初中数学竞赛专题复习第二篇平面几何第18章整数几何试题新人教版

1、初中数学竞赛专题复习第二篇平面几何第18章整数几何试题新人教版第18章整数几何18.1.1 已知 ABC的两条高长分别是 5、15,第三条高的长数，求这条高之长的所有可 能值.解析由面积知，三条高的倒数可组成三角形三边，这是它们的全部条件.设第三条高为h ,则111h 15 5,111.5 15 h解得15 h竺，h可取4、5、6、7这四个值. 4518.1.2 已知 ABC的三边长分别为 AB n 3x , BC n 2x , CA n x ,且BC边上的 高AD的长为n,其中n为正整数，且0 x<1 ,问：满足上述条件的三角形有几个？解析 注意AB为 ABC之最长边，故 B 90,设

2、BD y , CD z,则y 0 ,而z可 正可负.18 / 15由 y z n 2x,及 y2 z2222nn 3x n x 2n 4x 2x,得 y z 4x , y 3x ,22n22由勾股定理，知-3x n n 3x ,展开得n 12x,由0 x<1及n为正整数，知2n 1, 2,，12,这样的三角形有 12个.18.1.3 已知一个直角三角形的三条边均为正整数，其中一条直角边不超过20,其外接圆半径与内切圆半径之比为 5：2,求此三角形周长的最大值.解析设该直角三角形直角边长为a、b ,斜边为c ,则外接圆半径 R -,内切圆半径2r a b c ,不妨设 a <20.2

3、由条件知 一c 5, 5a 5b 7c,平方，得 25 a2 b2 2ab 49 a2 b2 ,即a b c 212 a2 b2 25ab 0,3a 4b 4a 3b 0 ,于是a 3k, b 4k, c 5k ,或a 4k, b 3k , c 5k ,周长为12k , k为正整数.k的最大值为6,此时各边为18、24、30,周长最大值为72.18.1.4ABC为不等边三角形，A 60面积.BC 7 ,其他两边长均为整数，求 4ABC的解析xy 49.由条件x y ,不妨设 分别代入，发现当x丁SA ABCAC y,则由余弦定理，有x y ,则AB为4ABC之最小边，x只能取值 1、2、3、4

4、、5、6, 3或5时，y 8,其余情形均无整数解.1一一=-xysin606强 或 1043.218.1.5 一点P与半径为15的圆的圆心距离是 9,求经过P且长为整数的弦的条数.解析PB如图，e O半径为1524 ,则 SP TP PA PBOP144,9 ,过P的弦ST长为整数，APB为直径，AP 6 , 因此STSP TP > 2 JSP TP 24 .又ST < AB 30 ,故这样的弦共有 3024 1 22 12条，其中与 AB垂直的弦及 AB各C 90 , CD为边AB上的高，D为一条，其余的弦每种长度有两条（关于 AB对称）.18.1.6 在直角三角形 ABC中，各

5、边长都是整数,垂足，且BD p（p奇素数），求AC的值（用p表示）.AB解析 由BC2BD AB 知 BD BC2 ,故设 BC股定理，知AC2p2t4 p4t2 ,故 tp AC .设ACkpt，代入得2,22p t kt k t k ,易知只能有t k p2 , t k 1 ,解得2t p2p2 1曰ACAB18.1.7 设正三角形 ABC外接圆于P、 解析 如图，易知ABC, M、N 分别在 AB、AC 上，Q ,若PM、MN、AB长均为正整数,NQPM也是整数.设AM x, BMMN求y ，/ BC ,两端延长MN ,交 AB的最小值.PM于是由相交弦定理，得xy2zz x z , x

6、 y z由于stk,要使AB xks达到最小，k得取s t ,于是 AB t2s>2 , t>1 ,知 t2t s>t2s>3 .当 AM 1BM 2时AB取到最小值 3,此时PM 1 .18.1.8 已知凸四边形积的两倍，且AD2解析 不妨设ABBC2ABCD的四边长是两两不相等的整数，对边乘积之和等于四边形面250 ,求该四边形面积、对角线长度.BC b , CD c , DA d , AC 与 BD 交于。，贝Ukt2z , s t, s, t 1 ,贝U x s tAC BD sin AOB 2Sabcd ac bd > AC BD ,于是由托勒密定理，知

7、 A、B、C、D 必2c 250 .经搜索知250表为5, b 13, c 15, d 9,共圆，且满足 AC BD .又由已知条件，b2 d2 250, a2 平方和只有两组： 52 152和92 132 .由对称性，不妨设 a则 Sabcd 1 AC BD a。bd 96. 222221315 BD195222由余弦 定理，因cos BAD cos BCD 0 ,得-9一犯45BD 4 10 ,于是 AC 24 10 . 518.1.9 是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的4ABC ?证明你的结论.解析 存在满足条件的三角形.当 ABC的三边长分别为 a

