动量-含弹簧的碰撞模型

1、ABC水平弹簧1、如图所示,光滑的水平面上有m A =2kg ,m B = m C =1kg 的三个物体,用轻弹簧将A 与B 连接.在A 、C 两边用力使三个物体靠近,A 、B 间的弹簧被压缩,此过程外力做功72 J ,然后从静止开始释放,求:(1当物体B 与C 分离时,B 对C 做的功有多少?(2当弹簧再次恢复到原长时,A 、B 的速度各是多大?(1当弹簧恢复原长时,B 与C 分离,0=m A v A -(m B +m c v C ,E P =221A A v m +2(21C C B v m m +,对C 由动能定理得W =221C C v m -0,由得W =18J ,v A =v C

2、=6m/s . (2取A 、B 为研究系统,m A v A -m B v C = m A v A +m B v C , 221A A v m +221C B v m =21 m A v A2+21m B v C 2,当弹簧恢复到原长时A 、B 的速度分别为:,v A =v B =6m/s 或v A =-2m/s , v B =10m/s .2、(2如图所示,光滑水平面轨道上有三个木块,A 、B 、C ,质量分别为m B =m c =2m ,m A =m ,A 、B 用细绳连接,中间有一压缩的弹簧 (弹簧与滑块不栓接。开始时A 、B 以共同速度v 0运动,C 静止。某时刻细绳突然断开,A 、B

3、被弹开,然后B 又与C 发生碰撞并粘在一起,最终三滑块速度恰好相同。求B 与C 碰撞前B 的速度。解析:(2设共同速度为v ,球A 和B 分开后,B 的速度为B v ,由动量守恒定律有0(A B A B B m m v m v m v +=+,(B B B C m v m m v =+,联立这两式得B 和C 碰撞前B 的速度为095B v v =。考点:动量守恒定律 3、两物块A 、B 用轻弹簧相连,质量均为2 kg ,初始时弹簧处于原长,A 、B 两物块都以v =6 m /s 的速度在光滑的水平地面上运动,质量4 kg 的物块C 静止在前方,如图所示。B 与C 碰撞后二者会粘在一起运动。求在

4、以后的运动中:(1当弹簧的弹性势能最大时,物块A 的速度为多大? (2系统中弹性势能的最大值是多少?解析:(1当A 、B 、C 三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大. 由A 、B 、C 三者组成的系统动量守恒,(A B A B C ABC m m v m m m v +=+ (2分解得 (226/3/224ABC v m s m s +=+(2分(2B 、C 碰撞时B 、C 组成的系统动量守恒,设碰后瞬间B 、C 两者速度为BC v ,则 m B v =(m B +m C BC v BC v =4262+=2 m/s (2分 v设物ABC 速度相同时弹簧的弹性势能最大为E p ,根据能量守恒E

5、p =21(m B +m C 2BC v +21m A v 2-21(m A +m B +m C 2ABC v =21×(2+4×22+21×2×62-21×(2+2+4×32=12 J (4分4、两物块A 、B 用轻弹簧相连,质量均为2 kg ,初始时弹簧处于原长,A 、B 两物块都以v =6 m/s的速度在光滑的水平地面上运动,质量4 kg 的物块C 静止在前方,如图所示.B 与C 碰撞后二者会粘在一起运动.求在以后的运动中:(1当弹簧的弹性势能最大时,物块A 的速度为多大?(2系统中弹性势能的最大值是多少? (3A 物块的速度有

6、可能向左吗?简略说明理由. 答案 (13 m/s(212 J(3A 不可能向左运动5、 用轻弹簧相连的质量均为2 kg 的A 、B 两物块都以v = 6 m /s 的速度在光滑的水平地面上运动,弹簧处于原长,质量4 kg 的物块C 静止在前方,如图所示.B 与C 碰撞后二者粘在一起运动.求:在以后的运动中: (1当弹簧的弹性势能最大时,物体A 的速度多大? (2弹性势能的最大值是多大? (3A 的速度有可能向左吗?为什么?解析:(1当A 、B 、C 三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大.由于A 、B 、C 三者组成的系统动量守恒,(m A +m B v =(m A +m B +m C v A 解

