平面向量的线性运算及练习试题

1、范文范例 精心整理平面向量的线性运算学习过程知识点一：向量的加法1）定义已知非零向量 a, b ，在平面内任取一点 A，作 AB a，BC b ，则向量 AC叫做 a与b的和，记作 a b，即 a b AB BC AC求两个向量和的运算，叫做叫向量的加法这种求向量和的方法，称为向量加法的三 角形法则，即第二个向量要以的向量即为和向说明：运用向量加法的三角形法则时，要特别注意“首尾相接” 第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量终点 量.两个向量的和仍然是一个向量，其大小、方向可以由三角形法则确定 位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型 （2）向量加法的平行四边形法则u

2、uur r以点 O为起点作向量 OA a ，OB b ，以 OA,OB为uuru 邻边作 Y OACB ，则以 O为起点的对角线所在向量 OC 就r r uuru 是 a,b的和，记作 a b =OC 。说明：三角形法则适合于首尾相接的两向量求和，而平行四边形法则适合于同起点 的两向量求和，但两共线向量求和时，则三角形法则较为合适 . 力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型对于零向量与任一向量 a，a 0 0 a a3）特殊位置关系的两向量的和 当向量 a与 b不共线时， a + b的方向不同向，且 | a+b|<| a|+| b| ；当 a与b同向时，则 a+b、 a、b同向

3、，且 | a+b|=| a|+| b| ， 当 a与b反向时，若 | a|>| b| ，则 a+b的方向与 a相同，且 | a+b|=| a|-| b|；若| a|<| b|，则 a+b 的方向与 b相同，且 | a +b|=| b |-| a|.4）向量加法的运算律向量加法的交换律：向量加法的结合律：知识点二：向量的减法a+b=b+a( a+b ) + c=a+ ( b+c)word 完美格式范文范例 精心整理( 1)相反向量：与 a长度相同、方向相反的向量 . 记作 a。r r r (2)向量 a和- a互为相反向量，即 (- a).零向量的相反向量仍是零向量r r r r r

4、 任一向量与其相反向量的和是零向量，即a(- a)(- a)a 0r r r r r r r r r如果向量 a, b互为相反向量，那么 a- b，b- a，ab 0r r r r( 3)向量减法的定义：向量a 加上的 b 相反向量，叫做 a与 b 的差 .rrrr即：ab=a+ (b )求两个向量差的运算叫做向量的减法.(4)向量减法的几何作法uurruuurruurrrrr在平面内任取一点O，作 OAa,OBb，则BAab即ab 可以表示为从向量rr b 的终点指向向量 a 的终点的向量，这就是向量减法的几何意义rr说明： AB 表示 a b . 强调：差向量“箭头”指向被减数rr rr用

5、“相反向量”定义法作差向量， ab= a + ( b )， 显然，此法作图较繁，但最后作图可统一 .知识点三：向量数乘的定义r (1)定义：一般地， 我们规定实数 与向量 a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘， r记作 a ，它的长度与方向规定如下：rr| a| | ar| rrrr rrr当 0 时， a 的方向与 a 的方向相同；当0 时， a 的方向与a 的方向相反rr当0时， a 0(2) 向量数乘的运算律根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律：设 、 为实数，那么rr ( a)( ) a ； rr ( ) a a r a； r r r ( a b ) a r b知识点

6、四：向量共线的条件r r r r r r 向量 a( a 0 )与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使 b aword完美格式范文范例 精心整理学习结论（ 1）两个向量的和仍然是向量，它的大小和方向可以由三角形法则和平行四边形法则 确定，这两种法则本质上是一致的共线向量加法的几何意义， 为共线向量首尾相连接， 第一个向量的起点与第二个向量的 终点连接所得到的有向线段所表示的向量r r r r（2） a b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量（ 3）实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘向量数乘的几何意义就是几个 相等向量相加r r r r r r（4）向量 a（ a 0）

7、与 b共线，当且仅当有唯一一个实数，使 b a。练习r r uur r r uuur r r uuur r r例 1已知任意两个非零向量 a,b，作 OA a b,OB a 2b,OC a 3b ，试判断 A、B、C三点之间的位置关系uuur解： AB OB OA a+2b （a+b） b，uuru且 AC OC OA a+3b（a+b） 2 b ，uuru uuur AC 2 AB 所以， A、B、 C三点共线例 2. 如图，平行四边形 ABCD的两条对角线相交于 uuur r uuur r r r 点uuMru u，uru且uAuuBr uuaru ， AD b ，试用 a，b 表示向量

8、MA,MB,MC,MDuuur uuur 1 r rMA(a b),DMMBMAAB (a b)所以MD (b a)2 2 2例 3.一艘船从长江南岸 A点出发以 5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江解 析 ： AM MC = (a b) ， 所 以 uuru1 r ruuuruuruu2uruuuur1 r ruuur1 r r水的流速为向东 2 km/h 试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度（保留两个有效数字） ； 求船实际航行速度的大小与方向 （ 用与江水速度间的夹角表示，精确到度）.分析： 速度是一个既有大小又有方向的量， 所以可以用向量表示， 速度的合成也就是

