心率为A 2,6A .3B.拆C.D.11. （5分）已知点A(0, V

4、3),抛物线 C:y2 2px(p0）的焦点为F ,射线FA与抛物线C相交于点M ,与其准线相交于点 N .若| FM |:|MN | 1:2 ,则p的值等于（A. 1B. 2C. 3D. 412. （5分）已知函数f（x）是定义在R上的增函数，且函数y f（x 2）的图象关于点（2,0）对2称.右不等式 f（mx 2m） f （4x） 0对任息x 1, 2恒成立，则头数 m的取值氾围是（）A.（隹，V2）B.（,婢）C. （72,） D. （ 72）二、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分.13. （5分）已知3sin 1,则 包一的值为.cos22x y 1 014. （5分）若x

5、, y满足3x 2y 3, 0 ,贝U z 4x 3y的最小值是. 2y 1-015. （5分）已知甲、乙、丙三人恰好都去过北京、上海中的某一个城市，三人分别给出了 以下说法：甲说：我去过北京，乙去过上海，丙去过北京；乙说：我去过上海，甲说的不完全对；丙说：我去过北京，乙说的对.若甲、乙、丙三人中恰好有 1人说得不对，则去过北京的是 .16. （5分）如图.圆形纸片的圆心为 O ,半径为4cm ,该纸片上的正方形 ABCD的中心为O.E,F , G , H 为圆。上的点，ABE , BCF , CDG , ADH 分别是以 AB , BC , CD , DA 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，

6、分别以AB , BC , CD , DA为折痕，折起 ABE,BCF , CDG , ADH，使得E , F , G , H重合，得到一个四棱锥.当 AB 2cm时， 该四棱锥的表面积为 ;该四棱锥的外接球的表面积为 .三、解答题：共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22.23题为选考题，考生根据要求作答，（一）必考题：共 60分.17. （12分）如图，在四棱锥 P ABCD中，平面PAD 平面ABCD ,四边形ABCD为正方形，AB AP PD 2.（1）证明： AB 平面PAD ；（2）求点B到平面PCD的距离.18. （12

7、分）某高速路交通服务站点对拥挤等级与某时段（单位：天）的机动车通行数量m（单位：百辆）的关系规定如表:数量nn 0, 100)n 100, 200)n 200 , 300)n- 300等级优良拥堵严重拥堵该站点对一个月（30天）内每天的机动车通行数量作出如图的统计数据：（1）如表是根据统计数据得到的频率分布表.请估计一个月内通过该服务站点的所有机动车数量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；机动车数量（单位：百辆）0 , 100)100, 200)200 , 300)300, 400天数a1041频率b12131530（2）假设某家庭选择在该月 1日至5日这5天中任选2天到景区游

8、玩并通过该服务站点 （这2天可以不连续）.求该家庭这2天遇到拥挤等级均为“优”的概率.2a22,19. （12分）已知&为等差数列an的前n项和，且S(1)求数列an的通项公式; 令bn ang2n 1,记数列bn的前n项和为Tn ,若Tn 300 .求正整数n的取值范围. 2220. (12分)已知椭圆：子 卷1(a b 0)的左、右焦点分别为 Fi, F2 .短轴的两个顶点与F1 , F2构成面积为2的正方形，(1)求的方程：(2)如图所示，过右焦点F2的直线1交椭圆 于A,B两点，连接AO交 于点C,求 ABC面积的最大值.1 21 221. (12 分)已知函数 f(x) (-

9、x ax)lnx - x ax .(1)求函数f(x)的极值；(2)若f(x) 0对x 1恒成立，求a的取值范围.(二)选考题：共 10分.请考生在第22.23题中任选一题作答 如果多做，则按所做的第 -题 计分选彳4-4:坐标系与参数方程x t22. (10分)在直角坐标系xOy中.直线1的参数方程为(t为参数)，以。为极点，xy at轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线Ci的极坐标方程为2 4 sin 12 0,定点A(4,0).点P是曲线Ci上的动点.Q为AP的中点.(1)求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；(2)直线1与曲线C2交于A. B两点，若|AB| 用，求实数a的值.选彳4-5:不等式选

10、讲(10分)23. 已知函数 f(x) |x 3| .(1)若f(t 1) f (2 t) -3,求实数t的取值范围；2）若 x 1 ， 2 ，使得 f（x） | x a|, 3成立，求实数a 的取值范围第 6页（共 20页）2020年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析第 7页（共20页）.选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. （5分）已知集合 A x|2x3 ， B x|2x2,则A. (, 2)B.C.(2,1)D.(1,【解答】解：QA x|x 2,x|x1，AI B ( 2,1).2. (5 分