7、得 v A =422622(+ m/s=3 m/s(2B 、C 碰撞时B 、C 系统动量守恒,设碰后瞬间B 、C 两者速度为v ,则 m B v =(m B +m C v v =4262+=2 m/s 设物A 速度为v A 时弹簧的弹性势能最大为E p ,根据能量守恒E p =21(m B +m C 2v ' +21m A v 2-21(m A +m B +m C 2'A v =21×(2+4×22+21×2×62-21×(2+2+4×32=12 J (3A 不可能向左运动系统动量守恒,m A v +m B v =m

8、A v A +(m B +m C v B设 A 向左,v A <0,v B >4 m/s 则作用后A 、B 、C 动能之和E =21m A v A 2+21(m B +m C v B 2>21(m B +m C v B 2=48 J 实际上系统的机械能 E =E p +21(m A +m B +m C ·2'A v =12+36=48 J根据能量守恒定律,E '>E 是不可能的6、 如图15所示,劲度系数为k 的轻弹簧,左端连着绝缘介质小球B ,右端连在固定板上,放在光滑绝缘的水平面上。整个装置处在场强大小为E 、方向水平向右的匀强电场中。现有

9、一质量为m 、带电荷量为+q 的小球A ,从距B 球为S 处自由释放,并与B 球发生碰撞。碰撞中无机械能损失,且A 球的电荷量始终不变。已知B 球的质量M=3m , B 球被碰后作周期性运动,其运动周期2T =、B 小球均可视为质点。(1求A 球与B 球第一次碰撞后瞬间,A 球的速度V 1和B 球的速度V 2;(2要使A 球与B 球第二次仍在B 球的初始位置迎面相碰,求劲度系数k 的可能取值。 答案:(1设A 球与B 球碰撞前瞬间的速度为v 0,由动能定理得, 2012qES mv =解得: 0v = 碰撞过程中动量守恒 012mv mv Mv =+ 机械能无损失,有222012111222m

10、v mv Mv =+ 解得 1012v v =-= 负号表示方向向左 2012v v = 方向向右 (2要使m 与M 第二次迎面碰撞仍发生在原位置,则必有A 球重新回到O 处所用 的时间t 恰好等于B 球的1(2n T +Eqa m = 122v Tt nT a =+(n =0 、1 、2 、3 由题意得: 2T = 解得: 223(212Eq n k S+=(n =0 、1 、2 、3 7、下图中,轻弹簧的一端固定,另一端与滑块B 相连,B 静止在水平导轨上,弹簧处在原长状态。另一质量与B 相同滑块A ,从导轨上的P 点以某一初速度向B 滑行,当A 滑过距 离1l 时,与B 相碰,碰撞时间极

11、短,碰后A 、B 紧贴在一起运动,但互不粘连。已知最后A 恰好返回出发点P 并停止。滑块A 和B 与导轨的滑动摩擦因数都为,运动过程中弹簧最大形变量为2l ,求A 从P 出发时的初速度0v 。解:设A 、B 质量皆为m ,A 刚接触B 时速度为1v (碰前,由动能关系,有121202121m g l mv mv =- A 、B 碰撞过程中动量守恒,令碰后A 、B 共同运动的速度为.2v 有 212mv mv = 碰后A 、B 先一起向左运动,接着A 、B 一起被弹回,在弹簧恢复到原长时,设A 、B 的共同速度为3v ,在这过程中,弹簧势能始末两态都为零,利用动能定理,有2(2(2(212(21

