缩放秒杀椭圆

1、缩放变换：缩放的意思为：缩小和放大都自如。在欧儿里德几何中，均匀缩放是放大或缩小物体的线性变换; 缩放因子任所有方向上都是一样的；它也叫做位似变换。均匀 缩放的结果相似（在几何意义上）于原始的物体。更一般的是在每个坐标轴方向上的冇单独缩放因子的缩放; 特殊情况是方向缩放（在一个方向上）。形状可能变化，比如矩形 可能变成不同形状的矩形，还可能变成平行四边形（保持在平行 于柚的线之间的用度，但不保持所有的向度）。缩放的d生质：以x轴拉伸（压缩）kM咅，y轴拉伸（压缩借为例 缩放后坐标系内坐标、斜率等以相应比例变化 坐标 x=xVki, y=y7k：t （x y*）=（kix, by） 方程 f（x

2、, y尸0, Rx/ki, Wk）=0 斜率 k - A y 7 A x-k>A y/k iA x=k?k/k 面积 S'Nxf kikWxy kkS长度 r"（lTe22xJ：（l+（kkkJ*k4x=T（k"kk）心+k、）WI椭圆（椭圆是圆经过拉伸或压缩之后得到的图形） 椭圆与圆的方程极其相似，C : x7a2+y3/b?=l, 将y替换为ay'/b可化为圆C* : x*+y 利用圆的特殊陛质解题然后回归原坐标系即可一、切线对于椭圆的切线，常规做法是设宜线方程，X关立，判别式，而 离手通常会克接爲出切线式.但也免不了代入求解的过袒 相比千椭圆的切

3、线更容易求出，即圏心到直线距离恰为 半径。因此，求椭圆切线时可先缩放成虬 用点到直线距离公式求解然后凹归原坐标系即可1 .椭圆C : x:/8+y72=i与斜率k=l/2的直线1相切, 则切点的坐标为解：将x轴压缩为原来的1/2,即x=2x 斜率变为kf=2k=l,椭圆化圆C : x,2+y*-=2 显然r与c相切于点（i, 1）或（,-1） 则原坐标系中I与C相切于点（-2, I）或（2, -I）2椭圈C : x?4-/3=i上的点到立线I : x-2y-l=0距离的取值范国为 解：椭80 C与1相交,最小距离为0最大距离即为椭圓C与I平彳亍的切线与1之间的距痴 役切线L : x-2y-b=

4、0.与1距离为d缩放 y=v3y72, C1 ：x、yN F ： x3yb二0C*与 If相切.r=!W2=2. b=4 平行线间距离d=|b-l/<5=<5或3 <5/5 则点到直俎巨离的取位范国为O呵3.过定点（4, 0）的直线I与椭圆C : x2/4±y:=i有公共点， 则立线1的斜率k的取值范囲为.解：设I ： my=x4 （即使给出斜率k.也要设反斜率m. 过x轴上定A.还是使用m相对较快） 缩放 x=2x*, C : x,:+y,2=l, r : my,=2x,-4 d=4/V（4+nr）<l, nr>12, k:<l/!2, ke-3

5、/6, 3/6 解：结合图象.只需求出k的临界值，即切线斜率缩放 y=yV2, k'=2k, C : x,2+y,2=4（横向或是纵向缩放随急 对于X轴上定缩放纵坐标计算量相对较小）勾股定理及相似（或三角函数河求kW03 k=k72=±3/6, kW（3/6, 3/64已知直线I : cos0x+sinOy=2与椭圆C : x2+3y2=6有公共点, 则0的取值范国为_.解：缩放 x=3x V ：、3cos0xqsin0y=2, C : x,?+y,2=2 d=2/7(3cos'B+sin®wP2.即 cos:0>l/2 故0 G 卜衣4+kzr,力4

6、+k?i (k G Z)注：对于椭圆的切线问題，还可以利用柯西不等式求解， 计算量与缩放变换差不多。2解:16=(x:/4+y73)(4+ 12)>(x-2yf=b2-46W4时有交点，b=±4时相切3解:mM=(x74-y:)(4-m2)>(x-my)2= 16, m312 时有交点 4解：6cos'O2sinJ0=(x:+3y:)(cos"O+sin:O/3)=(cos6x+sin0y)2=4, cos柜 1/2 时有交点二、弦对于椭圆的弦的问题常规做法是设直线方程联立，利用 韦达定理设求出弦长。而圆中的弦只需点到直线距离公式结 合勾股定理即可求出。

7、因此.求椭圆的孩时.可先缩放成亂 在圓中求解，然后 回归原坐标系即可。題目中往往并未要求解出弦长，而是求两段长度的比值。 在同一直线或平行线上的线段.放缩祈后比位不变。缩放成 風利用圖的特殊注质求解，可减少计再量。5已知A、B分别是椭圆C ： x2/4-y2= 1的上顶点和右顶点. 直线1 : y=kx交椭圆于E. F两点，交线段于点D,若 |DE|=6|DF|, P!'J k=解：缩放 x=2心(？：亡+护=1, 1* : ykx*|DE1=6|DF|, |OD|=(6/7- l/2)|DF|=5/7作DP丄x轴于点P,设|0P冋 则|AP|=|DP|=lt而 |OP|!+|DP|?

