第三章晶体的宏观对称ppt课件

1、第三章第三章 晶体的宏观对称晶体的宏观对称 晶体的对称性是晶体的基本性质之一。 内部特征 格子构造 外部现象 晶体的几何多面体形态 晶体的物理性质 化学性质 第三章第三章 晶体的宏观对称晶体的宏观对称一、对称的概念一、对称的概念是宇宙间的普遍现象。是宇宙间的普遍现象。 是自然科学最普遍和最基本的概念，是自然科学最普遍和最基本的概念，是建造大自然的密码。是建造大自然的密码。 对称是指物体或图形中相同部分作有对称是指物体或图形中相同部分作有规律的重复。对于晶体外形而言，就规律的重复。对于晶体外形而言，就是晶面与晶面、晶棱与晶棱、角顶与是晶面与晶面、晶棱与晶棱、角顶与角顶的有规律重复。角顶的有规律重

2、复。 二、晶体的对称二、晶体的对称1. 由于晶体都具有格子状构造，而格由于晶体都具有格子状构造，而格子状构造就是质点在三维空间周期子状构造就是质点在三维空间周期重复的体现，因而，所以的晶体都重复的体现，因而，所以的晶体都是对称的。是对称的。2. 晶体的对称受格子构造规律的限制。晶体的对称受格子构造规律的限制。即只有符合格子构造规律的对称才即只有符合格子构造规律的对称才能在晶体上出现，因而，晶体对称能在晶体上出现，因而，晶体对称又是有限的。又是有限的。3. 晶体的对称既然取决于格子构造，晶体的对称既然取决于格子构造，因此晶体的对称不仅体现在外形上，因此晶体的对称不仅体现在外形上，也体现在物理性质

3、上光学、力学、也体现在物理性质上光学、力学、热学、电学性质）。热学、电学性质）。4. 是晶体的基本性质之一。是晶体的基本性质之一。5. 是晶体科学分类的依据。是晶体科学分类的依据。三、晶体的对称操作和对称要素三、晶体的对称操作和对称要素 在对晶体的对称研究中，为使在对晶体的对称研究中，为使晶体上相同部分作有规律重复，必晶体上相同部分作有规律重复，必须借助一定的几何要素点、线、须借助一定的几何要素点、线、面进行一定的操作如反映、旋面进行一定的操作如反映、旋转、反伸等才能实现，这些操作转、反伸等才能实现，这些操作称为对称操作称为对称操作(symmetry operation)，在操作中所借助的几何

4、要素，称为在操作中所借助的几何要素，称为对称要素对称要素(symmetry element)。对称面对称面(symmetry plane)对称轴对称轴(symmetry axis) 对称中心对称中心(center of symmetry) 倒转轴倒转轴(rotoinversion axis) 对称面对称面P） 对称面是一个假想的平面，亦对称面是一个假想的平面，亦称镜面。与之相应的对称操作是此称镜面。与之相应的对称操作是此平面的反映。由这个平面将图形平平面的反映。由这个平面将图形平分后成互为镜像的两个相等部分，分后成互为镜像的两个相等部分，分别相当于物体本身和它的像。对分别相当于物体本身和它的像

5、。对称面必通过晶体的中心。称面必通过晶体的中心。m 对称面 非对称面对称操作：对于此平面的反映对称操作：对于此平面的反映标志：两部分上对应点的连线是否与标志：两部分上对应点的连线是否与 对称面垂直等距对称面垂直等距 垂直并平分晶面垂直并平分晶面 垂直晶棱并通过它的中心垂直晶棱并通过它的中心 包含晶棱包含晶棱可能出现的位置：可能出现的位置：数目：数目：0 P 9对称轴对称轴LnLn）定义：通过晶体几何中心的一根假定义：通过晶体几何中心的一根假 想的直线想的直线 对称操作：是围绕此直线的旋转对称操作：是围绕此直线的旋转 特征：当图形围绕此直线旋转一定角度后，可使相特征：当图形围绕此直线旋转一定角度

