体能测试时间安排模型

1、 体能测试时间安排模型 摘要本文突出讨论的问题是在检测仪器有限的情况下，确定了最短的3个上午的时间段学生可完成检测任务。在此3个有限时间段内，尽量减少学校工作人员录入学号和学生等待的时间。由于台阶试验仪器为“关键测试”即由此台检测仪器确定了进场后的逗留时间，所以进入人数一定是的倍数较好。据此原则，再根据网络设计技术及0-1规划的思想，给出两种模型。经过比较确定第一种模型较好：所用平均等待时间最短为110秒；采用分组10人/组 螺旋式定位进入方式能最大限度利用时间。根据以上所讨论的最优模型的过程，立定跳远、肺活量各增加一台机器、台阶试验增加2台，能使时间段减少到1.5个上午，等待时间也大大减少。

2、关键词数学建模 等待时间 体能测试 时间安排问题重述条件：1.测试包括身高与体重、立定跳远、肺活量、握力和台阶试验共5个项目。2.有身高与体重测量仪器3台，立定跳远、肺活量测量仪器各1台，握力和台阶试验测量仪器各2台。3.身高与体重、立定跳远、肺活量、握力4个项目每台仪器每个学生的平均测试（包括学生的转换）时间分别为10秒、20秒、20秒、15秒，台阶试验每台仪器一次测试5个学生，需要210秒。4.每个学生测试每个项目前要录入个人信息，即学号，平均需时5秒。仪器在每个学生测量完毕后学号将自动后移一位，而同一班学生的学号是相连的。5.每天的测试时间为8：0012：10与13：3016：45两个时

3、间段。5项测试都在最多容纳150个学生的小型场所进行。6.测试项目没有固定的先后顺序。参加体能测试的各班人数见附表。附表 参加体能测试的各班人数 班号123456789101112131415人数414544442644422020383725454545班号161718192021222324252627282930人数442030393538382825303620243233班号313233343536373839404142434445人数413351392020443738394240375050班号4647484950515253545556人数424341424542193975

4、1717要求：1.(1)学校要求同一班的所有学生在同一时间段内完成所有项目的测试。(2)整个测试所需时间段数最少的条件下，尽量节省学生的等待时间。(3)用数学符号和语言表述各班测试时间安排问题，给出该数学问题的算法。2.为学校工作人员及各班学生表示出测试时间的安排计划，并且说明该计划怎样满足学校的上述要求和条件。3. 对学校以后的体能测试就以下方面提出建议，并说明理由：如引进各项测量仪器的数量；测试场所的人员容量；一个班的学生是否需要分成几个组进行测试等。 问题的分析与思考由所给的材料中，我们可以解读出以下几个问题：1.用数学符号和语言表述各班测试时间安排问题，给出该数学问题的算法。2.题目给

5、出的各班人数表和相关的要求，要求我们作出符合要求的测试时间的安排计划，并说明该计划怎样满足学校的上述要求和条件。3. 对学校以后的体能测试提出相关的建议。在思考第一问时，我们不仅要考虑题目所给的限制条件，如同一班的学生在同一时间段内完成所有的检测，整个测试所需时间段数最少的条件下，尽量节省学生的等待时间等等。我们还要考虑其他的细小的因素，如一天里上下两段时间段的长短，仪器的多少，仪器检测时间的长短等等。题目要求我们作出测试时间的安排计划，并要求：(1)学校要求同一班的所有学生在同一时间段内完成所有项目的测试。(2)整个测试所需时间段数最少的条件下，尽量节省学生的等待时间。由（2）我们得知，题目

6、的最首要条件是要是使测试得时间段最短，然后才是让学生等待的时间少。要想让时间段最少，那时间段就应该要尽量长，所以，我们选择8：0012：10这段时间段。之后，我们开始考虑要使用多少时间段。由人数和仪器检测时间上的关系，我们可以估算只用三个8：0012：10的时间就可以检测完所有的学生。这些问题解决后，就轮到如何分配学生到这三个时间段了，并让学生节省等待的时间减少，这就是这篇数学建模论文的目标了。问题假设（1） 仪器无故障问题，工作速度恒定不变。（2） 学生都能按学校的安排进行检测，无插队，排错队的情况。（3） 安排不受外在因素的影响而更改或中断。（4） 学生在未进场前的时间不算等待。（5） 学