8、=OD| 即 r+(l-ty=(5/7)2解得 t=3/7 或 4/7, 2k=|DP|/|OP =(1 -t)/t=3/4 或 4/3 k=3/8 或 2/36已知幼点P与双曲线心2产3=1的两个隹.点F). F、的 距离之和为定值2a(a>V5).且cosZ.EPF：的最小值是川9 求动点P的轨迹方程.(2)若过定点0(0, 3)的宜线交点P的紈迹干M.N两点，且 DM|=k|DN|.求实软k的取值范国.解：珊也 0), F：(<5, 0), |F.F：|=25设 PFipa-i, |PF】Fa【cos 乙 F PF：=(a ft):>(a-t):-20/2(a+t)(a

9、-t) =2(a<5)(a:-t:). 1>I-10/a2=-1/9 当且仅当1=0,即|PFiHPF：|=a Ht,等号成主 尸3, C :込9一牛1(2)端啟 x=3x92. C : x+yM上顶A A(0, 2),下顶点B(0. -2)曲双创线定理得DM |DN -AD| BD -5CADMsiDB 可证) k-DM/jDN|=5/DNf. 1<DN|<5. l/5<k<5 |DI：rDN|. k?l 综上，kel l)U(l. 5)7.过定A(0, I)的宜线I被椭闻C : x74-y:=l裁得的弦长的最大值为 解：设 I ： y=kx+l.缩放 x

10、=2x C*: x沖F ： y'=2kx*l设1交椭圆于A(l. 0). B.作OP丄1于点Pd=l/,(4k;+l). L,=2Ml-d )=4'k7(4k-l)L=L*x2 V(k?+iy(4k 1 )=8Mtk-(k2-f 1 X(4k2+1)=2v12k?(4k;+4y3(4k + l )曲3/3当且仅当12k;=4kM.即k=±«2/2时.等号成立8过定点P(G 0)的直线I交椭圆C : x沁*2=1于M, N两点， 若|PMF3|PN|.则直线I的方程为.解：设 1 ： my=x+V3,缩放 y=V3y73, C : x,2+yr2=6, V :

11、 myf3x93 作 OQ丄 1 干AQ. |OQ|=3A»(tn-4-3). |QM|=2|QN 即|OM|:-|OQ|4(|OP|'-|OQp)t 6-9/(nr+3)=43-9/(nr+3) in=±'6/2 1 : y=±W6x/3+l2)三、斜率缩放后斜率比值不变，因此原坐标系内平 行线缩放后依旧平行。原坐标系内斜率积 表示两直线垂直，在椭圆内斜率积疔/的两 直线经缩放成圆后垂直，存在一些特殊生质。9.已知 A、B 是椭圆 C : x7a-+y7b'=l(a>b>0)长轴的 两个端点，M, N是椭圆上关于x轴对称的两点

12、, 直线AM、BN的斜率分别为ki、k：,且kk#O, 若Ik.l+IM的最M直为1,贝U椭圆的离心率为解:缩放 y=by'/a, C : x'2+y,2=a2k? kuM, ki,kBM=kik2xa*/b2=-1kk二bVa', |ki|+|kN2V|kk|=2b/a=l10过椭圆C : x74+y2=l内一点P(l, 1/2M乍两条直 线AB、CD,分别交椭圆于A、B、C、D四点, 若AC/BD,则直线AC的斜率为.解：缩放 y=y72, C1 :P，(l, -1)A'C/B'D',由平面几何纟讯只可知，OP丄A'C' k.

13、vtl/kop-= 1, kAc=k.vc/2= 1/2四.定值定点 直线I交椭圆c : x2/a2+y2/b:= I于A、B两点，AB 中点为P,则AB与OP的斜率之积为-b7a证明：缩放y=byVa, OP丄ABk(ipk I, kopk.xB=-b'/afc注：点差法也可证明11 过点P(2 2)的直线1交椭圆C : x'/4+/=l于A、B,若线段 AB中点Q的横坐标为I则直线丨的方程为_解：设直线1 : m(y-2尸x+2則Q(l, nV4)m(-m/4-2)=l+2F m=-2 或6(舍去),1 : x+2y+2=O 过椭圆C : x7a2+y2/b;=l上一点P作