6、后，可使相 同部分重复图形复原）同部分重复图形复原） 重复时所旋转的最小角度称基转角重复时所旋转的最小角度称基转角( () )旋转一周重复的次数称为轴次旋转一周重复的次数称为轴次(n)(n) n=360 n=360 = 360/2 =18066180 rotationto reproduce a motif in a symmetrical patternMotifElementthe symbol for a two-fold rotationfirst operation stepsecond operation step三次对称轴(Three-fold rotation) (L3)= 3

7、60/3 =120666step 1step 2step 3120 rotationto reproduce a motif in a symmetrical patternthe symbol for a three-fold rotation6666666666666662-fold3-fold4-fold6-fold其他的对称轴其他的对称轴(没有没有5-fold 和和 6-fold 的的) A. A. 过一对平行晶面的中心过一对平行晶面的中心 B. B. 过一对晶棱的中心过一对晶棱的中心 C. C. 相对两角顶的连线相对两角顶的连线 D. D. 角顶、晶面中心和棱中点任意两个的连线角顶、

8、晶面中心和棱中点任意两个的连线 数目数目0 L2 60 L3 40 L4 30 L6 1对称轴可能出现的位置为定义：位于晶体几何中心的一个定义：位于晶体几何中心的一个假想的点假想的点 对称操作：是对此点的反伸对称操作：是对此点的反伸 特点：如果通过此点作任意直线，则在此直线上特点：如果通过此点作任意直线，则在此直线上距对称中心等距离的两端上必定可以找到对应点距对称中心等距离的两端上必定可以找到对应点 识别标志：识别标志： 两两成对两两成对 对对平行对对平行 同形等大同形等大 方向相反方向相反 对称中心对称中心C C）所有晶面旋转反伸轴旋转反伸轴LinLin）定义：一根过晶体几何中心假想的直线定

9、义：一根过晶体几何中心假想的直线对称操作：围绕此直线的旋转和对此直线上的一个点反伸对称操作：围绕此直线的旋转和对此直线上的一个点反伸 的复合操作的复合操作Li1=CLi2=PLi3=L3+CLi6=L3+PLi4 值得指出的是，除值得指出的是，除Li4Li4外，其余各种旋转反伸轴都可以外，其余各种旋转反伸轴都可以用其它简单的对称要素或它们的组合来代替，其间关用其它简单的对称要素或它们的组合来代替，其间关系如下：系如下： Li1 = CLi1 = C， Li2 = PLi2 = P， Li3 = L3 +CLi3 = L3 +C， Li6 = L3 + PLi6 = L3 + P 但一般我们在写

10、晶体的对称要素时，保留但一般我们在写晶体的对称要素时，保留Li4 Li4 和和Li6Li6，而其他旋转反伸轴就用简单对称要素代替。这是因为而其他旋转反伸轴就用简单对称要素代替。这是因为Li4 Li4 不能被代替，不能被代替， Li6Li6在晶体对称分类中有特殊意义。在晶体对称分类中有特殊意义。 但是，在晶体模型上找但是，在晶体模型上找Li4Li4往往是比较困难的，因为容往往是比较困难的，因为容易误认为易误认为L2L2。 我们不能用我们不能用L2L2代替代替Li4 Li4 ，就像我们不能用，就像我们不能用L2L2代替代替L4L4一一样。样。 因为因为L4L4高于高于L2 L2 ， Li4Li4也

11、高于也高于L2 L2 。在晶体模型上。在晶体模型上找对称要素，一定要找出最高的。找对称要素，一定要找出最高的。由于晶体是具有格子构造的固体物质，这种质点格子由于晶体是具有格子构造的固体物质，这种质点格子状的分布特点决定了晶体的对称轴只有状的分布特点决定了晶体的对称轴只有n = 1n = 1，2 2，3 3，4 4，6 6这五种，不可能出现这五种，不可能出现n = 5n = 5， n 6n 6的情况。的情况。为什么呢？为什么呢？1 1、直观形象的理解：、直观形象的理解：垂直五次及高于六次的对称轴垂直五次及高于六次的对称轴的平面结构不能构成面网，且的平面结构不能构成面网，且不能毫无间隙地铺满整个空

