我的《“鸡兔同笼”问题》1

1、尝试·反思·改进我的鸡兔同笼教学【摘要】八天前本人接到优秀教师考核的第二轮借班上课的通知，从接到通知的当天开始就反复经历了“尝试反思改进”的课堂教学行动研究过程。先后进行了三次教学，形成了三个不同层次的教案。现在细细体味，觉得只有当教师成为研究者，能够批判地考察自己的教学实践，能够理解并改善自己的教学行为，才能真正把某些激动人心的口号转化为实实在在的行动。无独有偶，本人的教学设计最终也是让学生用“尝试(假设)反思(算一算)改进(调整)”的方式进行学习,看来这样的工作(学习)方式对教师和学生都有借鉴的价值。【关键词】行动研究 反思 改进一、“鸡兔同笼”问题简析大约在1500年

2、前，孙子算经中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”解答这道题的方法主要是“砍足法”(即砍去鸡和兔的腿各一半) 它是一个“ 曾在几个世纪里引起过人们兴趣”的数学名题，古今中外许许多多知名数学家都研究过它。至今，这道题的新的解法还在不断地发现。“鸡兔同笼”问题在各个学段中都有,教学的目标也各不相同。初中（七年级）主要是培养学生用方程解题的能力；小学高段以培养学生从不同角度分析问题、解决问题及一题多解的能力为目的；小学中段则以培养学生的想象能力和创新能力为目的。那么小学低段（二年级）该怎样来定位教学目标呢？二年级的学生以具体形象思维为

3、主，如果要学生去掌握各种算术解法显然是不符合学生的思维实际的。为此，在笔者的几次尝试中对教学目标作了几次定位，最终定位为：画算结合，通过假设验证调整的方法得到正确答案，培养学生解决问题的能力。 二、“鸡兔同笼”问题的教学研究学生：二年级课文例题：笼里（出示一个笼子）有松鼠和小鸟的头共7个，腿22条。松鼠有（ ）只，小鸟有（ ）只。方法一：画图解题方法二：列表解题鸟头松鼠头腿总条数相差条数初次试教引入数学画用数学画解决问题 巩固技能一、 创设情境：(略)二、 探索：1、 理清题意：读题后问，“松鼠和小鸟关在同一个笼子里”什么意思？“数它们的头共有7个” 什么意思？“数它们的腿共有22条” 什么意

4、思？问题是什么？2、 一只鸟有几个头，有几条腿？一只松鼠有几个头和几条腿？猜一猜，你觉得可能是几只鸟，几只松鼠？根据学生的回答板书： 鸟 松鼠3 42 5 1 64 35 26 13、 教学生画数学画。数学画就是用非常简单的图形或符号来表示松鼠和小鸟。谁来画一个图形表示他们的头？（圆,师生共画5个圆）用简单的图形表示它们的腿，（一竖）得出：小鸟 松鼠 。4、 一共要画几条腿？学生动手画。5、 校对数学画，想不想看看到底是几只松鼠几只小鸟？（看笼里的结果）6、 有没有想过全部画成小鸟，多少条腿？14条，比22条少8条怎么办？有没有想过全部画成松鼠，多少条腿？28条，比22条多6条怎么办？（教师演

5、示）三、 巩固练习(略)四、 小结(略)【反思】从教学的效果来看，学生能正确地用画数学画的方法解决“鸡兔同笼”问题，但是细细体味，却发现：1、教学没有创新。本次试教的思路完全来自特级教师徐斌的鸡兔同笼教学，只是在题目上改了一下。著名的国画大师齐白石有句话：“学我者死，似我者生！”虽然只有短短的八个字，适用的范围却远远地超出了绘画领域，我们的教学艺术也是如此，如此的照搬模仿只有倒退没有前进。2、学生的这种解决问题的“工具”是老师给的，就象师傅交给徒弟一把扳手，徒弟试着拧一下；师傅交给徒弟一把钳子，徒弟试着钳一钳。充其量学生只是一个忠实的执行者，一旦学生没了这样“工具”，就会对这类鸡兔同笼问题无从

6、入手。【改进策略】1、跳出原有的教学思路，取其精华弃其糟粕，有必要展示学生的思维；2、关注学生的现有知识、方法基础，从中找到画图解题和列表解题的新起点；3、适当渗透数学思想，适当传递数学文化。第二次试教尝试解决问题列表法画图法巩固技能 巩固技能一、 创设情境：（略） 二、 探索：1、 理清题意：这里的“5个”是什么？这里的“16条”是什么？问题是什么？2、 大家试着在白纸上做做看？（学生做，教师巡视）3、 展示几位学生的“绘画解题”（画得比较繁琐）A、能看出来是几只鸡几只兔吗？凡是画成2只鸡3只兔的小朋友都很棒。其实，数学课上的画和美术课上的画不一样，数学课上，只要用简单的图形或符号来表示一下

