江苏省无锡市2019届高三上学期期末考试数学试题(解析版)

1、无锡市2019届高三上学期期末考试数 学2019.01一、填空题：1、设集合 A =xx0，B =x2x1，则 AB答案：x0x1考点：集合的运算。解析：取集合A，B的公共部分，得：ABx0x12、设复数 z 满足 (1+ i)z = 13i（其中 i 是虚数单位），则 z 的实部为答案：1考点：复数的运算，复数的概念。解析：z，所以，实部为1。3、有 A，B，C 三所学校，学生人数的比例为 3：4：5, 现用分层抽样的方法招募 n 名志愿者，若在 A 学校恰好选出 9 名志愿者，那么 n =答案：36考点：分层抽样方法。解析：设A，B，C三所学校学生人数为：3x，4x，5x，则总人数为：12

2、x，所以，解得：n364、史上常有赛马论英雄的记载，田忌欲与齐王赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，先从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为答案：考点：古典概型。解析：设田忌的上中下等马分别为：A、B、C，齐王的上中下等马分别为：1、2、3，双方各先一匹马，所以可能为：A1、A2、A3、B1、B2、B3、C1、C2、C3，共9种，田忌的马获胜的可能有：A2、A3、B3，共3种，所以，概率为：P。5、执行如图的伪代码，则输出 x 的值为答案：25考点：算法初步。解析：第1步：x

3、1，x1；第2步：x2，x4；第3步：x5，x25；退出循环结果为25。6、 已知 x，y 满足约束条件，则z = x+y 的取值范围是答案：0,3考点：线性规划。解析：不等式组表示的平面区域如下图，当目标函数z = x+y 经过点O（0,0）时，取到最小值为：0经过点A（1,2）时，取到最大值：3，所以，范围为0,37. 在四边形 ABCD 中，已知 ，其中，是不共线的向量，则四边形 ABCD 的形状是答案：梯形考点：平面向量的三角形法则，共线向量的概念。解析：所以，即ADBC，且AD2BC所以，四边形ABCD是梯形。8. 以双曲线的右焦点为焦点的抛物线的标准方程是答案：考点：双曲线与抛物线

4、的标准方程与性质。解析：双曲线中，c3，所以，右焦点为F（3,0），抛物线的焦点也为（3,0），所以，p16，抛物线的标准方程为：9. 已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为6，则该圆锥的体积等于答案：3考点：圆锥的侧面积、体积的计算。解析：设圆锥的底面半径为R，因为轴截面是等边三角形，所以母线长为2R，高为，侧面积S，解得：R，所以，圆锥的体积为：V3。10. 设公差不为零的等差数列 满足 a37，且 a11，a21，a41 成等比数列，则 a10 等于答案：21考点：等差数列、等比数列。解析：依题意，有：（a21）2（a11）（a41），即，即：，化为：0，因为公差不为0，所以，d2，

5、7+142111. 已知是第四象限角，且 cos，那么的值为答案：考点：同角三角函数，诱导公式，两角和的正弦函数。解析：依题意，有：sin，12. 已知直线ya(x+2)(a > 0) 与函数 y cosx的图像恰有四个公共点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4), 其中 x1 < x2 < x3 < x4，则 x4答案：2考点：函数的导数及其应用，一次函数和余弦函数的图象，数形结合的数学思想方法。解析：直线ya(x+2)过定点（2,0），如下图所示，由图可知，直线与余弦函数图象在x4处相切，且x4，即a(x4+2)cosx4，所以，a

6、又，即直线的斜率为：a，因此a，即x4x4x4x42213. 已知点 P 在圆 M： (x-a)2 +(ya+2)2 1 上， A，B 为圆 C： x2 +(y-4)2 4 上两动点，且 AB 2, 则 的最小值是答案：1912考点：圆的标准方程，平面向量的三角形法则、数量积。解析：取AB的中点D，因为AB 2，R2，CD1，所以，1912。C（0,4），M（a，a2）当C、D、P、M在一条直线上时，PD最小，此时，PDCMCDPM所以，1912，当a3时取到最小值191214. 在锐角三角形 ABC 中，已知 2sin2 A+ sin2B = 2sin2C，则的最小值为答案：考点：正弦定理，