12、22322l g m v m v m =- 此后A 、B 开始分离,A 单独向右滑到P 点停下,由动能定理有12321mgl mv = 由以上各式,解得 1610(210l l g v += 1.如图所示,EF 为水平地面,O 点左侧是粗糙的,右侧是光滑的,一轻质弹簧右端与墙壁固定,左侧与静止在O 点质量为m 的小物块A 连结,弹簧处于原长状态. 质量为m 的物块B 在大小为F 的水平恒力作用下由C 处从静止开始向右运动,已知物块B 与地面EO 段间的滑动摩擦力大小为4F,物块B 运动到O 点与物块A 相碰并一起向右运动(设碰撞时间极短,运动到D 点时撤去外力F,已知CO=4S,OD=S.求撤

13、去外力后(1弹簧的最大弹性势能(2物块B 最终离O 点的距离 1.解:B 与A 碰撞前速度由动能定理:202144(mv S F F W =-=得mFSv 60= B 与A 碰撞,由动量守恒定律有mv=2mv 1 .得mFSv 6211=碰后到物块A 、B 运动至速度减为0,弹簧的最大弹性势能FS mv FS E Pm 2522121=+=EC O D(2设撤去F 后,A 、B 一起回到O 点时速度为v 2,由机械能守恒得22221mv E Pm =,mFSv 252=。返回至O 点时,A 、B 开始分离,B 在摩擦力作用下向左做匀减速运动,设物块B 最终离O 点最大距离为x ,由动能定理:2

14、221041mv Fx -=-,x=5S6.光滑水平面上放着质量m A =1 kg 的物块A 与质量m B =2 kg 的物块B ,A 与B 均可视为质点,A 靠在竖直墙壁上,A 、B 间夹一个被压缩的轻弹簧(弹簧与A 、B 均不拴接,用手挡住B 不动,此时弹簧弹性势能E P =49 J .在A 、B 间系一轻质细绳,细绳长度大于弹簧的自然长度,如图所示.放手后B 向右运动,绳在短暂时间内被拉断,之后B 冲上与水平面相切的竖直半圆光滑轨道,其半径R =0.5 m ,B 恰能到达最高点C .取g =10 m/s 2,求 (1绳拉断后瞬间B 的速度v B 的大小; (2绳拉断过程绳对B 的冲量I

15、的大小; (3绳拉断过程绳对A 所做的功W . 答案 (15 m/s(24 N ·s(38 J解析 (1设B 在绳被拉断后瞬间的速度为v B ,到达C 时的速度为v C ,有m B g =m B R c 2v21m B v B 2=21m B v C 2+2m B gR 代入数据得v B =5 m/s(2设弹簧恢复到自然长度时B 的速度为v 1,取水平向右为正方向,有E p =21m B v 12 I =m B v B -m B v 1 代入数据得I =-4 N ·s,其大小为4 N ·s(3设绳断后A 的速度为v A ,取水平向右为正方向,有m B v 1=m

16、B v B +m A v A W =21m A v A 2 代入数据得W =8 J13、如图所示,坡道顶端距水平面高度为h ,质量为m 1的小物块A 从坡道顶端由静止滑下,进入水平面上的滑道时无机械能损失,为使A 制 动,将轻弹簧的一端固定在水平滑道延长线M 处的墙上,另一端与质量为m 2的档板相连,弹簧处于原长时,B 恰好位于滑道的末端O 点。A 与B 碰撞时间极短,碰撞后结合在一起共同压缩弹簧。已知在 OM 段 A、B 与水平面间的动摩擦因数为 ，其余各处的摩擦不计，重力加速度为 g， 求 （1）物块 A 在档板 B 碰撞瞬间的速度 v 的大小； （2）弹簧最大压缩时为 d 时的弹性势能

