高等数学-第九章 三重积分及应用ppt课件

1、 第九章第九章 重积分重积分 知识总结知识总结二重积分的计算二重积分的计算三重积分的计算三重积分的计算重积分的运用重积分的运用二二. . 三重积分的计算三重积分的计算1 1、投影法、投影法 (“ (“先单后重先单后重 “ “先一后二先一后二) )2 2、截面法、截面法 (“ (“先重后单先重后单 “ “先二后一先二后一) )3 3、柱坐标代换、柱坐标代换4 4、球坐标代换、球坐标代换5 5、利用三重积分的对称性、利用三重积分的对称性zxyD),(2yxzz ),(1yxzz yxdd21( , )( , )d d( , , )dxyzx yDzx yx yf x y zzvzyxfd),(关键

2、：正确的判别上、下曲面关键：正确的判别上、下曲面; 找对投影区域找对投影区域.12( , , )| ( , )( , ), ( , )xyx y z z x yzz x yx yD 1、 投影法投影法 (“先单后重先单后重 “先一后二先一后二)方法一方法一: 根据图形根据图形:zxyD),(2yxzz ),(1yxzz yxdd方法二方法二:根据方程根据方程:投影区域可由含投影区域可由含z的某曲面与其它曲面交线的投的某曲面与其它曲面交线的投影曲线所围。影曲线所围。即：可选定一个含即：可选定一个含z的方程然后再和其它一切方程的方程然后再和其它一切方程包含柱面方程和另一个含包含柱面方程和另一个含z

3、的方程相交。的方程相交。利用平行于利用平行于z轴的直线穿曲面，穿出轴的直线穿曲面，穿出和穿入点就对应上、下曲面，注：中和穿入点就对应上、下曲面，注：中间所夹立体的边境应为柱面。间所夹立体的边境应为柱面。投影点的全体即为投影区域。投影点的全体即为投影区域。已给边境曲面方程中含已给边境曲面方程中含z的假设只的假设只需两个，那么其必分别为上、下曲面需两个，那么其必分别为上、下曲面,其它不含其它不含z的方程必对应柱面。的方程必对应柱面。例例. 计算积分计算积分dddzxyz其中其中由曲面由曲面222,xyyxz0,1zy法一法一: 积分域为积分域为:原式原式220dxyz z及平面及平面220yxz1

4、2 yx11x12dxy11dx所围所围 .xyz220dxyxyDdxdyz z例例. 计算积分计算积分dddzxyz其中其中由曲面由曲面222,xyyxz0,1zy法二法二:xyD原式原式220dxyz z及平面及平面220yxz12 yx11x12dxy11dx所围所围 .220dxyxyDdxdyz z找上下半曲面：找投影区域：找投影区域：220zzxy20zyx01zyZDbayxzyxfzdd),(dvzyxfd),(abxyzzzD适用范围：适用范围：积分区域介于两个平行于坐标面的平面之间积分区域介于两个平行于坐标面的平面之间;在平行于坐标面的截面上二重积分易算在平行于坐标面的截

5、面上二重积分易算典型标题：典型标题：被积函数只为某一变量的函数被积函数只为某一变量的函数;且截面面积易求且截面面积易求( , , )|,( , )zx y zazb x yD 2、 截面法截面法 (“先重后单先重后单 “先二后一先二后一)zD1zD2例例(截面法截面法): 计算积分计算积分2222RzyxzRzyx2222及,ddd2zyxz其中其中是两个球是两个球 ( R 0 )的公共部分的公共部分.提示提示: 被积函数缺被积函数缺 x , y 原式原式 =zDyx1ddzzzRzRd)2(2022zzRd202zDyx2ddzzRRd22zzRzRRd)(2222548059RRzyxo2

6、Rzyxzyxfddd),(柱面坐标本质：投影法中的二重积分利用了极柱面坐标本质：投影法中的二重积分利用了极坐标计算坐标计算22()f xy积分区域为柱体区域或投影域适用极坐标表示;被积函数为型3、柱坐标代换、柱坐标代换1212 ( , , )|,( )( ), ( , )( , )zzzz 若2211( )(, )( )(, )(cos ,sin ,)dzzddfzz 柱面坐标适用范围：柱面坐标适用范围：o oxyz例例. 计算三重积分计算三重积分解解: 在柱面坐标系下在柱面坐标系下h:hz42dhdh2022)4(124)41ln()41(4hhhhz h2020h202d120d,1dd