14、斜率互补的 两条直线交椭圆于A、B两点，则AB与OP的 斜率之积为b7a20证明:缩放y=by7a,作PQ丄x轴交C于Q' 连接OQ； X'轴垂直平分PQ, k“二® PQ平分弧 AB, OQ 丄AB, koQkvB-=-l kork¥B= 19 kwkAB=b12.过椭圆 C : x74+y73=l 上一点 P(l, 3 作斜率互补的两条直线交椭圆于A、B 两点，则AB的斜率为解：3k/2=3/4, k=l/2 过原点0作互相垂直的两条射线交椭圆C ： x'/a'+y河=1 于 A. B 两点，l/|OA|2+l/OB|-=l/a-+l/b

15、证明：设0A斜率为k,缩放y=by7a,连NA交x轴干C 则 |OC|=|OA|N( 1十疋尸QA啊(l+a'k7b), OA|=a Up|0A|W(l+k:y(l+a'k7b 同理|OB|W(1 +k:)/(k:+a7b:) l/|OAf+”|OBf=l/a*l 加13直线1交椭圆C : x2/4+y2=l于A、B两点,若 OA±OB,求,|OA|OB|的最小值.解:l/|OA|2+l/|OB|M/4>2/|OA|OB|, |OA|OB|>8/5 直线I交椭圓C : x7a'+/b2=l于A、B两点,若OA. OB斜率 之积为-b7a:则|OA|

16、'+ OB|：=a'b “AOB 面积为 ab/2.汪明：缩放y=by7a,设OA斜率为k连A'A交x轴于C 则QC|=|OA|/( l+bV/alO-AlV( 1|OW|=a, O7V丄OB即|OA|:=a:(l +b:kr7a>(l +F).同理|OB|:=a:(kt：+b7a:y( 1+F) OA|-+|OB|W+b 厶AOB为等腰直角三角形,S7/2, S=ab/214.直线1交椭圆C : x2/4+y2=l于A、B两点， 若OA、OB斜率之积为-1/4.求|OA|OB |的最大值(2)<i£AOB面积为定值解:(1)|OA|2+|OB|=

17、5>2|OA|OB|, |OA|OB|<5/2(2)显然,S=115A、B为橢圆C : x74*y =l上两点，满足厶AOB的面积为1.(1) 求证：xi'xj与均为定值(2) 若AB中点为P,求|OP|AB|的最大值解：(l)|OA|'+|OB|'=x/+yi4x/+y,=x,+x?+lX|2/4+】xJ/4=5 x,+x,=4. y/+yj=l(2)|OP|AB|=P(xEX2)'/4"y +y»'4N(x x：)Wyy$ =,(Xi：+x2：*yi：y/)-4(x X2-+-yiy2)：/2<5/2过直线xn上

18、任意一点P作直线PA、PB与椭圆C : x2/a2+yW=l相切于A、B两点， 则弦AB过定点(a%, 0)o 证明：缩放y=by*/a, OP交AB于Q,AB交x轴于M, PN丄x轴于N由射影定理得QAf=|OQ|OP|由相似得 |OM|/|()Q|=|()P|/|ON| |OM|=|OA|7|ON|=a7|t|,定点 M(a2/t, 0)16过点P(l, 0於直线1交椭圆C : x74+y2=l于A、B两点，作A、B两点的切线，若存在 交点，求交点的轨迹.解：显然，x=4 过橢圆C : x加+y沁=1的隹点F作互相垂直的两条直线分别 交椭圆于 A、B、C D 四点，则 l/|AB|+l/|

19、CD =(a?+b>2ab 证明：设 AB : y=k(x+c),缩放 y二by烁 A'B* : byVa=k(xc) 取 AB中点 P OP=|kc|N(k'+b站) ABF2|APF2«(|CTaTQPf)=2bx,(k-l)/(kJ+b7a2) AB|=|AB|x、lF+l)W(kTb'+l)=2Li(k'+l)/(kLb'/d) 同理，|CD|=2a(k2+iy(l+b¥/a:), l/|AB|+l/CD|=(a-+b2)/2ab217过橢圖C : x74+y:=l的焦点F作互相垂直的两条直线分别交 椭圆干A、B. C、

20、D四点,求四边形ABCD面积的缺卜值 解:1/|AB|+”|CDF5A2N(|AB|CD|), S=|AB|CD|/2>32/25五、面积求椭圆内三角形及四边形面积最值是圆锥曲线中很 常见的题型，常规做法是设直线方程，联立后用韦达 定理求弦长，点到直线距离公式求高，底乘高求面积, 利用不等式求极值。高手通常会使用向量叉乘。缩放后面积成比例变化，在圆中求面积可以更快地 得出表达式，甚至可以立接利用几何意义求出最值。 譬如圆内接多边形为正多边形时面积最大，圆心及圓 上两点连成的三角形为等腰直角三角形时面积最大。1 &椭圆C : x;/4+y-=l内接矩形面积的最大值为 解：缩放 y=y72, C* : x'，+y4C"内接矩形为正方形时面积最大注：同理可求内接三角形最大值 缩方陽为等边三角形时面积最大 S'“=3U3, S杠=S'Q2=3p3/219.平行于x轴的直线1交椭圆C : x2/4+y2