2021年山西省高考理科数学试题

1、2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第I卷选择题：共12小题，每题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的一项。1.集合 A=x| x2 2x 3A.-2,-10 , B=x | 2w x v2 =，贝U A B =B .-1,2) C.-1,1 D.1,2 )2.(1(1i)3i)2A. 1 i B. 1 i C. 1 i D. 1 i3.设函数f(x) , g(x)的定义域都为 R,且f (x)时奇函数，g(x)是偶函数，那么以下结论正确的选项是A. f(x) g(x)是偶函数B .| f (x) | g(x)是奇函数C . f (x) | g(

2、x) |是奇函数D .| f (x) g(x) |是奇函数4.F是双曲线C : x22my 3m(m 0)的一个焦点，那么点F到C的一条渐近线的距离为A.3 B .3 C . 3m D . 3m5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，那么周六、周日都有同学参加公益活动的概率A. 1B. 3C. 5D. 78 8 8 86.如图，圆O的半径为1 ,A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线 OA，终边为射线OP , 过点P作直线OA的垂线，垂足为M ,将点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x)，那么y = f(x) 在0,上的图像大致为7.执行以下列图的程序框图，假设输入

3、的a,b,k分别为1,2,3，那么输出的M =A.203b.16c.7d.1558.设 (0,)，2(0, 3)，且 tan1 sincos，那么A. 3-B . 2C . 3-D. 2222x y 19.不等式组y的解集记为D .有下面四个命题:x 2y 4P1 :(x, y) D,x 2y2， P2:(x, y) D, x 2y 2,P3:(x,y) D,x 2y 3， P4:(x, y) D,x 2y1.其中真命题是A. P2, F3 B. Pl , P4C.P1 , P2D.P1 , P310.抛物线C : y2 8x的焦点为F，准线为I , P是I上一点，Q是直线PF与C的一个焦点,

4、假设 FP 4FQ，那么 |QF|=75A. B . C.3 D .22211.函数 f(x) = ax3 3x21 ,假设fx存在唯一的零点x0,且x0 > 0，那么a的取值围为A . (2, +8)B . (- g, -2 )C . (1, +8)D . (- 8, -1)1,粗实线画出的是某多面体的三视图，那么该多面体的个条棱中,12.如图，网格纸上小正方形的边长为最长的棱的长度为A. 6 2 B. 4 2 C .6 D .4本卷包括必考题和选考题两个局部。第13题-第21题为必考题，每个考生都必须作答。 第22题-第24题为选考题，考生根据要求作答。二填空题：本大题共四小题，每题

5、5分。13. x yx y8的展开式中x2y2的系数为.用数字填写答案14. 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A, B, C三个城市时,甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市;乙说：我没去过 C城市；丙说：我们三人去过同一个城市 .由此可判断乙去过的城市为15. A, B，C是圆0上的三点，假设 AO-(AB AC)，那么AB与AC的夹角为.216.a,b,c分别为 ABC的三个角 代B,C的对边，a =2,且(2 b)(si nA si n B) (c b)si nC，那么ABC面积的最大值为.三.解答题：解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤。17. (本小题总分值12分)数列 an的前

6、n项和为Sn， a1=l， an 0， anan 15 1，其中 为常数.(I )证明：an 2 an ；(n)是否存在，使得 an为等差数列？并说明理由.18. (本小题总分值12分)从某企业的某种产品中抽取 500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：330OOJOD90.0080.002165 17513513520521522>2 彷质量指标值詛距42卫OO(I )求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2 (同一组数据用该区间的中点值作代表)；(n)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值 为样本平均数x ,2近似为样本方差s2.(

7、i)利用该正态分布，求 P(187.8 Z 212.2)；Z服从正态分布N( , 2)，其中 近似(ii )某用户从该企业购置了100件这种产品，记 X表示这100件产品中质量指标值为于区间(187.8,212.2 )的产品件数，利用(i )的结果，求EX .附：150 12.2.假设 Z N( , 2)，那么 P(Z)=0.6826 , P( 2 Z2 )=0.9544.19. (本小题总分值12分)如图三棱锥 ABCABQ1中，侧面BB1C1C为菱形，AB(I )证明：AC AB1 ；(n)假设 AC AB1 , CBB160o , AB=Bc求二面角A A1B1 C1的余弦值.20. (

8、本小题总分值12分)点A (0, -2 ),椭圆E : x2 爲 1(a b 0)的离心率为3 , F是椭圆的焦点，直线 AF的斜率为乙3 , O为 a b23坐标原点.(I )求E的方程；(n)设过点 A的直线I与E相交于P, Q两点，当 OPQ的面积最大时，求I的方程.21.(本小题总分值12分)设函数b x 1f (x0 ae lnx，曲线y f (x)在点(1, f (1)处的切线为xy e(x 1) 2. ( I )求 a, b ;(n)证明：f(x) 1.请考生从第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，那么按 所做的第一个题目计分，作答