7、d22yxzyxzyx422)0( hhz所围成 .与平面其中由抛物面24原式 =,R),(3zyxM设),(z其柱坐标为就称为点M 的球坐标.,ZOMMoxyzzr( , , )r 则0200rcossinrx sinsinry cosrz , rOM 令zyxzyxfddd),( sincos , sinsin , cos)f rrrdddsin2rr222: ()f xyz适用范围积分区域为球形区域、被积函数为型4、球坐标代换、球坐标代换zyxzyxfddd),(222: ()f xyz适用范围 积分区域为球形区域、被积函数为型1212 ( , , )|,( )( ), ( , )( ,

8、 )rrrr 若2211( )( , )2( )( , )( sincos , sinsin , cos)sindrrddf rrrrr 确定确定r, , 的变化范围的方法的变化范围的方法:：根据投影区域：从原点出发穿过立体的射线于z轴正向的夹角r：从原点出发穿过立体的射线于边界曲面的交例例.222(0)xyzaz a0cosra,2002 ,yzxarozyRx例例.2222(0)xyzRR:0,02 ,0rR:22zxy例：锥面2222Rzyx:所围立体所围立体.40Rr 020与球面与球面xyzo4Rr 例例. .由球面由球面x2+y2+z2x2+y2+z2 2Rz=02Rz=0和圆锥面

9、和圆锥面cot2cot2(x2+y2)=z2(x2+y2)=z2围成的立体。围成的立体。0yzxx2+y2+z22Rz=0: r=2Rcos cot2(x2+y2)=z2: =.0r2Rcos02，:0例例. .0)0(,222222围成平面及zbayxazyxbz解解: : 两球面方程分别为:r=b和r=a,(a 0 )的公共部分的公共部分.提示提示:原式原式 =548059RRzyxo2R2 cos3rr2 cosrRrR或或 =22223000cossinRddrrdr22cos2222003cossinRddrrdr22222000cossinRddrrdr2222202cos3cos

10、sinRRddrrdr例例(球坐标法球坐标法)2222xyz22xyz及的公共部分的公共部分.解解: 对称性对称性2zyxo122222000sinddrrdr2coscscr222sincosrrr或或 =22coscsc222004sinddrrdr22224000sinddrrdr2222220coscsc4sinddrrdr(222)d d d0,xyyzxzx y z例例(球坐标法球坐标法): 计算积分计算积分2() d d d ,xyzx y z222dxyzV例例.,)0(, 0)0(,)(存在设ffCuf，求)(1lim40tFtt)(tF解解: 在球坐标系下在球坐标系下trr

11、rftF02020d)(dsind)(trrrf02d)(440)(limttFt利用洛必达法那么与导数定义,得3204)(4limtttftttft)(lim0)0(f0)0(Fzyxzyxftzyxddd)(2222222其中 0)0(f 5、 利用三重积分的对称性利用三重积分的对称性( , , )d0( , , )z2( , , )d( , , )f x y zvf x y zf x y zvf x y z上关于 为奇函数关于z为偶函数( , , )(),f x y zCxoy设且域 关于面对称 则当区域关于当区域关于yoz 轴对称轴对称, 函数关于函数关于x 有奇偶性时有奇偶性时, 当

12、区域关于当区域关于xoz 轴对称轴对称, 函数关于函数关于y 有奇偶性时有奇偶性时,仍有类似结果仍有类似结果.例例. 计算计算,ddd)sin5(2222zyxyxxyxI其中其中.4, 1),(2122围成由zzyxz解解:zyxxIddd2利用对称性利用对称性zyxyxddd)(2122yxyxzzDdd)(d212241zrrz2032041ddd21214zxoy1zDzyxyxyxdddsin52220重积分计算的根本方法重积分计算的根本方法1. 选择适宜的坐标系选择适宜的坐标系使积分域多为坐标面使积分域多为坐标面(线线)围成围成;被积函数用此坐标表示简约或变量分别被积函数用此坐标表

13、示简约或变量分别.2. 选择易计算的积分序选择易计算的积分序积分域分块要少积分域分块要少, 累次积分易算为妙累次积分易算为妙 .根据图形根据图形根据方程根据方程3. 掌握确定积分限的方法掌握确定积分限的方法 累次积分法累次积分法小结：小结：三、重积分的运用三、重积分的运用1. 几何方面几何方面面积面积 ( 平面域或曲面域平面域或曲面域 ) , 体积体积 , 形心形心质量质量, 转动惯量转动惯量, 质心质心, 引力引力 证明某些结论等证明某些结论等 2. 物理方面物理方面3. 其它方面其它方面注：一定要用对称性结论注：一定要用对称性结论一、几何方面一、几何方面 曲顶柱体的顶为延续曲面),(yxf

14、z 那么其体积为DyxyxfVdd),(,),(Dyx 占有空间有界域 的立体的体积为zyxVddd例例. 求球体求球体22224azyx被圆柱面xayx222)0( a所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 解解: 设设由对称性可知:02 cos , 02Da2244ddDVa 20d42 cos2204daa d)sin1 (3322033a)322(3323aoxyza222240: 4axyDVdvdxdydz注的面积公式：221( , )( , ) dxyxyDSfx yfx y曲面:( , ),zf x y( , ),xyx yD的面积公式：221( , )( , ) dyzyzDS