7、就好了。（教师示范）B、一个外国的老师在教小朋友的时候，他让兔子站起来，大家想站起来后兔子用了几条腿?教师画,一共几条腿?比16少了几条?怎么办?C、可否先把它全部看成兔子，教师画,一共几条腿?20比16多了几?怎么办?4、展示几位学生的“算式解题”A、投影学生的做法，请他讲讲每一步的意思。板书：鸡 2兔 3 16B、你刚开始是怎么做的？“少2”你想到了什么？继续板书：鸡 2 3兔 3 2 16 14 少2C、如果这样试下去，一共会有几种不同的情况？继续板书：鸡 1 2 3 4兔 4 3 2 1 18 16 14 12 多2 少2 少4D、凡是最后得到是2只鸡3只兔的都很好。比较一下，你认为哪

8、种做法比较方便？三、 巩固练习（略）四、小结：（略）【反思】这次试教还是被原来的教学思路所左右，从学生的反馈情况来看是不成功的。主要有这样几点：1、引入不能够吸引学生的注意力。2、部分学生不知道到底该怎么来解这道题，两种解题方法在学生的眼里似乎是截然不同的。3、教师该关注学生的各种思路，但教师却错误地在关注画图的多样性上。【改进策略】1、如何把绘画解题和列表解题进行有机的融合，成为同一种方法的两种手段；2、如何在学生盲目无序的凑数中，形成有序（方法），如何把这些方法进行优化；最终定教假设（独立猜一个答案）正确验证（画一画、算一算） 调整（多了减、少了加） 验证 正确一、创设情境： 森林里要开动

9、物运动会，小兔子和小公鸡因为犯了一点小错误被关在了笼子里。请小朋友帮忙做出笼子前面的一道题目，让小兔子和小公鸡从笼子放出来。二、探索：1、请学生读题，了解题意。笼里有鸡和兔的头共5个，腿16条，鸡有（ ）只，兔有（ ）只。问你什么，你已经知道了什么？2、学生试着在纸上做一做。（学生做，教师巡视）3、展示学生的思维，请学生说一说，教师进行适当板书。 鸡 兔 2 3 2×2=4（条）4×3=12（条）4+12=16（条）4、请学生回忆一下，刚开始是怎么想的，有没有刚开始不是这个答案，是后来经过调整后得到的？教师进行适当板书：鸡 兔1 4 1×2=2（条）4×

10、4=16（条）2+16=18（条）多22 3 2×2=4（条）4×3=12（条）4+12=16（条）3 2 2×3=6（条）4×2=8（条）6+8=14（条）少25、总结这两种做法的共同点：（板书）假设、算一算、调整6、还有没有其他同学也是经过调整后得到正确答案的？请学生把调整过程完整地说一说。（板书）鸡 兔4 1 2×4=8（条）1×4=4（条）8+4=12（条）少47、一个外国的老师在教小朋友的时候，他让兔子站起来，大家想站起来后兔子变成几条腿了? 也就是全部看成鸡，一共几条腿?比16少了几条?怎么办?请学生把过程完整地说一说。8

11、、如果我们全部把它看成兔，一共几条腿?20比16多了几?怎么办? 请学生把过程完整地说一说。9、比较一下，你最喜欢哪一种做法？为什么？三、巩固练习（略）四、小结：（略） 三、反思与体会思索这一教学内容的设计虽然只经历了短短的八天，但给我的体会实在是太多了。“尝试反思改进”的过程，其实就是一个行动研究的过程。从一开始备课到最后的借班上课，我在整个过程（八天）中，持续处于一种思考状态，思考如何解决问题，想象学生可能出现的反应，反思自己在这一过程中的地位与作用，尽可能地使教学顺利等等，而不是机械麻木地套用现成教案；甚至对教材的内容、教材的呈现顺序也进行了调整。我想，如果我能在每次教学中持续使用这种方

12、法，进而在生活中形成反思的习惯，那么，我的教学质量肯定会有较大的提高，因为这次行动研究的过程从本质上说是为自己的研究，它既是一种研究方式，更应成为我的一种生活方式，一种职业生活方式。在这样的生活方式中，我再也不会去盲目地照搬别人的经验（教案）。1、尝试，是对研究结果的验证，也是新研究的起点。“尝试”两字似乎是很普通的字眼，但它所蕴含的内涵和价值，恰是博大精深、不可估量的。尝试，促进了人类的发展，推动了社会的进步。从人类的发展史上看，类人猿为了生存，尝试站立起来，这是其进化成人的关键一步，远古人通过不断尝试逐渐学会钻木取火，打猎捕鱼，制造工具，使人类本身获得了发展。 由于人类不断尝试，才有千千万