7、生在前往下个仪器时所用的时间忽略不计。（6） 逗留时间定义：逗留时间出场时间进场时间（7） 等待时间逗留时间检测时间逗留时间-275（秒）模型的建立由题目的信息，可作出下面的表格：每台仪器每个学生的平均测试（包括学生的转换）时间：身高与体重立定跳远肺活量握力 台阶试验数量31122平均每台仪器测一的时间10秒3.33秒20秒20秒20秒20秒15秒7.5秒5个学生要3分30秒（210秒）21秒上午8：0012：10有4小时10分15000秒；下午13：3016：45 有3小小时15分11700秒。有学生人数为：2036人。由表格可知，台阶试验最耗时间，由于限定同一班的所有学生在同一时间段内完成

8、所有项目，所以求出台阶试验在时间段里测的最大数，就能算出在时间段里能测完的最大人数。至少需要三个上午的时间段：56个班，共有2036人，若不耽误任何时间（无需等待），理论上的检测时间为：203610204 （次）共需时间：204210+56511.977（天）4小时10分2+3小时15分。所以两个上午和一个下午的时间是不够测完所有学生的。而三个上午的时间恰好可以完成，又因为要时间段最少，所以，应该选择三个上午的方案。三个时间段的人数分配：假设：台阶实验次数为N,则N，即139.5 N 142.9，所以，台阶试验在时间段内可测的人数L为：697.5L714.5。因此，人数按700，700，636

9、分配是比较合理的。第一种模型：两个班并排进入，每班进5人，共进场10人，平均等待时间最短，为110秒(安排图在附表)。以下为证明：因为每人必要的测试时间均为275秒，所以平均等待时间等于平均逗留时间与275秒的差，即 设n=m时，10m个测试学生记为、（=1，2，3m；=1，2，3，4，5），同时进场，可设进场时间为0，则测试完全部项目后的离场时间即为逗留时间记为（；），平均等待时间记为，平均逗留时间记为；当n=m+1时，10（m+1）个测试学生中，前10m个学生记法不变，新增的10人记为、，（=1，2，3，4，5）；进场时间仍设为0，测试完全部项目后的离场时间，即逗留时间记为（；=1，2，3

10、，4，5）。由于安排测试时可使前10m人的相对顺序不变，且在安排项测试时，将新增的10人安排在最后第m+1批，不影响平均等待时间。这样，前10m人完成项测试的时间不变，而进行其他4项测试时，因有新增10人加入测试，完成时间不可能提前，故完成全部项目的逗留时间后移，即 又新增10人完成（同时完成）项测试时，前10m人已先后测试完全部项目，所以 （）故每批进场人数为10（m+1）时的平均等待时间 =-275 = 证毕。要想使等待的时间最少，学生在场的逗留时间要尽量的小，如下图：两个班一起进入台阶实验，那么学生的学号就能按序号排列，这样就尽量减少学生输学号的5秒时间。这种方案最终算得人均等待时间为1

11、10秒,如图：身重1身重2立远肺活量握力1握力2台阶实验1台阶实验2时间（s）A1B1A2B2A3B3215A4B4A5B55A3B3A1B1A2B2A6B6A4B4A2B2A3B3A7B7A5B5A3B3A4B4A8B8A1B1A4B4A5B5A9B9A2B2A5B5A1B1A10B10105B1A1B2A2B3A3B4A4B5A5210每人实际检测时间为210+15+20+20+10275（秒）A1,B1 逗留时间：215+105+25345 等待时间：345-27570A2,B2 90A3,B3 同理可得 110A4,B4 130A5,B5 150所以，平均等待时间：T1=（70+90+

12、110+130+150）5=110(秒)第二种模型：以班为单位，每批进场10人 两批作为一个整体。(安排图在附表)如图：身重（1）10s身重（2）10s身重（3）10s定跳 20s肺量 20s握力（1）15s握力（2）15s089106161819510152018192025717893035404561681850102055606571791970756168085102090951007171051661101151201251301771351401451501881551601651701991751801851902010195200205210215会有这样的结果：5秒算等65

13、*1365130-6575*1785150-6585*21105170-2595*25125190-65105*29145210-65平均105（不含5秒输入）当包含5秒时间时平均等待时间T2=(105+5)+节点数52036T1 （节点数大于0）所以，平均时间比A模型多。模型的优化与推广 1.学生在检测后面四个项目所耗时间内，体重与身高仪器完全可以减少一台，仅2台足够。如下表格：身重1身重2立远肺活量握力1握力2台阶实验1台阶实验2时间（s）A1B1A2B2A3B3215A4B4A5B55A3B3A1B1A2B2A6B6A4B4A2B2A3B3A7B7A5B5A3B3A4B4A8B8A1B1