9、时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。22. (本小题总分值10分)选修4 1:几何证明选讲如图，四边形 ABCD是O O的接四边形，AB的延长线与 DC的延长线 交于点E,且CB=CE.(I )证明：/ D=Z E;(n)设 AD不是O O的直径，AD的中点为 M 且MB=MC证明： ADE为等边三角形23. (本小题总分值10分)选修44:坐标系与参数方程2 2曲线C : 1才X直线1 :t (t为参数)2t(I )写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程;(n)过曲线C上任一点P作与l夹角为30o的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值24. (本小题总分值10分)选修45

10、 :不等式选讲1 1假设 a 0,b0，且Ob .a b(i )求a3 b3的最小值；(n)是否存在a,b，使得2a 3b 6 ?并说明理由2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题答案B卷一选择题5.D6.C11.C12.B1. A2.D3.C4.A7 .D8. C9. B10.B二填空题13.-2014.A15.90度 16.-三解答题17.解：I 由题设，i"M=bSn-1, m /bSn-1两式相减的 由于袒角少所以一 ，乜厂刁丄丄由题设，由I 知解得b=4故乙汕一堆，由此可得-：.是首项为1，公差为4的等差数列，- =心 >' 是首项为3，公差为4的等

11、差数列，七；：=4n-1 所以因此存在b=4，使得数列为等差数列18解I 收取产品的质量指标值的样本平均数a和样本方差b分别是a=200b=150'J由上诉可此，ZN200, 165,从而P 187.8<Z<212.2=P200-12.2<Z200+12.2=0.6826一件产品的质量指标值位于区间187.8,212.2 的概率为0.6826依题意可知XB100,0.6826,所以EX=100灼覚一匕山九19解：I 连结BC1，交B1C于点O,连结AO因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C BC1，且O为BQ 与BC1的中点。又AB BQ，所以BQ 平面ABO由于AO

12、 平面ABQ故BQ AO又BQ CO，故AC=AB1，6分II 因为AC AB1，且O为BQ的中点，所以 AO=CO又因为AB=BC所以 BOA BOC。故OA OB，从而OA OB OB1两两相互垂直。以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，OB为单位长，建立如下列图的空间指教坐标系 O-xyz. 因为 CBBi 60，所以 CBBi 为等边三角角，又 AB=BC 那么 A(0,0, 3) ,( 1,0,0), Bi(0,0)，33C(0,彳),雨亦(1,0,刊託BC (1,0,(x, y,z)式平面A1AB的法向量，那么n AB10. 即n A|B1033门y z 033.3门x z 03

13、所以，取 n=( 1，,3，,3)设m是平面A1B1C1的法向量，那么AB1 0m B1C1 0同理可取m= (1, - ,3 ,、3 )m n 17所以，所求角A-A2B2-C1的余弦值为(20)解:(1 )设F(C,0)，由条件知,竽，得c -.3又a歩所以a常c212故E的方程为y 14故设 l:y=kx-2,P(x 1,x 2)2将y=kx-2代入 +=1得42 2(1+4k) x-16kx+12=0当 16(4 k2 3) >0，即 k2 > 3 时，4从而 |PQ|= k2 1 | x1 x21= 4 厂1*，4 38k 24k2 3X1.2 =4k212'4k

14、21又点0到直线PQ的距离d=一2。所以 OPQ的面积Jk2 1s.opq 1d.|PQ| 4k 34 k21设 4k2 3 t，贝U t > 0, s.9分4tt2 44n t因为t+ 4 >4.当且仅当t=2,即k= 时等号成立，且满足t2所以， OPQ勺面积最大时，I的方程为.12分opq> 0.(21)解:(I )函数f (x)的定义域为0,'(x) =aex|nx -eb2e x由题意可得f (1) =2, f '( 1)故 a=1, b=2 5分(II )由=e设函数g所以当x2 x xe (x) =xInx，贝U g' (x)=1+lnx

15、1(0,-)时，g' (x) v0;当 xex(I )知，f (x) =e In X1，从而f (x) > 1等价于xl nx> xe故 g (x)(0,值为g(丄)e设函数(,e)时，g' (x) >0.1 )单调递减，在(1 ,ee)单调递增，从而g(x)在(0,)的最小2-，那么 h'( x) =ex (1,)单调递减，从而h (x)在(0,h (x) =xex (0,1)时，x(1X).eh'( x)> 0；当故h (1)在(0,1 )单调递增，在(1,_ 1e综上，当 x>0 时，g (x) > h (x)，即 f

16、(X)> 1所以当)时，h'( x)v 0.)的最大值为h( 1).12分(22)解：(I )由题设知A,B,C,D四点共圆，所以 D= CBE由得 CBE= E,故 D= E5分(II )设BC的中点为N,连结MN那么由MB=M知MNL BC,故0在直线MN上。 又AD不是 0的直径，M为AD的中点，故 OMLAD,即MNLAD所以 AD/BC,故 A= CBE又 CBE= E,故 A=巳由(I)知， D= E,所以 ADE为等边三角形。(23)解：(I )曲线C的参数方程为x 2cos ,(为参数)y 3sin ,直线I的普通方程为2x+y-6=0(II )曲线C上任意一点P ( 2cos , 3sin )到I的距离为 V5,d 4cos 3s