17、EP（设弹簧处于原长时弹性势能为零） 。 45如图所示，一轻质弹簧的一端固定在滑块 B 上，另一端与滑块 C 接触但未连接，该整 体静止放在离地面高为 H 的光滑水平桌面上。现有一滑块 A 从光滑曲面上离桌面 h 高 处由静止开始下滑下，与滑块 B 发生碰撞（时间极短）并粘在一起压缩弹簧推动滑块 C 向前运动，经一段时间，滑块 C 脱离弹簧，继续在水平桌面上匀速运动一段时间后从 桌面边缘飞出。已知 mA = m, mB = m, mC = 3m, 求： （1）滑块 A 与滑块 B 碰撞结束瞬间的速度； （2）被压缩弹簧的最大弹性势能； （3）滑块 C 落地点与桌面边缘的水平距离。 解： （1）

18、滑块 A 从光滑曲面上 h 高处由静止开始滑下的过程中，机械能守恒，设其滑到底 面的速度为 v1，由机械能守恒定律有 m A gh = 1 m A v12 2 解得： v1 = 2 gh 滑块 A 与 B 碰撞的过程，A、B 系统的动量守恒，碰撞结束瞬间具有共同速度设为 v2， 由动量守恒定律有 mA v1 = (mA + mB v2 解得： v 2 = 1 1 v1 = 2 gh 2 2 （2）滑块 A、B 发生碰撞后与滑块 C 一起压缩弹簧，压缩的过程机械能定恒，被压缩 弹簧的弹性势能最大时，滑块 A、B、C 速度相等，设为速度 v3，由动量定恒定律有： mAv1 = (mA + mB +

19、 mC v3 v3 = 1 1 v1 = 2 gh 5 5 由机械能定恒定律有： E pm = 1 1 2 2 ( m A + m B v 2 - ( m A + m B + mC v 3 2 2 （3）被压缩弹簧再次恢复自然长度时，滑块 C 脱离弹簧，设滑块 A、B 速度为 v4，滑 块 C 的速度为 v5，分别由动量定恒定律和机械能定恒定律有： (mA + mB v2 = (mA + mB v4 + mC v5 1 1 1 2 2 2 ( m A + m B v 2 = ( m A + m B v 4 + mC v 5 2 2 2 1 2 2 gh , v5 = 2 gh （另一组解舍去）

20、 解之得： v 4 = - 10 5 滑块 C 从桌面边缘飞出后做平抛运动： S = v5 t H = 1 2 gt 2 4 Hh 5 解得之： S = 66如图所示，在倾角为 的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连接的物块 A 、B 它们的质量分别为mA、mB，弹簧的劲度系数为k , C为一固定挡板。 系统处于静止状态。现开始用一恒力F沿斜面方向拉物块A 使之向上运动， 求物块B 刚要离开C时物块A 的加速度a 和从开始到此时物块A 的位移d。 重力加速度为g。 解析：令x1表示未加F时弹簧的压缩量，由胡克定律和牛顿定律可知 mAgsin=kx1 令x2表示B 刚要离开C时弹簧的伸长量，a表示此时

21、A 的加速度，由胡克定律和牛顿定 律可知 kx2=mBgsin FmAgsinkx2=mAa F - (m A + mB g sin q mA 由 式可得a= 由题意 d=x1+x2 (m A + m B g sin q k 由式可得d= 36.如图所示，质量均为 m 的物块 A 和 B 用弹簧连结起来，将它们悬于空中静 止，弹簧处于原长状态，A 距地面高度 H=0.90m，同时释放两物块，A 与地面 碰撞后速度立即变为零，由于 B 的反弹，A 刚好能离开地面。若 B 物块换为质 量为 2m 的物块 C（图中未画出） ，仍将它们悬于空中静止且弹簧为原长，从 A 距地面高度为 H处同时释放，设 A 也刚好能离开地面。已知弹簧的弹性势能 EP 与弹簧的劲度系数 k 和形 1 2 变量 x 的关系是：EP= kx 。试求： （1）B 反弹后，弹簧的最大伸长量。 （2）H的大小 2 答案： （1）A 落地时，B 的速度为 B= 2gH 设反弹后