9、向 量的加法 .解析： 如图，设AB作邻边作平行四边形AD 表示船向垂直于对岸行驶的速度， AB 表示水流的速度，以 AD、 ABCD，则 AC 就是船实际航行的速度 .在 Rt ABC中，| AB | 2，| BC | 5， | AC| uuur 2ABuuurBC22 22 52完美格式29 5.4word范文范例 精心整理5 tan CAB ，2答：船实际航行速度的大小约为 km/h ，方向与水的流速间的夹角为约为CAB 6868°.1.（ 2006 上海理 ） 如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（23（A） ABDC ；(C)AB AD BD； ( 2007 湖

10、南文) 若 O、 E、 uuurA EFuuurC. EFuuurOF uuur OFuuurOEuuurOEB）AD AB AC；AD CB 0 （D）F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 uuurB. EFuuurD. EFuuur uuurOF OEuuur uuurOF OE）B2003 辽宁）已知四边形ABCD是菱形，点 P 在对角线AC上（不包括端点 A、C），则 APA(ABAD),(0,1)B(ABBC),C(ABAD),(0,1)D(ABBC),4.（ 2008 辽宁理 ） 已知 O，A，B是平面上的三个点 uuur则 OC （uuurA 2OA, 直线 AB上有一点

11、(0, 22)2(0, 22) uuuruuurC，满足 2ACuuurCB 0,56) uuur OB2003 江苏；动点 P 满足uuur uuurB OA 2OB天津文、理） uuur OPC2uuurOA31uuurDOA32uuurOB3O 是平面上一定点， uuur内心uuur OAuuur AC uuur ),AC0,A、1uuurOB3B、 C 是平面上不共线的三个点，,则P的轨迹一定通过VABC 的（ ）（A）外心2005 全国卷uuur与 BC 相交于 E ，那么有 BC1（A） （B）（ C）2设 a,b 是两个不共线的非零向量，若向量（B） 理、文）已知点 A（ 3,1

12、） ， uuur CE，（C）重心B（0,0） ，C（ 3,0） 设 BAC 的平分线 AE 其中 等于 （ ）D） 13ka 2b与 8a kb的方向相反，则D）垂心7 k= 8. （ 2007江西理）如图，在 ABC中，点AC于不同的两点 M、N，若 AB m AM ，AC n AN ，则 m n 的值为9（ 2005 全国卷理 ） ABC的外接圆的圆心为 O，两条边上的高的交点为 H，OH m(OA OB OC) ，则实数10. （ 2007 陕西文、理）如图，平面内有三个向量 OA 、OB 的夹角为 120°，OC2 2 .若OCO是 BC的中点，过点 O 的直线分别交直线

13、AB、OA与OC 的夹角为 30°，且OA OB 1，的值OA OB( ,R),则OB 、OC ，其中 OA与word完美格式范文范例 精心整理例 1. B 例 2 例 3 B. (三)基础训练：1. C；2B.3A4.A5B6 C；7_4_；8.29 110. 2 6 .(四)拓展与探究：1311、D； 12. ( ,0) ， ( , ).22平面向量的线性运算(复习课)复习目标：? 1 、掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义? 2 、掌握向量数乘运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义 ? 3 、了解向量的线性运算性质及其几何意义.重点: 向量加、减、数乘运算及其几何意

14、义.难点 :应用向量线性运算的定义、性质灵活解决相应的问题 一、学案导学 自主建构复 习 2: 向 量的减 法已知向量 a 和向量 b, 作向量 a-b.复 习 1: 向 量的加 法已知向量 a 和向量 b,作向量 a+b.复习 3： 向量的数乘 已知向量 a,作向量 3a和-3a.复习 4：平面向量共线定理二、合作共享 交流提升uuur uuur1、填空： (1)AD CA uuur uuur uuur(2) AB CB D -Cuuur uuur uuur uuur(3)AB AC BD CDword完美格式范文范例 精心整理uuur uuur（4） 在平行四边形 ABCD中，若 AB A

15、Duuur uuurAB AD 则 BAD2、判断题：（1）相反向量就是方向相反的向量 uuur uuur r（2） AB BA 0uuur uuur uuur（3） AB OA OBuuur uuur uuur r4) 在 ABC中，必有 AB BC CA 0uuuruuuruuur r（ 5）若 ABBCCA 0 ，则 A、B、C三点必是一个三角形的三个顶点。uuuruuuruuur3、若OA3OB2OC ,则A, B,C三点是否共线uuur(1)ADuuurBCuuur 1uuur(2)AD BC3uuur(3)ADuuurBC,且uuurABuuurADuuur(4)OAuuurOCuuur uuurOB OD ;（ O是四边形所在平面内一点）uuur(5)ACuuur ABuuurAD三、案例剖析 总结规律 例 1: 根据条件判断下列四边形的形状uuur uuur uuur uuur(6)四边形 ABCD的对角线 AC与BD相交于点 O，并且 AO OC,DO OB例 2、 如图，在OAB 中,延长 BA到 C,使 AC=BA,在 OB上取点 D,使 BD=与 OA交于 E, 设uuur ur uuur rr ruuur uuurOA a，OB b，请用 a，b表示向量 OC，DC例 3、设?A