12、间不能毫无间隙地铺满整个空间, , 即不能成为晶体结构。即不能成为晶体结构。晶体对称定律晶体对称定律2.2.晶体对称定律数学证明方法：晶体对称定律数学证明方法：内容：只能出现轴次内容：只能出现轴次(n)为一次、二次、三次、四次和六为一次、二次、三次、四次和六次的对称轴，而不可能存在五次及高于六次的对称轴。次的对称轴，而不可能存在五次及高于六次的对称轴。轴次轴次 n 的确定的确定: n = 360/aa + 2a cosa = ma cosa = (m-1)/2 -2 m - 1 2由于平行行列的结点间由于平行行列的结点间距相等，距相等，m只能取整数只能取整数m = 3, 2, 1, 0, -1

13、 a = 0, 60, 90, 120, 180 n = 1, 6, 4, 3, 2（但是，在准晶体中可以有（但是，在准晶体中可以有5、8、10、12次轴）次轴）1、至少有一端通过晶棱中点的对称轴只能是几次对、至少有一端通过晶棱中点的对称轴只能是几次对 称轴？称轴？2、一对正六边形的平行晶面之中点的连线，可能是、一对正六边形的平行晶面之中点的连线，可能是 几次对称轴的方位？几次对称轴的方位？3、在只有一个高次轴的晶体中，能否有与高次轴斜、在只有一个高次轴的晶体中，能否有与高次轴斜 交的交的P或或L2存在？为什么？存在？为什么？思考思考题题四、对称要素的组合四、对称要素的组合 对称要素组合不是任

14、意的，必须符对称要素组合不是任意的，必须符合对称要素的组合定律；合对称要素的组合定律； 当对称要素共存时，也可导出新的当对称要素共存时，也可导出新的对称要素。对称要素。对称要素组合定理：对称要素组合定理：定理定理1：如果有一个：如果有一个L2垂直于垂直于Ln，则必有，则必有n个个L2垂直于垂直于Ln ，LnL2LnnL2 (任意两个相邻的任意两个相邻的L2的夹角是的夹角是Ln基转角基转角的一半的一半)。例如。例如: L4L2L44L2 , L3L2L33L2逆定理：逆定理： 如果两个相邻的如果两个相邻的L2相交，在交点上垂直两个相交，在交点上垂直两个L2方向方向必会产生一个必会产生一个Ln，其

15、基转角是两个，其基转角是两个L2夹角的两倍。并导出夹角的两倍。并导出其他其他n个在垂直个在垂直Ln平面内的平面内的L2。考虑考虑: 两个两个L2相交相交30,交点处并垂直交点处并垂直L2所在平面会产生什么所在平面会产生什么对称轴对称轴?定理定理2：如果一个对称面：如果一个对称面P垂直于偶次对称轴垂直于偶次对称轴Ln(偶偶)，交点，交点必为对称中心：必为对称中心： Ln (偶偶) P LnP C 。如。如L4 PL4PC 逆定理：如果有一个偶次对称轴逆定理：如果有一个偶次对称轴Ln (偶偶)与对称中心与对称中心C共存，共存，则过则过C且垂直于该对称轴必有一对称面且垂直于该对称轴必有一对称面P，即

16、，即 Ln (偶偶) C LnP C 。或，如果有一个对称面。或，如果有一个对称面P与对称中心与对称中心C共存，共存，则过则过C且垂直于且垂直于P必有一个必有一个Ln (偶偶) ，即，即P C Ln (偶偶) P C这一定理说明了这一定理说明了L2、P、C三者中任两个可以产生第三者。三者中任两个可以产生第三者。因为偶次轴包含因为偶次轴包含L2 。定理定理3：如果有一个对称面：如果有一个对称面P包含对称轴包含对称轴Ln，则必有，则必有n个个P同同时包含时包含Ln，即，即LnP/ LnnP/（相邻的两个（相邻的两个P的夹角为的夹角为Ln基转角的一半）；如基转角的一半）；如L3 P/ L33P/逆定