7、三角函数，基本不等式。解析：由正弦定理，得：，如图，作BDAC于D，设ADx，CDy，BDh，因为，所以，化简，得：，解得：x3y，二、 解答题：15. (本小题 14 分)在 ABC 中，设 a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，已知向量 = (a，sinCsinB)，= (b + c，sinA + sinB)，且(1) 求角 C 的大小(2) 若 c = 3, 求 ABC 的周长的取值范围.考点：平面向量的线性关系，正弦定理，余弦定理，三角恒等变换。答案：（1）由，得：a（sinA + sinB）（b + c）（sinCsinB）由正弦定理，得：a（a+ b）（b + c）（cb）化为

8、：a2b2c2ab，由余弦定理，得：cosC，所以，C（2）因为C，所以，BA，由B0，得：0A，由正弦定理，得：，ABC 的周长为：a+ bc，由0A，得：，所以，周长C16. (本小题 14 分)在四棱锥 P - ABCD 中，锐角三角形 PAD 所在平面垂直于平面 PAB，ABAD，ABBC。(1) 求证：BC平面 PAD；(2) 平面 PAD 平面 ABCD考点：线面平行，线面垂直，面面垂直的判定。答案：（1）四边形ABCD中，因为ABAD，ABBC，所以，BCAD，BC在平面PAD外，所以，BC平面PAD（2）作DEPA于E，因为平面PAD平面PAB，而平面PAD平面PABAB，所以

9、，DE平面PAB，所以，DEAB，又ADAB，DEADD所以，AB平面PAD，AB在平面ABCD内所以，平面PAD平面ABCD17. (本小题 14 分)十九大提出对农村要坚持精准扶贫，至 2020 年底全面脱贫. 现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作. 经摸底排查，该村现有贫困农户 100 家，他们均从事水果种植， 2017 年底该村平均每户年纯收入为 1 万元，扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其人数必须小于种植的人数. 从 2018 年初开始，若该村抽出 5x 户（ x Z，1 x 9) 从事水果包装、销售.经测算，

10、剩下从事水果种植农户的年纯收入每户平均比上一年提高，而从事包装销售农户的年纯收入每户平均为 (3x) 万元（参考数据： 1.13 = 1.331，1.153 1.521，1.23 = 1.728).(1) 至 2020 年底，为使从事水果种植农户能实现脱贫（每户年均纯收入不低于 1 万 6 千元），至少抽出多少户从事包装、销售工作？(2) 至 2018 年底，该村每户年均纯收人能否达到 1.35 万元？若能，请求出从事包装、销售的户数；若不能，请说明理由。考点：不等式，应用数学知识解应用题的能力。答案：（1）至 2020 年底，种植户平均收入，即，即，由题所给数据，知：，所以，所以，x的最小值

11、为4，5x20即至少抽出20户从事包装、销售工作。（2）至 2018 年底，假设能达到 1.35 万元，每户的平均收为：，化简，得：，因为x Z，1 x 9解得：x4，5，6所以，当从事包装、销售的户数达到20至30户时，能达到，否则，不能。18. (本小题 14 分)在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：的离心率为，且过点 (，)，点 P 在第四象限， A 为左顶点， B 为上顶点， PA 交 y 轴于点 C,PB 交 x 轴于点 D.(1) 求椭圆 C 的标准方程；(2) 求 PCD 面积的最大值.考点：椭圆的标准方程，综合应用数学知识的能力，计算能力。答案：（1），即，即，所以，椭

12、圆方程为：，过点 (，)，所以，解得：b1，所以，a2，椭圆方程为：19. (本小题 16 分)已知函数 f(x) = ax(a > 0).(1) 当 a = 1 时，求证：对于任意 x > 0，都有 f(x) > 0 成立；(2) 若函数 y = f(x) 恰好在 x = x1 和 x = x2 两处取得极值，求证：< ln a.考点：函数的导数及其应用，分类讨论的数学思想。答案：20. (本小题 16 分)设等比数列的公比为 q(q > 0，q = 1)，前 n 项和为 Sn，且 2a1a3 = a4，数列的前 n 项和 Tn 满足2Tn = n(bn - 1)，n