15、gy zgx y曲面:( , ),xg y z( , ),yzy zD的面积公式：221( , )( , ) dxzxzDShy zhx y曲面:( , ),yh x z( , ),xzx zD曲面的面积曲面的面积注：假设图不好画那么可根据方程：注：假设图不好画那么可根据方程：1先利用对称性：一切方程中假设某个变量都是平先利用对称性：一切方程中假设某个变量都是平方方式，那么图形一定关于相应坐标面对称，利用对方方式，那么图形一定关于相应坐标面对称，利用对称性后只需思索正半部分称性后只需思索正半部分2求投影区域应利用所求曲面和其它相交求投影区域应利用所求曲面和其它相交含于球面2222xyza例例.

16、 求圆柱面求圆柱面22xyax)0( a部分的面积. oxyza22: xyax分析：14SS21: yaxx 找投影区域：找投影区域：220 xyaxz222222xyaxxyza220 xyaxx例例. 计算双曲抛物面计算双曲抛物面yxz 被柱面222Ryx所截解解: 曲面在曲面在 xoy 面上投影为面上投影为222:,xyDxyR那么221d dxyxyDAzzx y221d dxyDxyx y2200d1dR )1)1( 32232R出的面积 A .二、物体的质心二、物体的质心设空间有n个质点, ),(kkkzyx其质量分别, ),2, 1(nkmk由力学知, 该质点系的质心坐标,11

17、nkknkkkmmxx,11nkknkkkmmyynkknkkkmmzz11分别位于为为假设物体为占有xoy 面上区域 D 的平面薄片, ),(yx为( , )d d1( , )d d( , )d dDDDxx yx yxxx yx ymx yx y( , )d d1( , )d d( , )d dDDDyx yx yyyx yx ymx yx y,常数时d d,Dx x yxSd dDy x yyS(S为 D 的面积)得D 的形心坐标:可导出那么它的质心坐标为:其面密度 采用 “分割, 以常代变, 求和, 取极限( , , )d dd1( , , )d dd( , , )d ddxx y z

18、xyzxxx y zxyzmx y zxyz推行: 设物体占有空间域 ,( , , ),x y z有延续密度函数那么其质心公式: ( , , )d dd1( , , )d dd( , , )d ddyx y zxyzyyx y zxyzmx y zxyz( , , )d dd1( , , )d dd( , , )d ddzx y zxyzzzx y zxyzmx y zxyz( , , ),x y z当常数时那么得形心坐标：,dddVzyxxx,dddVzyxyyVzyxzzddd的体积为zyxVddd4例例. 求位于两圆求位于两圆sin2rsin4r和的质心. 2D解解: 利用对称性可知利用

19、对称性可知0 x而DyxyAydd121sind d3D 4sin22sinddsin956042956dsin295620437之间均匀薄片0dsin3143212oyxCVzyxzzddd例例. 一个炼钢炉为旋转体形一个炼钢炉为旋转体形, 剖面壁线剖面壁线的方程为的方程为, 30,)3(922zzzx内储有高为内储有高为 h 的均质钢液的均质钢液,解解: 利用对称性可知质心在利用对称性可知质心在 z 轴上，轴上，,0 yx采用柱坐标采用柱坐标, 那么炉壁方程那么炉壁方程为为,)3(922zzrzyxVdddhzzz02d)3(9zDhyxzddd0因此因此故故自重自重, 求它的质心求它的质

20、心.oxzh假设炉假设炉不计炉体的不计炉体的其坐标为其坐标为hzzz022d)3(9zDhyxzzddd0zyxdzdd)51233(923hhh225409043060hhhhhzoxzh)41229(923hhhV三、物体的转动惯量三、物体的转动惯量设物体占有空间区域 , 有延续分布的密度函数. ),(zyx该物体位于(x , y , z) 处的微元 vzyxyxd),()(22因此物体 对 z 轴 的转动惯量:zyxzyxyxIzddd),()(22zIdxyoz对 z 轴的转动惯量为 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故 延续体的转动惯量可用积分计算. 类似可得:zyxzyxIxddd),( zyxzyxIyddd),( zyxzyxIoddd),( )(22zy )(22zx )(222zyx对 x 轴的转动惯量对 y 轴的转动惯量对原点的转动惯量假设物体是平面薄片,面密度为Dyxyx),(),(DxyxyxIdd),( DoyxyxIdd),( 那么转动惯量的表达式是二重积分.xDyo2y2x)(22yx DyyxyxIdd),( 2300si