11、)设 z i(i 3),则 |z|B.C.D.【解答】解：Qz i（i3)3i|z|3. （5分）已知向量1)(22J3）,则向量rb的夹角为B.C.4D.【解答】解：cosr ra,br rag)rT r|a|b|2-3 2 3出，且0U2a,br ra,b的夹角为一.64. （5分）曲线sin x在点（0,0）处的切线方程为（C. y2xD.【解答】解：由sinx ,得y cosx ,可得切线的斜率cos0曲线y sinx在点（0,0）处的切线方程为y x .5. （5分）“平面内存在无数条直线与直线 1平行”是“直线1/平面“的（）A.充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D.既

12、不充分也不必要条件【解答】 解：当直线l平行平面 内的无数条平行直线时，则直线a不一定平行于平面也可能l ,当直线1/平面 ，则平面内存在无数条直线与直线 1平行,故“平面内存在无数条直线与直线 1平行”是“直线1/平面“的必要不充分条件,6. (5分)已知一组数据的茎叶图如图所示.下列说法错误的是()I 4 ft 0 0 I 2 3 5 6A .该组数据的极差为12B.该组数据的中位数为21C.该组数据的平均数为 21D.该组数据的方差为11【解答】解：由题意，极差为26 14 12,中位数为21, 1平均数(14 18 40 21 22 23 25 26) 21 , 9»

13、7; 1222 2106万差(14 21)(18 21)(26 21),D 错误，99故选：D .7. (5分)执行如图所示程序框图，则输出的 S ()11A .一42710C.4115163D. 一60【解答】解：模拟程序的运行，可得S 0 , n 1满足条件n, 5,执行循环体，S 0, n 2满足条件n, 5,执行循环体,满足条件n, 5,执行循环体,4 163560满足条件n, 5,执行循环体,满足条件n, 5,执行循环体,第9页(共20页)此时，不满足条件n, 5,退出循环，输出S的值为163608. (5分)若将函数y sin(2x )的图象向右平移 一个单位长度，平移后所得图象为

14、曲线y f(x),下列四个结论: f(x) sin(2x )12 f (x) sin(2x 7)12曲线y f(x)的对称中心的坐标为( 一，0), (k Z)224曲线y f(x)的对称中心的坐标为(L , 0)(k Z)224其中所有正确的结论为()A.B.C.D.y sin(2 x )4的图象向右平移一个单位得到6f (x) sin2( x ) sin(2x ),即正确，错误；令2x k ,得x幺一,k Z,即正确，错误,122249.(5 分)在 ABC 中.角 A、B、C 所对边分别为 a、b、c ,若 acosAsin C (2b a)sin AcosC ,则角C的大小为()C.一

15、3【解答】 解：由 acosAsinC (2b a)sin AcosC ,得 asin B 2bsin AcosC ,由正弦定理得： ab 2abcosC ,cosC又QC (0,),10. （5分）已知A2 XB为双曲线-2 a2b2 1(a 0,b0）上的两个不同点， M为AB的中点,O为坐标原点，若kAB gkoM-,则双曲线的离心率为 2A.逋3B.C.D.解:设A(x，y。，B(X2 , y2),则 X X22Xm ,V1V22yM2X1-2由a2X2-2 a2 y1 T b2 y2_ 法1可得(Xi X2)(Xi X2)(y1 y2)(v b2-y2)y2 y1y2X2 X1即 k

16、AB gkOMX212b2-， ab2b2 ,则双曲线的离心率为ea11. (5 分)已知点A(0, J3),抛物线C : y2 2pX(p0）的焦点为射线FA与抛物线C相与其准线相交于点 N .若| FM |:|MN |1:2,则p的值等于（B. 2C.D.【解答】 解：依题意F点的坐标为修，。），设M在准线上白射影为 K由抛物线的定义知|MF | |MK |,Q| FM |:|MN | 1:2,| KN |:|KM | V3:1 ,石p 26,P 2 .故选：B .第 11页（共20页）f y12. (5分)已知函数f(x)是定义在R上的增函数，且函数y f(x 2)的图象关于点(2,0)