8、 6, b 4, c 5时， A 2 B .如图，当 A 2 B时，延长BA至点D ,使AD AC b .连结CD , AACD为等腰三角 形.CDA因为 BAC为4ACD的一个外角，所以 BAC 2 D .由已知， BAC 2 B ,所以 B D .所以4CBD为等腰三角形.又 D为4ACD与4CBD的一个公共角，有4ACD4CBD ,于是处 CD ,即B ,CD BD a b c所以a2 b b c .而62 4 4 5 ,所以此三角形满足题设条件，故存在满足条件的三角形.评注满足条件的三角形是唯一的.若 A 2 B ,可得a2 b b c .有如下三种情形：(i)当a c b时，设a n

9、 1 , c n , b n 1 (n为大于1的正整数)，代入a2 b b c ,2一-得 n 1 n 1 2n 1 ,解得 n 5,有 a 6, b 4 , c 5;(ii)当c a b时，设c n 1, c n , b n 1( n为大于1的正整数)，代入a2 b b c ,得n2 n 12n.解得n 2,有a 2, b 1 , c 3,此时不能构成三角形；(iii)当a b c时，设a n 1 , b n , c n 1 (n为大于1的正整数)，代入a2 b b c ,得n 1 2 n 2n 1 ,即n2 3n 1 0 ,此方程无整数解.所以，三边长恰为三个连续的正整数,且其中一个内角等

10、于另一个内角的2倍的三角形存在,而且只有三边长分别为 4、5、6构成的三角形满足条件.18.1.10 三边长为连续整数、周长不大于100、且面积是有理数的三角形共有多少个?解析设三角形三边依次为 n1、则 3< n< 33,Skp p a p b p c3n2 1n 1421n 12于是3 n2 4是平方数，3 n22_2_ _ 2.一3k ，得 n4 3k,则 n< 32 ,2n 41020&33340, k< 18.又k不可能是奇数，否则n2 3k2 42223k ，得 n 4 3k ,则 n < 32 ,2_n 41020&33340 , k

11、< 18.又k不可能是奇数，否则n2 3k2 43 mod4 ，将 k 2,4,6, 8, 10, 12, 14, 16, 18代入，发现仅当k 2, 8时满足要求.因此这样的三角形共有两个，三边长依次为3、4、5与 13、14、15. 18.1.11 某直角三角形边长均为整数，一直角边比斜边小1575,求其周长的最小值.解析设直角三角形直角边长 a、b,斜边为a 1575,则a2 b2 a 1575 2 .b2 1575 2a 1575由于 1575 32 52 7,设 b 105k,则 7k2 2a 1575 ,设 a 7s ,则 k2 2s 225 ,于是 k 的最小值为17,此时

12、s 32, a 224, b 1785, c 1799.此时的最小周长为 3808.18.1.12 已知 ABC, AD是角平分线，AB 14, AC 24, AD也是整数，求 AD所有可取的值.A解析 如图，作 DE II AB, E在AC上，则易知 AE ED .又 ED CD AC ,故AB BC AB ACAD AE DE 2ED2 AB ACAB AC33619故 AD <17.17.68 ，又当AD< 17时，不难通过 4AED构造出ABC,故AD所有可取的值为1, 2,17.18.1.13 面积为a而 c的正方形DEFG内接于面积为1的正三角形 ABC ,其中a、b、

13、c是整数，且b不能被任何质娄的平方整除，求 ac的值.b解析设正方形DEFG的边长为x ,正三角形ABC的边长为m ,则m2 ADGsABC ,可得解得x273 3 m .于是2873 48 .由题意得a 28, b 3, c 48,所以a c 20b 317.1.14 如图,AD是 ABC的高，四边形PQRS是ABC的内接正方形，若 BC ab（即两位数），SR c, AD d,且a、b、c、d恰为从小到大的4个连续正整数,求 Sa abc的所有可能值.解析易知SRBC移项,AR彳 1AC1a 2 aCR 1ACABPD Q CSRAD，或一111a 1 a 36a 5 0 ,解得a 1或5