17、理：两个对称面逆定理：两个对称面P相交，其交线必为一对称轴相交，其交线必为一对称轴Ln，其，其基转角为相邻两对称面夹角的两倍，并导出其他基转角为相邻两对称面夹角的两倍，并导出其他n个包含个包含Ln的的P。 （定理（定理3与定理与定理1类似）类似）考虑考虑:两个对称面相交两个对称面相交60,交线处会产生什么对称轴交线处会产生什么对称轴?定理定理4：如果有一个二次轴：如果有一个二次轴L2垂直于旋转反伸轴垂直于旋转反伸轴Lin，或有一个，或有一个对称面对称面P包含包含Lin，当，当n为奇数时，必有为奇数时，必有n个个L2垂直垂直Lin或或n个个P包含包含Lin：当：当n为偶数时，必有和为偶数时，必有

18、和n/2个个L2垂直垂直Lin或或n/2个个P包包含含Lin； Lin L2 Lin nL2 或或Lin P/ Lin nP/（n为奇数）为奇数） Lin L2 Lin n/2L2 或或Lin P/ Linn/2 P/ （n为为偶数）偶数） 定理定理5 如果两个对称轴如果两个对称轴Ln和和Lm以以角斜交时，围绕角斜交时，围绕Ln必有必有n个共点且对称分布的个共点且对称分布的Lm；同时，围绕；同时，围绕Lm必有必有m个共点且对个共点且对称分布的称分布的Ln：Ln Lm=nLmmLn。 且任二相邻的且任二相邻的Ln与与Lm之间的交角均等于之间的交角均等于。补充补充有了对称要素组合定理，我们就可以判

19、断一个晶体上的有了对称要素组合定理，我们就可以判断一个晶体上的对称要素组合形式的正确与否。对称要素组合形式的正确与否。 请大家根据上述对称要素组合定理判断下列对称要素请大家根据上述对称要素组合定理判断下列对称要素组合形式是否正确：组合形式是否正确： 1、L43P 2、L22P 3、L32L2 4、3L2 5、L3PC 6、L6PC 怎么样？你的成绩如何？怎么样？你的成绩如何？ 应该为应该为 L44P ，根据组合定理，根据组合定理3， 4个个P包含包含L4 根据组合定理根据组合定理3， 2个个P包含包含L2 应该为应该为 L33L2 ，根据组合定理，根据组合定理1， 3个个L2垂直垂直L3 其中

20、一个其中一个L2 直立，另外两个直立，另外两个L2垂直这个直立的垂直这个直立的L2 应该为应该为 L33P ，因为，因为L3不是偶次轴，所以不能产生不是偶次轴，所以不能产生C P垂直垂直L6，L6是偶次轴，所以产生是偶次轴，所以产生C对称要素组合测试对称要素组合测试五、五、32个对称型点群及其推导个对称型点群及其推导 各种晶体的对称程度有很大的差别，主要表现在它们所具有的对称要素的种类、轴次和数目上。 晶体形态中，全部对称要素的组合，称为该晶体形态的对称型 或 点群。一般来说，当强调对称要素时称对称型，强调对称操作时称点群。 经过数学推导，证明对称型只有32种。我们将属于同一对称型的所有晶体，

21、归为一类，称为晶类。晶类也只有32个。 在32个晶类中，按它们所属的对称型特点划分为七个晶系。 再按高次对称轴的有无和高次对称轴的数目，将七个晶系并为三个晶族。 对称型的书写顺序一般是首先写从高到低不同轴次的对称对称型的书写顺序一般是首先写从高到低不同轴次的对称轴或旋转反伸轴，其次写对称面，最后写对称心。但在等轴晶轴或旋转反伸轴，其次写对称面，最后写对称心。但在等轴晶系中，不论一个对称型中有无大于系中，不论一个对称型中有无大于3 3次的对称轴，次的对称轴，3 3次对称轴次对称轴L3L3应当始终放在第应当始终放在第2 2位。位。 请同学们自己分析一下课本第请同学们自己分析一下课本第34页页“图图