13、万的创造发明，造就了丰富多彩的现代文明。尝试是创造的前提，尝试是成功的阶梯。 、对教师而言，尝试，是对研究结果的验证，也是新研究的起点。本文的每一次尝试都是对原由的预设的验证，通过尝试知道了预设的方案中哪部分是成功的，哪部分是有问题的。例如通过第一次试教得到了这样一些信息：从教学的效果来看，学生能正确地用画数学画的方法解决“鸡兔同笼”问题。但1、教学没有创新；2、学生的这种解决问题的“工具”是老师给的，自身并没有经历摸索总结的过程。反馈的信息是本人继续开展行动研究的新起点，例如针对第二次尝试的结果，提出了这样的改进策略：1、如何把绘画解题和列表解题进行有机的融合，成为同一种方法的两种手段；2、

14、如何在学生盲目无序的凑数中，形成有序（方法），如何把这些方法进行优化；、对学生而言，尝试同样是新研究的起点。本课的最终定教中有这样一个环节：教师请学生用画一画或者算一算的方式尝试解决鸡兔同笼问题。学生中凡是去大胆尝试的最终都获得了成功，有的一次成功（少数），有的改进后成功（多数）。大多学生虽然心存顾虑，但尝试后都有自己切身的体会，这种体会正是新研究的起点。2、反思，是对教学优缺点的分析，也是新研究的核心。专家讲：一个教师的成长=经验+反思一个人或许工作20年，如果没有反思，也只是一年经验的20次重复。教学反思就是教师自觉地把自己的课堂教学实践，作为认识对象而进行全面而深入的冷静思考和总结，从而

15、进入更优化的教学状态，使学生得到更充分的发展。、对教师而言，反思，是对教学优缺点的分析，也是新研究的核心。如果说备课、上课等基本教学实践是元研究的话，那么教学反思就是次研究，其目的在于超越。反思是一种手段，反思后则奋进。存在问题就整改，发现问题则深思，找到经验就升华。每次反思都是一次新的超越，超越自我，不断地向高层次迈进。、对学生而言，反思，也是对尝试结果的分析，是解决问题的核心。最终定教中教师化大量的时间请学生回忆原来是怎样做的，后来是怎样调整的，其目的是让学生学会反思，在反思中找到解决问题的方法。3、改进，是在原有基础上的否定之否定。否定之否定规律揭示了矛盾运动过程具有的特点，它告诉人们，

16、矛盾运动是生命力的表现，其特点是自我否定、向对立面转化。、对教师而言，改进，是在原有基础上的否定之否定，例如，本课中渗透的假设法。其实作为学科的数学是有别于作为科学的数学的。张奠宙教授指出：能否用不甚严格的方法，即非形式化的方法讲数学？他说“非形式化的数学处理着重在介绍数学观念、基本想法和实用方法，不讲究严格的逻辑处理，只要符合认识规律，能为学生理解即可。”本人正是在这种思想的指导下，对最初的正规假设法进行扬弃，让学生接受数学画，后来经过多次反思又回到了“假设算一算调整”的方法上来。、对学生而言，改进，同样是在原有基础上的否定之否定。学生最初只是猜了一个答案，进行画一画、算一算等验证活动，通过

17、画数学画、算一算等活动学生马上对原有的答案进行否定，但本课中的关键是让学生在否定原有答案的基础上进行调整。例如，学生发现 “多了2条腿”，怎么办？调整，“把一只兔换成一只鸡”。 最后，我想从心理学的角度，对三次教学作些比较：第一次教学是一种有意义的接受学习（当然，并不是说这种学习方法就不好）；第二次教学想从接受学习转化成探究性学习，但没有对学生进行正确的引导，导致失败；第三次教学，笔者认为是上出了探究性学习的特点（关注探究方法）。四、建议1、低段学生的探究意识和探究能力也应得到关注。我们不仅应该为提高低段学生的基本数学素养而教，而且还要为培养低段学生的创新意识和实践能力而教。许多老师担心低段学生掌握的知识少，不会进行探究，其实学生的探究意识在他的生活中已经存在，我们所要做的是对学生的探究意识和探究能力进行关注。2、 低段学生独立思维方式的多样性也应得到激励和尊重。学生在学习数学的过程中有他们自己的思维特点，我们的数学