二维海底电缆铺设的微分方程模型与数值算法_图文

1、 数 学 物 理 学 报 （ ） 州 蝌 一 ） 一 阻 （ ¨ 一 州 、 ） （ ） （ ） 一 （ ） （ 一 ） 一 （ 一 一 ） （ ） ， （ ） （ 一 ） （ ） 。 一（ 件 ） ， 其 中， （ ） （ ） （ ） 瓦 丽 （ ） ， （ ， 揣 ， ¨， ， ， ¨， 接下来，我们在初始节点 （ ， ） 处，将 （ ） 一 （ ） 式离散化如下 ， ， ， ， （ ） ， ， ， 一， 。 （ ） 设 表 示 已经沉 到海底 的 节点 总数 ，则在 边界 节点处 将 （ ） 一 （ ） 式离散 化如 下 ， 。 ， 一 （ ） 卅一 ） ，

2、 札一 ， ， ， 一 （ ） 注 对 于任 意 时刻 ， 怎样 获取 的值 ？首先 ，当 时，令 厂 ， 并 设 定任 意 小 的常量 假 设在 时刻 有 则 在 卅 时刻 ，我 们 比较 （ ， ， ， 几 ） 与 的大小，并令 ， ， ， ， 佗 ） 在 时刻 的值 为 其 中 ，对任 意集 合 ， 表 示 中元 素的个 数 由（ ）（ ） 式可知 ，在 时 时刻 ，当 时 ， 。 ， ， 。 ， 如 是 未知 的 （ 因 为 时刻 ，第 几个节 点还未 沉放 入海底 ） 因此 ，我们需 要给这 几个 变量 取定 一个 合 适 的近 似值 ，根 据几 何关 系有 一 （ 一 一 ） ，

3、一 （ ） 赫 一 （ 一 ¨ 一） （ ） 这 种近 似处理 以后 ， ， 就 可 以参 与计 算 了 由（ ） 和 （ ） 式 可知 ， 在每个 时刻 ， 方 程组 （ ） 式 的弧长参 数取值 范 围为 （ ） （ ） ， 其中口 （ ）随着沉入 海底 的部 分越来 越 多而逐 渐增 大 ， （ ） 随着探 测船 行走过 程 中 释放缆 绳也 逐渐增 大 ，这就 涉及 到一个 自由边界 计算 的 问题 自由边界 是个 很复杂 的 问题 在这 篇论 文 中，上边界 （ ）由 （ ） 式 定义 ，下边界 （ ） 是 未知 的怎样取 （ ） 的值呢 ？本文采 用如下方 法 ： 为 了

4、让 已经坠入 海底 的节 点退 出计 算 ， 我们在 （ ） 一 （ ） 式 中将 州 ， ¨， （ ） 作 为边 界值 ，并 令 一 ， ¨ ， （ ） 同时，为 了让刚 刚从船 上放 入海水 中的节点 参 与计算 ，我 们 每 一个 时刻在缆 绳顶 端增 加一个 节 点，即增加 ， ， 三个变 量 除此 以外 ， 我 们还用 前面 注释 的方 法来 取 的值 ，故有 ， （ ） 州 韩 欢等 ：二 维海 底 电缆铺设 的微 分方 程模 型 与数值算 法 差 分 格式 的离散 化 已经 完成 ， 面我 们 采用 迭代 算 法 来求 解 非 线性 方 程组 （ ）（ ） 式

5、 ，具体 过程 如下 在 ¨ 时刻 ，取如 下初 始迭 代值 ： 礼 。 ， 。 ， ， ， ， （ ） 迭 代计 算 ¨ 州 一 （ ） 卧 （ 警 ） 一 （ ） （ ） 礼 几 （ 一 一 ） ， ， （ ， ， ） 的值已经在前面的迭代 中算得 ， 那么 （ ） 式就是关 于 （ ， ， ） 的线性方 程 组 求解 这样 一个 代数方 程组 ，可 以得 到 （ ， ， 礼 ） 的值 （ ）迭 代 计算 ¨ 、 （ ） 一 （ ¨ 一 （ ） ） （ ） 卅 的 值已由（ ） 式获 得， 则（ ） 式 就成为 关 于 （ 厂 ， ， ） 的 线 性

6、 方 程组 这 样就 可 以计算 出 ¨（ ， ， ） （ ）迭 代计 算 （ 翁¨ 一 一 （ ¨ 一 阻 （ 一 ） （ ） （ ） 。 （ ） （ ） （ ¨一 ） 一 （ 一 一 ） ¨ ， 已 由（ ） 一 （ ） 式获 得， 则（ ） 式 是关于 （ ， ， 凡 ） ， 的线性 方程 组 因此 ，可 以计算 出 （ ¨ ， ， ， 现在 ¨， ¨ ， （ 的值 已获得 重复 （ ）（ ） 式依 此取 ： ， ， ， ， ， 经 过 有 限次迭 代 ，得到 时刻 的数 值解 如下 十 ， ） ， ， ，

7、， 一， 由定理 和 定理 ， 我 们知道 ，在解 的存在 性条 件 下， （ ） 和 （ ） 式是 （ ） 式 加 上某些特 定边界 条件 的解 现在 为 了检 验我 们提 出的算 法 的有效性 ，我 们用此 格式来 数值 模 拟静 态方 程 （ ）的解 ，并 与其解 析解 （ ） ， （ ）进行对 比，通 过下 面 的两组数 值 实验 可 以看 出格式 （ ）（ ） 有很 高 的精 度 表 模拟参数 数 学 物 理 学 报 试 验 考 虑方 程组 （ ） 在边界 条件 （ ） 下 的解 各 物理参 数取值 如表 所 示 模拟 结果 见 图 （ ） （ 试验 ） （ ） （ 试验 ） 图 方

8、程组 （ ） 在边界条件 （ ） 下的数值解与解析解 的对 比 试验 考虑 方程组 （ ） 在边 界条件 （ ） 下 的解 各 物理参 数取 值如表 所示 模 拟 结果 见 图 （ ） （ 试验 ） （ ） ： （ 试验 ） 图 方程组 （ ） 在边界条件 （ ） 下的数值解与解析解 的对 比 图 二维 电缆短时间实际应用 韩 欢等 ：二 维海 底 电缆铺 设 的微分 方程 模型 与数值 算法 加 出 二维 电缆 短 时 间实 际应 用模拟 由图 可 以看 出 ，我 们提 的数值 算法 有很 高 的精 度下面 我 们利用该 数值 算法 来 动态模 拟二 维 电缆铺设 过 程 中电缆 线的运 动轨迹 （ 定解 问题 （ ）（ ） ） 各参 数取 值如表 所 示 模拟 结果 如 图 其 中，彩色 线表示 电缆 线 参 考 文 献 韩欢，蔡穗华，年宏轩，等 理想状态下 电缆在海水中运 动轨迹 的动态模拟研究工程地球物理学报， ， ： ， ，： ， ， ，： 王慧明流体力学基础 北京清华