22、4-14 常见对称型中对称要素在晶体上的空间配常见对称型中对称要素在晶体上的空间配置各个图的对称型置各个图的对称型如如A A类对称型高次轴不多于一个的推导：类对称型高次轴不多于一个的推导：A A类对称型共有类对称型共有2727种，根据对称要素对其推导种，根据对称要素对其推导1 1对称轴对称轴LnLn单独存在原始式对称型单独存在原始式对称型 ），可能的对），可能的对称型为称型为L1L1；L2L2；L3L3；L4L4；L6 L6 。2 2对称轴与对称轴的组合轴式对称型）对称轴与对称轴的组合轴式对称型） 。在这里。在这里我们只考虑我们只考虑LnLn与垂直它的与垂直它的L2L2的组合。根据上节所述对的

23、组合。根据上节所述对称要素组合规律称要素组合规律LnLnL2L2 LnnL2 LnnL2 ，可能的对称，可能的对称型为：（型为：（L1L2=L2L1L2=L2）；）；L22L2=3L2L22L2=3L2；L33L2L33L2；L44L2L44L2；L66L2L66L2 如果如果L2L2与与LnLn斜交有可能斜交有可能出现多于一个的高次轴，出现多于一个的高次轴，这时就不属于这时就不属于A A类对称型了。类对称型了。3对称轴对称轴Ln与垂直它的对称面与垂直它的对称面P的组合中心式的组合中心式对 称 型 ）对 称 型 ） 。 考 虑 到 组 合 规 律。 考 虑 到 组 合 规 律 L n ( 偶偶

24、 )PLn(偶偶)PC，则可能的对称型为，则可能的对称型为L2PC；L4PC；L6PC。4对称轴对称轴Ln与包含它的对称面的组合平面式对与包含它的对称面的组合平面式对称型称型 ）。根据组合规律）。根据组合规律Ln PLnnP，可能，可能的对称型为：（的对称型为：（L1P=PL22P；L33P；L44P；L66P。 5对称轴对称轴Ln与垂直它的对称面以及包含它的对称面与垂直它的对称面以及包含它的对称面的组合轴面式对称型的组合轴面式对称型 ）。垂直）。垂直Ln的的P与包含与包含Ln的的 P 的 交 线 必 为 垂 直的 交 线 必 为 垂 直 L n 的的 L 2 ， 即， 即L nP P = L

25、 nP P L 2 =LnnL2(n+1)P(C)（C只在有偶次轴垂直只在有偶次轴垂直P的情况的情况下产生下产生)，可能的对称型为：，可能的对称型为：(L1L22P=L22P）；）；L22L23PC=3L23PC；（；（L33L24P=Li63L23P）；）；L44L25PC；L66L27PC。 6 6旋转反伸轴单独存在倒转原始式对称型）。可旋转反伸轴单独存在倒转原始式对称型）。可能的对称型为：能的对称型为：Li1=CLi1=C；Li2=PLi2=P；Li3=L3CLi3=L3C；Li6=L3PLi6=L3P。7 7旋转反伸轴旋转反伸轴LinLin与垂直它的与垂直它的L2L2或包含它的或包含它

26、的P P的的组合倒转轴面式对称型组合倒转轴面式对称型 ）。根据组合规律，当）。根据组合规律，当n n为为奇 数 时奇 数 时 L i n n L 2 n P L i n n L 2 n P ， 可 能 的 对 称 型 为 ：， 可 能 的 对 称 型 为 ：（Li1L2P=L2PCLi1L2P=L2PC）；）；Li33L23P=L33L23PCLi33L23P=L33L23PC；当；当n n为偶数为偶数时时 Lin(n/2)L2 (n /2)P Lin(n/2)L2 (n /2)P ，可能的对称型为：，可能的对称型为：（Li2L2P=L22PLi2L2P=L22P）；）；Li42L22PLi4