14、.于是有两解:BC12,BC56,SR3,SR7,AD4;AD8.易知这两组数据都符合要求，故SA abc 24或224.18.1.15 已知4ABC中，B是锐角.从顶点A向BC边或其延长线作垂线， 垂足为D；从顶点C向AB边或其延长线作垂线， 垂足为E .当2BD和2BE均为正整数时， 4ABC是BC AB什么三角形？并证明你的结论.解析设2BD m, 2BE n , m、n均为正整数，则BCAB24cos B 4 ,BD BE mn 4 AB BC(1)当 mn 1 时，cosB -, 2所以，mn 1,2, 3.B 60 ,此时m n 1 .所以AD垂直平分 BC , CE垂直平分AB

15、,于是 ABC是等边三角形.(2)当 mn 2 时，cosB J B 45 ,此时 m 1, n 2 ,或 m 2 n 1 ,所以点 E与 2点A重合，或点 D与点C重合.故 BAC 90 ,或 BCA 90 ,于是 ABC是等腰直角 三角形.3(3) mn 3时，cosBB 30 ,此时 m 1, n 3,或 m 3, n 1.于是 AD 垂直平分BC,或CE垂直平分 AB.故 ACB 30，或 BAC 30，于是4ABC是顶角为120 的等腰三角形.18.1.6 某直角三角形两直角边长均为整数，周长是面积的整数倍(就数字上讲)，问问这样的直角三角形有多少个？解析设直角边分别为a、b ,则斜

16、边c 后b2 ,由条件知它是有理数，故必定是整数.设a b Va2b2 kab , k为正整数，于是24- k.aba b由于a b Ja2 b2也是正整数,故它只能为 1、2或4,记作k .由 a b k Va"b2,得 2ab 2k a b k2 0,2a k b kk2 , k 1 时无解；k 2 时，有 a 2b 22, a, b=3 , 4 ; k 4 时，a 4 b 48, a, b =5 ,12或6 , 8,所以这样的直角三角形共有3个.18.1.17 在等腰 4ABC中，已知 AB AC kBC ,这里k为大于1的自然数，点 D、E依次在AB、AC上，且DB BC C

17、E , CD与BE相交于O,求使OC为有理数的最小自BC然数k .解析 如图，连结DE ,则DE / BC , DE AD AB BC 1BC AB AB由于四边形DBCE为等腰梯形，则由托勒密定理（或过 D、k 1BC . k2CD CD BE DE BC DB CECO BC k 中曰 CO ,丁 ZE CD DE BC 2k 1 BCk 122 2k 12BC BC BCkk一，由于k与2k 1互质,2k 11,DE kE作BC垂线亦可），由题设知其必须均为平方数，k 1, k 25适合，这是满足要求的最小自然数.18.1.18 对于某些正整数 n来说，只有一组解 xyz n （不计顺序

18、），这里，x、y、z是正整数且可构成三角形的三边长，这样的n < 100共有多少个?2斛析 显然，当n p （素数）时无斛；当 n p或1时只有一组解（1, p , p）或（1,1, 1）;当n pq （ p、q为不同素数）时无解；当n 4p （ p为大于3的素数）时也无解.剩 下的数为 8, 12, 16, 18,24,27, 30,32,36, 40,42,45,48, 50,54, 56, 60, 63,64, 66, 70, 72, 75, 78,80,81, 84,88,90, 96,98,99,100.易验证，无解的 n有：30,42,54, 56,63,66, 70,78,

19、88,99;唯一解的 n 有：8, 12, 16, 18, 24, 27, 32, 40, 45, 48, 50, 75, 80, 81, 84, 90, 96, 98;不止一组解的 n 有：36, 60, 64, 72, 100.注意：判定无解的主要依据是，abc n , c ab时无解，困为 c> ab 1 > a b.因此，有解的n共有23个.18.1.19 面积为整数的直角三角形周长为正整数k,求k的最小值，并求此时这个直角三角形的两条直角边的可取值（如不止一组解，只需举了一组即可）解析设该直角三角形的直角三角形周长分别为a、b4Uab>1,a b> 2痴 &g

20、t; 272 ,2Ja2 b2 > ay=b > 2, k a b Ja2 b2 > 272 2 ,故 k > 5 .下令k 5, ab 2,如有解，则可.后 b2 5 a b ,平方得a2 b2 25 10 a b a2 b2 2ab .a取ab 2,得abh 29 b 102.因此a、b为方程210x29x 20 0的根，解得a、b为29再与29月，故k的最小2020值是5.18.1.20解析若 ABC的三边长a、b、c均为整数,不妨设abc 140,求 ABC内切圆半径.b< 1c只可能为140ab 1 c7 或 10.c<10.c 7时，ab 20,