14、A4B4A5B5A9B9A2B2A5B5A1B1A10B10105B1A1B2A2B3A3B4A4B5A52102、 若检测仪器加上一台台阶试验测量仪器，等待时间如何？身重（1）10s身重（2）10s身重（3）10s定跳 20s肺量 20s握力（1）15s握力（2）15s08910616181951015201819202571789303540456168185010205560657179197075616808510209095100717105166110115120125130177135140145150188155160165170199175180185190201019520

15、0205210215由上图可知：增加一台台阶测量仪器，能使台阶测试的时间减少，但测立定跳远和测肺活量的的仪器使用紧张，时间只能提前10秒/批。3.由上表格中，可以直观地看到主要是测定点跳远仪器、测肺活量仪器和台阶测量仪器使用紧张，要想加快检测的速度，就应该合理各增加一台这三种仪器。 模型的优缺点评价优点：影响每一个安排方案的合理性因素有很多，若一一讨论显然不切实际。为此，本文提取两个主要测试的关键环节：台阶测试时间和立定跳远与肺活量（均为20秒/次）测试时间。对任意方案都需通过权衡这两个指标，用以评价每一方案的节省时间段数和学生等待时间的多少。缺点：由于以节省时间段数和学生等待时间为优化目标，

16、因此测试安排过细，缺少灵活性，一人出错都会造成影响。 附表第一种方案：两个班同时进入台阶试验（两列纵队，每班一批进按序5人）第一天上午：台阶测试时间班级班级人数人数共用时间1,4941-395+54251,4941-395+52051,4941-395+52051,4941-395+52051,4941-395+52051,4941-395+52051,4941-395+52051,4941-394+621031,3441-395+521031,3441-395+520531,3441-395+520531,3441-395+520531,3441-395+520531,3441-395+52

17、0531,3441-395+520531,3441-394+621048,4041-395+521048,4041-395+520548,4041-395+520548,4041-395+520548,4041-395+520548,4041-395+520548,4041-395+520548,4041-394+621044，4550-505+521044，4550-505+520544，4550-505+520544，4550-505+520544，4550-505+520544，4550-505+520544，4550-505+520544，4550-505+520544，4550-50

18、5+520544，4550-505+520513，1445-455+521013，1445-455+520513，1445-455+520513，1445-455+520513，1445-455+520513，1445-455+520513，1445-455+520513，1445-455+520515，5045-455+521015，5045-455+520515，5045-455+520515，5045-455+520515，5045-455+520515，5045-455+520515，5045-455+520515，5045-455+520513，145+521015，505+5210

19、11，3037-335+521011，3020511，3020511，3020511，3020511，3020511，303+721032，385+521032，3820532，3820532，3820532，3820532，3820532，383+721042405+5210422054220542205合计146054.056小时第二天上午： （两列纵队，每班一批进按序5人）台阶测试时间班级班级人数人数共用时间17,2720-205+542517,2720517,2720517,2720535,3620-205+521035,3620535,3620535,362057,2142-385+

20、52107,212057,212057,212057,212057,212057,212057,217+321049,2242-385+521049,2220549,2220549,2220549,2220549,2220549,2220549,227+321046,3942-385+521046,3920546,3920546,3920546,3920546,3920546,3920546,397+321041,1042-385+521041,1020541,1020541,1020541,1020541,1020541,1020541,107+321018,2530-305+521018,

21、2520518,2520518,2520518,2520518,2520529-2332-285+521029-2320529-2320529-2320529-2320529-233+721047435+521047205472054720547-553+7210551021028245+5210285+520528,264+621026365+5210262052620512255+52101220512,205+5210205+52102020520205合计146754.076小时第三天上午： （两列纵队，每班一批进按序5人）台阶测试时间班级班级人数人数使用时间8:00'00&q

22、uot;820108:03'35"820107'05"8:07'05"920108:10'40"920107'05"8:14'10"3.4 44 445 58:17'45"3.4 44 445 57'05"8:21'15"3.4 44 445 58:24'45"3.4 44 445 57'00"8:28'15"3.4 44 445 58:31'45"3.4 44

23、445 57'00"8:35'15"3.4 44 445 58:38'45"3.4 44 445 57'00"8:42'15"3.4 44 444 48:45'45"637 44 445 57'05"8:49'20"637 44 445 58:52"50"637 44 445 57'00"8:56'20"637 44 445 58:59'50"637 44 445 57'

24、00"9:03'20"637 44 445 59:06'50"637 44 445 57'00"9:10'20"637 44 445 59:13'50"637 44 444 47'00"9:17'20"216 44 445 59:20'55"216 44 445 57'05"9:24'25"216 44 445 59:27'55"216 44 445 57'00"9:31

