《2.4正态分布》导学案2

1、2.4正态分布导学案 2【课标要求】1 利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.2 .了解变量落在区间 (口一, 口+b , ( 1 2 a , 1 + 2 a , ( 1 3(T , 1 + 3 a 内的概率大小.3.会用正态分布去解决实际问题.【核心扫描】1. 正态分布曲线的特点及其所表示的意义.(重点)(易混点)2 .正态分布中参数 i , a的意义及其对正态分布曲线形状的影响.3 .利用正态分布解决实际问题.(难点)自学导引1 .正态曲线的概念正态总体函数0 1,2-,X ( 8,体平均值，a表示标准差，函数的图象叫正态分布密度曲线，简称正态曲线.1x2特例：当

2、 1= 0, a = 1时，函数表达式是 f (x) =e , x ( m,+m )，相应刈2n2的曲线称为标准正态曲线.想一想：函数 0 1，a(X)中参数1 , a的意义是什么？提示 参数1是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；a是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计.2. 正态分布一般地，若对于任何实数，a,b(avb)，随机变量X满足RavX< b) = - 0 1, a(x) dx, J a则称X服从正态分布.(2) 正态分布记作：N(1 , a2)，若X服从正态分布，记作 XN(1 , a2).正态分布完 全由参数1和a确定，若XN

3、( 1 , a 2)，则E(X) = 1 , D(X) = a 2,.厂厂=a .想一想：若随机变量 XN( 1 , a 2)，则X是离散型随机变量吗？提示 若XN(1 , a 2)，贝U X不是离散型随机变量，由正态分布的定义：P(a V X< b)，b0 1，a(x) dx可知，X可取(a , b内的任何值，故 X不是离散型随机变量，它是连续型随机变量.3.正态曲线的特点1正态曲线$卩，°(x) =e2 n cx ( g,+g)有以下性质:(1) 曲线位于x轴上方，与x轴不相交;(2) 曲线是单峰的，它关于直线x =卩对称;曲线在x=卩处达到峰值一二;c寸2 n曲线与x轴之

4、间的面积为1;(5) 当c 一定时，曲线的位置由卩确定，曲线随着 卩的变化而沿x轴平移;(6) 当卩一定时，曲线的形状由c确定，c越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中;c越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.试一试：如图是当c取三个不同值(T 1c 2)图象，那么(T 1 , c 2,c 3的大小关系如何?提示当= 0, c = 1时，正态曲线f(x)=0时取最大值一1,故寸2 n(T 2=1，由正态曲线的性质，当 1 一定时，曲线的形状由 c确定，c越小，曲线越“瘦高”， c越大，曲线越“矮胖”，于是有 c 1< c 2= 1 < c 3.故c 1 < c 2&

5、lt; c 3.4 .正态分布的3 c原则(1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率P( 1 c < XW i + c ) = 0.682 6 ,P( i 2 c < XW i + 2 c ) = 0.954_4 ,P( i 3 c < XW i + 3 c ) = 0.997_4.(2)3 c原则在实际应用中，通常认为服从于正态分布N( i , c 2)的随机变量X只取(i 3c , 1 +3 c )之间的值，并简称之为3 c原则.正态总体几乎取值于区间(1 3 c , 1 + 3 c )之内，而在此区间外取值的概率只有0.002 6，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发

6、生.试一试：已知随机变量 XN(0,1)，你能求出X在区间(一3,+g)内取值的概率吗?提示 由XN(0,1)可知，卩=0, d = 1.结合密度函数的图象可知1 1P(X>- 3) = 2卩(3W xw 3) + 2 = 0.998 7.名师点睛1 .正态曲线正态曲线指的是一个函数的图象，这个函数就是总体的概率密度函数，其解析式是12-.对于这个函数解析式，要注意下面几点:(1)函数的自变量是 x，定义域是 R,即x ( m,+m ).(2)解析式中含有两个常数：n和e,这是两个无理数，其中n是圆周率，e是自然对数的底数，即自然常数.(3) 解析式中含有两个参数：卩和d .其中卩可取任

7、意实数；d >0.在不同的正态分布中卩、d的取值是不同的，这是正态分布的两个特征数.1(4) 解析式中前面有一个系数 ，后面是一个以 e为底数的指数函数的形式，幕指 . ;2 n d2数为一X牛，其中d这个参数在解析中的两个位置上出现，注意两者的一致性.2 d2.正态分布(1) 正态分布定义中的式子实际是指随机变量 X的取值区间在(a,b上的概率等于总体密 度函数在a, b上的定积分值也就是指随机变量 X的取值区间在(a, b上时的概率等于正 态曲线与直线x= a, x= b以及x轴所围成的封闭图形的面积.(2) 正态分布是自然界最常见的一种分布，例如：测量的误差；人的身高、体重等；农作

8、 物的收获量；工厂产品的尺寸：直径、长度、宽度、高度都近似地服从正态分布.一般 说来，若影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用不太大，则这个指标服 从正态分布.(3) 从正态曲线可以看出， 对于固定的和d而言，随机变量取值在(卩一d ,卩+ d) 上取值的概率随着 d的减小而增大这说明 d越小，X取值落在区间(卩一d ,卩+ d)的 概率越大，即X集中在卩周围的概率越大.正态分布的3 d原则是进行质量控制的依据， 要会应用给定三个区间的概率解决实际问题.题型一正态曲线【例1】 如图所示，是一个正态曲线试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差.