17、对 称.若不等式f(mx2 2m) f(4x) 0对任意x 1, 2恒成立，则实数 m的取值范围是( )A.(无，扬 B.(,右)C. (V2,) D.(初【解答】 解：函数y f(x 2)的图象关于点(2,0)对称，由y f(x)的图象可由y f (x 2)的图象向左平移 2个单位可得，则f(x)的图象关于原点对称，即 f(x)为奇函数，且f(x)是定义在R上的增函数，_22_f(mx 2m) f (4x) 0 即为 f (mx 2m) f (4x) f ( 4x),由f(x)为R上的增函数，可得 mx2 2m 4x,即有m-x-对任意x 1 , 2恒成立，x 2又 2，2颈x 3,有 2)

18、2额匕 3,即2 ，xx3 2 x 4即亚蒯9,则mJ 2 ,x 23故选：B .二、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分.13. (5分)已知3sin 1,则sn一 的值为_3 cos27【解答】解：Q3sin 1,1 227sin -,可得 cos2 1 2sin 1 - -,1sin3 3cos27 79第13页(共20页)故答案为:14. （5 分）若 x,2x y 1 0y满足3x 2y 3, 0 ,贝U z 4x 3y的最小值是22y 1 0【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由z 4x 3y得y平移直线y x3由图象可知当直线4-x 31 一一z经过点

19、3A时,直线41 一-x -z的截距取小,33此时z最小.第 17页（共20页）由 2y 1 0 2x y 1解得12141 A（一412）代入目标函数4x 3y 得 z4x 3y的最小值为即目标函数z15. （5分）已知甲、乙、丙三人恰好都去过北京、上海中的某一个城市，三人分别给出了以下说法: 甲说：我去过北京，乙去过上海，丙去过北京；乙说：我去过上海，甲说的不完全对；丙说：我去过北京，乙说的对.【解答】解：若甲说得不对，则乙、丙说得对，即乙一定去过上海，丙一定去过北京，甲只去过上海，若乙或丙说得不对，则得出与“甲、乙、丙三人中恰有1人说得不对“矛盾，故去过北京的是丙.故答案为：丙.16.

20、（5分）如图.圆形纸片的圆心为 O ,半径为4cm ,该纸片上的正方形 ABCD的中心为O.E,F , G , H 为圆。上的点，ABE , BCF , CDG , ADH 分别是以 AB , BC , CD , DA 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以 AB, BC , CD, DA为折痕，折起 ABE,BCF , CDG , ADH ,使得E , F , G , H重合，得到一个四棱锥.当 AB 2cm时， 该四棱锥的表面积为 _16cm2 _；该四棱锥的外接球的表面积为 .【解答】解：连接OE交AB于点I ,设E , F , G , H重合于点P ,正方形的边长为 2,则 OI 1

21、 , IE 3 , AE 7i0 ,S 4设该四棱锥的外接球的球心为 Q ,半径为R ,则OC J2 , OP 设0 2 242 ,则 R2(2 2 R)2该四棱锥的表面积为（V2） 2 ,解得R 产,外接球的表面积2,2124 - 2 3 2 2 16cm .2故答案为：16cm2; 25 cm2 2三、解答题：共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22.23题为选考题，考生根据要求作答，（一）必考题：共 60分.17. （12分）如图，在四棱锥 P ABCD中，平面PAD 平面ABCD ,四边形 ABCD为正方形，AB AP PD

22、 2.（1）证明： AB 平面PAD;（2）求点B到平面PCD的距离.【解答】解：（1）证明：Q AB平面ABCD 平面PAD AD ,平面PAD 平面ABCD ,AB 平面PAD .(2)解：Q AB 平面 PAD, AB/CD ,CD 平面 PAD , CD PD , 1Q CD PD 2 , S pcd 2 2 2 , 2设点B到平面PCD的距离为d , 111由 VP BCD VB PCD ,付V3222 d)323解得d J3 ,点B到平面PCD的距离为 近.18. （12分）某高速路交通服务站点对拥挤等级与某时段（单位：天）的机动车通行数量m（单位：百辆）的关系规定如表:数量nn

23、0, 100)n 100, 200)n 200 , 300)n- 300等级优良拥堵严重拥堵该站点对一个月（30天）内每天的机动车通行数量作出如图的统计数据:（1）如表是根据统计数据得到的频率分布表.请估计一个月内通过该服务站点的所有机动 车数量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）机动车数量(单位：百辆)0, 100)100, 200)200 , 300)300, 400天数a1041频率b12131530(2)假设某家庭选择在该月 1日至5日这5天中任选2天到景区游玩并通过该服务站点 (这19. (12分)已知Sn为等差数列an的前n项和，且S2 2a2 2, 0 3as.(1

