函数在无穷远点的留数及其应用

1、.1复变函数论复变函数论Functions of One Complex Variable湖南第一师范学院数理系湖南第一师范学院数理系.2第六章第六章 留数理论及其应用留数理论及其应用6.1 留数留数6.2 用留数定理计算实积分用留数定理计算实积分6.3 辐角原理及其应用辐角原理及其应用.33.函数在无穷远点的留数函数在无穷远点的留数 定义定义6.2 设设为为f(z)的一个孤立奇点的一个孤立奇点,即即f(z)在去心邻域在去心邻域N-:0r | z | +内解析内解析,则称则称1( ),(:|)2f z dzzri 为为f(z)在点在点 的留数，记作的留数，记作Res( )zf z 设设f(z)

2、在去心邻域在去心邻域N-:0r | z | +内内的洛朗展式为的洛朗展式为212101( )nnf zc zc zcczc z 6.1 留数留数.4 例例3.2 设设C是圆是圆|z- -a|，其中，其中a是一个复是一个复数，数，是一个正数，那么按反时针方向所是一个正数，那么按反时针方向所取的积分取的积分2, (1)()0, (1)nCindzzan 的的整整数数2, 1 0, 1nindzzn 故故.52, 10, 1nindzzn 及及可可推推出出212101( )nnf zc zc zcc zc z 1( )2f z dzi c 11Res( )( )2zfzfz dzci 注意比较含点注

3、意比较含点的区域的柯西积分定理的区域的柯西积分定理与此结论的异同与此结论的异同.6 定理定理6.6 如果如果f(z)在扩充在扩充z平面上只有有平面上只有有限个孤立奇点限个孤立奇点(包括无穷远点包括无穷远点)，设为，设为a1，a2, ，an, , 则则f(z)在各点的留数总和为零在各点的留数总和为零. 证证 以原点为圆心作圆周以原点为圆心作圆周，使，使a1，a2，an，皆含于皆含于内部，内部，的外部只有一的外部只有一个奇点个奇点，由留数定理得，由留数定理得1( )2Res( )knz akf z dzif z .71a2ana1()2R es()knzakfz dzifz O.81( )2Res

4、( )knz akf z dzif z 11( )Res( )2knz akf z dzf zi 11Res( )( )02knz akf zf z dzi 11Res( )( )02knz akf zf z dzi 1 Res ( )Res ( )0knz azkf zf z 故故.9 若若为为f(z)的可去奇点的可去奇点(解析点解析点)，则不一，则不一定有定有Res( )0z af z 注意：注意：若若a为为f(z)的可去奇点，则必有的可去奇点，则必有Res( )0zf z 21( )zzf zz 例例如如是是的的可可去去奇奇点点，但但Res( )1zf z .10 若若f(z)是整函数，

5、则是整函数，则Res( )0zf z 1 Res ( )( ) ,( :| |)2zf zf z dzzi 证证 明明1( )02f z dzi 这也是定理这也是定理6.6的特例的特例. .111zt 1( )( )( )ttff z 则则 .令令 ,计算函数在无穷远点留数的一个公式计算函数在无穷远点留数的一个公式1Res( )( ),2zf zf z dzi 考考虑虑其其中中:| | ( :)izrzre 或或 11:| | ( :)itterr 或或1.zt - -变变换换把把圆圆周周变变成成圆圆周周1|0 | |rztr 同同时时把把区区域域变变成成.121111Res ( )( )(

6、) ( )22zttf zf z dzfdii 故故2111111( ) ( )( )()22ttttfdfdtii 2201 11 11( )Res ( )2tt tt tfdtfi 201 1Res( )Res( )ztt tf zf 即即 .13( )| |f zrz 设设在在内内的的洛洛朗朗展展式式为为11( )0 | |tftr 则则在在内内的的洛洛朗朗展展式式为为212101( )nnf zc zc zcczc z 2121011( )nntfc tc tcctc t 1232210121 1( )nnt tfcc tctctct 2101 1Res( )Res( )ztt tf

7、zcf 所所以以 再利用洛朗级数证明这个公式再利用洛朗级数证明这个公式.14例例6.6 计算积分计算积分 解法一解法一：七个孤立奇点：七个孤立奇点, , 六个六个有限奇点均在积分曲线内部有限奇点均在积分曲线内部, ,只有只有在其外部在其外部. .152243| | 4(1) (2)zzIdzzz 2 Re( )zIis f z 1Re( )zs f zc 12Ii c .15 152243( )(1) (2)zzf zzz 易易知知是是的的一一阶阶零零点点122( )ccf zzz 21( )czf zcz 1612243lim ( ) lim1(1) (2)zzzczf zzz 在在 的的去去心心邻邻域域内内有有122Ii ci .16201 1Res ( )Res ( )1ztt tf zf 所所以以 15222324