25、'25"216 44 445 59:34'55"216 44 445 57'00"9:38'25"216 44 445 59:41'55"216 44 445 57'00"9:45'25"216 44 444 59:48'55"4353 37 395 57'05"9:52'30435337 395 59:56'00"435337 395 57'00"9:59'30"4353

26、37 395 510:03'00"435337 395 57'00"10:06'30"435337 395 510:10'00"435337 395 5700“10:13'30"43.53.5.2437 39 26 282 4 1 310:17'10"5.2426 285 5710”10:20'40"5.2426 285 510:24'10"5.2426 285 5700“10:27'40"5.2426 285 510:31'

27、10"5.2426 285 5700”10:34'40"52191010:38'15"52.3319 519 +1710”10:41'50"33511010:45'25"335110700“10:48'55"33511010:52'25"335110700”10:55'55"33511010:59'25"561710705”11:03'00"565117 427+211:06'35"514210705“11

28、:10'05"51421011:13'35"514210700”11:17'05"51421011:20'40"54755.5705“11:24'15"54755.511:27'45"54755.5700”11:31'15"54755.511:34'45"54755700“11:38'15"第二种方案：一个班接着一个班进入台阶试验（每次进10人，两批为一组）第一天上午：台阶测试时间班级班级人数人数共用时间8:00:004241207&

29、#39;05''8:07:054241207'00''8:14:05139207'05''8:21:10139207'00''8:28:101,1941 39207'05''8:35:151939207'00''8:42:153141207'05''8:49:203141207'00''8:56:2031,3441 39207'05''9:03:253439207'00'&

30、#39;9:10:254841207'05''9:17:304841207'00''9:24:3048,4041 39207'05''9:31:35403920700''9:38:354450207'05''9:45:404450207'00''9:52:4044,4550 50207'05''9:59:454550207'05''10:06:504550207'00''10:13:501

31、345207'05''10:20:551345207'00''10:27:551445207'05''10:34:001445207'00''10:41:001545207'05''10:48:051545207'00''10:56:055045207'05''11:03:105045207'00''11:10:1013,14,15,5045 45 45 45207'15''11:

32、17:253033207'05''11:24:3030,1133 37207'10''11:31:401137207'05''11:38:4511,3237 33207'10''11:45:553233207'05''11:52:0032,3833 37207'10''11:59:103837207'05''12:06:15第二天上午：台阶测试时间班级班级人数检测人数用时8:0017202007'05"8:07

33、'05"27202007'05"8:14'10"35202007'05"8:21'15"36202007'05"8:28'20"47432007'05"8:35'25"47432007'05"8:42'30"47&5543 173+1707'10"8:49'40"26362007'05"8:56'45"26&28

34、36 2416+407'10"9:3'55"28242007'05"9:11'00"12252007'05"9:18'05"12&2025 355+1507'10"9:25'15"20352007'05"9:32'20"23282007'05"9:39'25"23&2928 328+1207'10"9:46'35"29322007

35、'05"9:53'40"18302007'05"10:00'45"18&2530 3010+1007'10"10:7'55"25302007'05"10:15'00"10382007'05"10:22'5"10&4138 4218+207'10"10:29'15"41422007'05"10:36'20"41422007'

36、05"10:43'25"22382007'05"10:50'30"22&4938 4218+207'10"10:57'40"49422007'05"11:4'45"49422007'05"11:11'50"7422007'05"11:18'55"7422007'05"11:26'00"7&2142 382+1807'10"

37、;11:33'10"21382007'05"11:40'15"39382007'05"11:47'20"39&4638 4218+207'10"11:54'30"46422007'05"12:1'35"46422007'05"12:8'40"第三天上午：台阶测试时间班级班级人数人数使用时间8:00'00"820108:03'35"820107'05

38、"8:07'05"920108:10'40"920107'05"8:14'10"3.4 44 445 58:17'45"3.4 44 445 57'05"8:21'15"3.4 44 445 58:24'45"3.4 44 445 57'00"8:28'15"3.4 44 445 58:31'45"3.4 44 445 57'00"8:35'15"3.4

39、 44 445 58:38'45"3.4 44 445 57'00"8:42'15"3.4 44 444 48:45'45"637 44 445 57'05"8:49'20"637 44 445 58:52"50"637 44 445 57'00"8:56'20"637 44 445 58:59'50"637 44 445 57'00"9:03'20"637 44 445 59:06'50"637 44 445 57'00"9:10'20"637 44 445 59:13'5