24、)求数列an的通项公式； 令bn ang2n 1,记数列bn的前n项和为Tn ,若T0300 .求正整数n的取值范围.【解答】解：(1)由题意，设等差数列an的公差为d,则2al d 2(a1 d) 2& 25al 10d 3(a1 4d)d 2an 2 2(n 1) 2n, n N * .2天可以不连续).求该家庭这2天遇到拥挤等级均为“优”的概率.151b ，30 2通行数量的平均值为50 - 150 - 250 -2315(2)设该家庭这2天拥挤等级均为优的事件为情况，满足条件的有(1,4), (1,5), (4,5),有3种,故 P (A)0.3 .100)范围内的天数为15天

25、，所以a 15,1350 一 120 百辆；30A ,从5天中任取两天的选择方案有10种(2)由(1)知，bn ang2n 1 ng2n.第21页(共20页)则 Tnblb2t 3bn11g222g233g2nng2 ，232Tn 1g22g2(nn1)g2n 1ng2两式相减，可得Tn222232nnng22 2n 12 2ng2n 11 2n 1(1 n)g2 2 .n 1Tn(n 1)g22.构造数列Tn：令Tn(nn 11)g22,n 2Tn 1 Tn ng2 (nn 1,1)g2 (nn 11)g20,故数列Tn是单调递增数列.6QT5 4g22 258 300 ,7T6 5g22

26、642满足Tn 300的正整数n的取值范围为n|n-6, n N*.22x y20. (12分)已知椭圆：/ 言 1(a b 0)的左、右焦点分别为 Fj F2 .短轴的两个顶点与F1 , F2构成面积为2的正方形，(1)求的方程：(2)如图所示，过右焦点F2的直线1交椭圆 于A,B两点，连接AO交 于点C,求 ABC面积的最大值.【解答】解：(1)因为椭圆C的短轴的两个顶点与 F1 , F2构成面积为2的正方形,所以 bc,Sa22,则 a 72, b c 1 ,2故椭圆的方程y2 1 ；2(2)当直线AB的斜率不存在时,设直线 AB的方程为yk(x 1),y k(x联立方程组x22万y1)

27、，消去y, 1整理得(1 2k2)x24k2x2k2 20,设 A(x , y1) , BM4k21 2k2，X1x22 k22-，1 2k2所以 |AB| 1 k2g (xx2)2 4x1x21k?4k2 2(2)41 2k2k2 21 2k22 2(1 k2)1 2k2，点O到直线kx y k 0的距离d|k|1 k2 因为O到线段AC的中点，所以点C到直线AB的距离为2d2|k|1 k2ABCc 11S -c| AB |g2d -2 2(1k2)2|k|1 2 k2k2k2(1k2)一 2 2(1 2k )2 2，14 4(2k2 1)2当直线AB的斜率不存在时不妨取A(1,，B。，号,

28、CL，专),故ABC面积为S - 2 42 42 2综上，当直线 AB的斜率不存在时,ABC面积的最大值为1 221. (12分)已知函数 f(x) (x 2(1)求函数f(x)的极值；ax)lnx 1x2 ax .4(2)若f(x) 0对x 1恒成立，求a的取值范围.【解答】 解：(1)函数的定义域(0,),f (x)(x a)lnx1时，f (x) 0,函数单调递减，当1时，f (x) 0,函数单调递增,故当x1时，函数取得极小值 f (1)14当1a 0时,a时，f (x) 0,函数单调递增，ax 1时，f (x) 0,函数单调递减，当 x 1时，f (x) 0 ,函数单调递增,故当x

29、a时，函数取得极小值 f(x 1时，函数取得极大值 f (1)、3a212.a) 2a ln( a)1a 一 ；4D a 1 时，0 x 1 时，f(x) 0函数单调递增,1时,f (x)0 ,函数单调递增,即函数为单调函数，没有极值;当a 1时，0 x 1时,f (x) 0 ,函数单调递增,1时,f (x) 0 ,函数单调递减，x a 时，f (x) 0,函数单调递增,故当x 1时，函数取得极大值f ( 1 )函数取得极小值3a21 2f( a) 2a ln( a),综上可得，a-0时，函数极小值f (1)没有极大值;1时,没有极值;a 0时，函数极小值 f( a)3a241a2ln( 2a),函数取得极大值(1)(2)所以1时，函数极大值f (1)由(1)(1)1时,a时，函数极小值f(a)3a241a 一 ；41 2.2 a ln( a)；可得，当a1时，f(x)在11 一2a - 0可得a,414由