27、2L22P；Li63L23P=L33L24PLi63L23P=L33L24P。 例：如果晶体中有一个例：如果晶体中有一个L4，同时又有一个，同时又有一个L2垂直于它和一垂直于它和一个对称面垂直它，则个对称面垂直它，则L4 L2 L44L2组合定律组合定律1），），L4 PL4PC组合定律组合定律2），因为垂直），因为垂直L4的的P 与与L2是是包含关系，所以：包含关系，所以：L2 PL22P组合定律组合定律3），这两），这两个个P中，有一个是垂直中，有一个是垂直L4包含包含L2的，而另一个是包含的，而另一个是包含 L4垂垂直直L2，这个包含，这个包含L4 的的P以及垂直以及垂直L4的的P与与L

28、4组合根据推组合根据推导导5）：）： LnPP=LnPPL2 =LnnL2(n+1)PC，最后产生对称型，最后产生对称型L44L25PC，金红石就，金红石就是这种对称型。是这种对称型。 7个组合类型中共导出个组合类型中共导出35个对称型，其中重复的个对称型，其中重复的有有8个，故实际导出的个，故实际导出的A类对称型共类对称型共27种。种。 。 请同学们将表中空格的内容填上，空格中的内容请同学们将表中空格的内容填上，空格中的内容与表中其他内容是重复的。与表中其他内容是重复的。L Ln nL Ln nnL L2 2Ln CLn PCLn nPLn nL L2 2 (n+1)P(C)L Li in

29、nL Li in n nL L2 2 nPL Li in n n/2L L2 2 n/2PL L1 1L Li i1 1 = CL L2 23L3L2 2L2 PCL2 2P3L L2 2 3PCL Li i2 2 = PL L3 3L L3 33L L2 2L3 3PL Li i3 3 =L L3 3 C L3 3L L2 2 3PCL L4 4L L4 44L L2 2L4 PCL4 4PL4 4L L2 2 5PCL Li i4 4L Li i4 4 2L2 2PL L6 6L L6 66L L2 2L6 PCL6 6PL6 6L L2 2 7PCL Li i6 6=L L3 3 PL

30、Li i6 6 3L L2 2 3P= L L3 3 3L L2 2 4P还有还有5个是个是B类高次轴多于一个对称型，不要求推导。类高次轴多于一个对称型，不要求推导。此外还有3L44L36L29PC，3L24L33PC，3Li44L36P对称型符号对称型符号 习惯符号习惯符号 按一定的顺序表示出晶体所有对按一定的顺序表示出晶体所有对称要素的符号称要素的符号 mLnmPC(n-对称轴轴次，从高到对称轴轴次，从高到低排列，低排列，m-对称对称 轴或对成面的数目）轴或对成面的数目）国际符号反映对称要素及其在空间的取向）国际符号反映对称要素及其在空间的取向） n单独一个对称轴Ln 单独一个Lin N/m Ln垂直它的P的组合 N22或N2 Ln和垂直它的L2的组合N1时，1省略） Nmm Ln和包含它的P的组合N1时，1省略， N=2时，特写为mm2） N2m Lin和包含它的P以及垂直它的L2的组合 N/mmm Ln和包含它的P以及垂直它的P的组合 X3Y或X3第二位上为3者表示4L3说明六、晶体的对称分类六、晶体的对称分类32晶类晶类高、中、低级晶族高、中、低级晶族7大晶系大晶系属于同一属于同一对称型的对称型的晶体晶体高次轴的有无及高次轴的有无及多少多少轴次的高低轴次的高低及数目及数目三斜晶系三斜晶系单斜晶系单斜晶系斜方晶系斜方晶系三方晶系三方晶系四方晶系四方晶系六方晶系六