9、 ° (x) =e°思路探索首先借助图象观察函数的对称轴及最大值，然后结合2解从给出的正态曲线可知,该正态曲线关于直线 x= 20对称，1最大值是£二冗，所以卩=20.1 1一2 n °=厂n，解得°=2.于是概率密度函数的解析式是f(、1x 20f(X)= 2 n e-厂总体随机变量的期望是=20 ,与最值方差是 ° x£可知及°的值. °= (2) 2= 2.规律方法 利用图象求正态密度函数的解析式，关键是找对称轴°的值便确定了.1，这两点确定以后，相应参数2 n °【变式1】若一

10、个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为求该正态分布的概率密度函数的解析式.解由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数,所以其图象关于y轴对称,0.1 1由于2n °=一2n 4、得 °=4,故该正态分布的概率密度函数的解析式是1 X20 (x) = 4yj2e 32，x ( m，+m ).题型二利用正态分布求概率【例2】设EN(1,2 2)，试求：(1) P( 1VEW 3); (2) P(3 VEW 5); (3) R 5).解 T E N(1,2 ) ,= 1 ,(T = 2, P( 1v E w 3) = P(1 2v E w 1+ 2)=P( i

11、a < E w 口+b ) = 0.682 6/ P(3 < E w5) = R 3< E w 1),1 P(3 < E w 5)=尹3 < E w 5) R 1 < E w 3)1=戸 R1 4< E w 1 + 4) R1 2 < E w 1 + 2)1=1 2(T< x w i + 2(T) P(1 (T< x w i +CT)=2(0.954 4 0.682 6) = 0.135 9.(3) P( E >5) = R E w 3)=舟1 p 3< E w 5)=21 P(1 4< E w 1 + 4)1=尹P

12、( i 2t<E w i + 2 t )1=2(1 0.954 4) = 0.022 8.规律方法解答此类题目的关键在于充分利用正态曲线的对称性，把待求区间内的概 率向已知区间内的概率进行转化，在此过程中充分体现数形结合及化归的数学思想经常用 到如下转换公式：P(x>a) = 1 Rx < a)；若 b < i ,贝U RX < b)= 1 P i b< Xw i + b2 .【变式2】 若nN5,1)，求P(5 < n < 7) 解 nN(5,1)，正态分布密度函数的两个参数为i = 5, t = 1,因为该正态曲线关于x= 5对称，1 1 P

13、(5 < n < 7)=寸 F(3 < n < 7) = 2 x 0.954 4 = 0.477 2.题型三正态分布的实际应用【例3】 设在一次数学考试中，某班学生的分数XN(110,20 2)，且知试卷满分150分,这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格 (即90分以上)的人数和130分以上 的人数.审题指导P X 列。=P X i > T图象对称>2P X i < a + 0.682 6 = 1结果图象对称>P X= P X aa |2P X aa + 0.682 6 = 1规范解答卩=110, a = 20, P(X>90

14、) = P(X11020) = RX卩c ),T P( X a ) + P( aW X卩 W a ) + P( X卩 > a )=2P( X a V a ) + 0.682 6 = 1 , P( X a V a ) = 0.158 7 , (3 分) P(X>90) = 1 P(X a V a ) = 1 0.158 7 = 0.841 3. 54X 0.841 345(人)，即及格人数约为 45人.(6分)/ P(X> 130) = P(X11020) = P(X a > a ), P( X a w a ) + P( a W X a W a ) + P( X a &g

15、t; a )=0.682 6 + 2P(X aa ) = 1.(9 分) P(X aa ) = 0.158 7. 54X 0.158 7疋9(人)，即130分以上的人数约为 9人.(12分)【题后反思】解答此类题目的关键在于将所求的问题向(a a , a + a ) , ( a 2 a ,a + 2a ) , ( a 3a , a + 3a )这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应概 率，在此过程中用到化归思想和数形结合的思想.【变式3】工厂制造的某机械零件的尺寸X服从正态分布 N 4, 9，问在一次正常的试验中，取1 000个零件时，不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有多

16、少个? 解/ XN4, 9 , a = 4 , a = 3 ,不属于区间(3,5)的概率为P(XW 3) + F( X5) = 1 P(3 V Xv 5)=1 P(4 1 V XV 4+ 1)=1 P( a 3 a v Xv a + 3 a )=1 0.997 4 = 0.002 6 0.003 , 1 000 X 0.003 = 3(个),即不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有3个.方法技巧数形结合思想在正态分布中的应用数形结合思想是一种很重要的数学思想，数与形是事物的两个方面，正是基于对数与形 的抽象研究才产生了数学这门学科，才能使人们能够从不同的方面认识事物，华罗庚先生说 过：“数缺形时少直观，形少数时难入微” 把数量关系的研究转化为图形性质的研究，或 者把图形性质的研究转化为数量关系的研究，这种解决问题过程中“数”与“形”相互转化 的研究策略，就是数形结合的思想，在本节中，由于涉及到连续型随机变量的密度曲线，我 们在解题时应与曲线的图象巧妙结合，抓住曲线的对称特征，会给解题带来很大的方便.【示例】在一次测试中，测量结果X服从正态分布N(2 , (T P(X> 4) = 21 R0 v Xv 4)( 6> 0)，若X在(0,2)内取值的概率为0.2 ,求X在(0,4)内取值的概率；(2) P(