21、只可能8,内切圆半径c 10时，ab 14 ,没有满足要求的解.18.1.21证明:b、c是一组勾股数b2则存在正整数k、u、v、u v ,1使得ck u2v2 ，而 a k u22kuv;或 a2kuv, b k解析2.2a b2c,设(a, b , c) k,则 abi、c1两两互质；a与b1不可能同偶，否则 2 a. bi , g;a1与bi也不会同奇，否则c； 2mod 4是a1与n必一奇一偶，不妨设 a1奇而n偶，于是G为奇数.从而a12b1gb1 , c1b1 与 c1“必互质，否则有P|2c ,bi )=1矛盾.于是可设c1b12u1，b1(U1=1 ，M均为奇数，解得U1V12

22、v12，u122u1M2u1 32，一 u1 v12，即得结论.18.1.22 如图,求证：AF、F、BF、E在 ABC的边AB、CB、CD、AE、EC、AC上，FE的延长线与BC的延长线交FE、ED的长度不可能是18的排列.解析如果 EF 1 ,贝”AE AF| EF 1 ,得 AEAF ,矛盾，故EF 1 ,同理AF、AE、ED、CD、EC都不等于1 .ABCD因此1只可能等于FB或BC之长，不失对称性，设 BF 1 ,则FD BD| BF 1, FD BD ,作CG/AB , G在ED上，四边形FBCG乃一等腰梯形，于是EG FG EF BC EF为正整数.又EG EC CG BF 1

23、,故EG EC ,但/ BFD为等腰三角形DFB的底角，ZBFD 90 , ZEGC 180 / BFD 90 ,为 4EGC 的最大内角， EC EG,矛盾，因 此结论证毕.18.1.23 已知梯形 ABCD 中，AD BC , E、F 分别在 AB、CD 上，EF II AD II BC ,ED II BF ,如果AD、EF、BC均为正整数，称该梯形为“整数梯形”.现对于正整数 n ,有正整数x x'<y'<y, x y x'+y'=n，且x、y为一"整数梯形"的上、下底， x'、y'为另一 “整数梯形”的上、

24、下底，求n的最小值.解析 如图，由 AEDsEFD , ADEF-FBC ,得空任空正，得 EF BE FC BCEF ,AD BC ,于是问题变为求最小的 n ,使xy与x ' y '均为平方数.xy、x ' y '不可能都为4,故至少有一组9,显然另一组也不可能为 4,于是xy , x ' y '>9.如果 xy 或 x' y' '25,贝 Un>2j25 10 .若 xy 或 x' y' =9 或 16,贝Un 1 9 或2 8 10.于是 n 的最小值为 10, x 1, x'

25、=2, y' =8, y=9.18.1.24 求证：存在无穷多个每边及对角线长均为不同整数的、两两不相似的凸四 边形.解析BP而由如图，作圆内接四边形 ABCD, AC与BD垂直于222a 4 , DP 4a 1,贝U AB a 4 ,AD4a2设a为一整数,22.a 4 4a 1CP4a ABPsdCP BPCsMPD 知,BC2a4a24aCD24a 12a 4 .4a同时乘以系数4a ,得 AB 4aAD4a 4a2 1BCCD 4a2 1 a2 4.-4AC 4aBD 20a a2 1 .易知上述6个多项式无二者恒等，于是任两者相等只能得有限个 此有无限个a,使6个多项式两两不

26、等，a,但正整数有无限个，因又当a时，BD 0,因此有无限个这样的凸四边形两两不相似.AC18.1.25 已知 PA、PB为圆的切线，割线过 P ,与圆交于PA、 PM、MS、SN均为正整数，求 PA的最小值.解析如图,易知有MS)pn .（调和点列SN设PM aMS bacpa pm pn设 a ks, b ktkt s tPA ks s t二1,s、t 一奇一偶.于是由（由PA为整数知sy为奇数.因为sk的最小值为s t,t , PA s« s t s t sxy,当 s1,2, 3, 4时，t无解（即PA不是整数），故又 x>3, y>1,于是 PA>15,当

27、 ab 4, c 36 时取到 PA 15.t , s t ） =2,此时s、t同奇，k的最小值为U ,此时c t s t ,22pa sjsts1- 2 %又x y,所以y >1 ,综上，PA的最小值是x> 210.2x2PAs t 2y2,sxy >52当s 1 , 3时，无t使PA为整数，于10.当 a 5, b 3, c 12 时取到 PA 10.3、4,显然对圆内接凸四边形 ABCD ,无边长为 1 .否则若设AB 1 ,AD BD AB 1 ,得AD BD，同理 AC CB ,于 长> 2X4=8.C、D均在AB中垂线上，构不成凸四边形.因此最小周四边均为2

28、,得正方形，对角线为2段，不合要求；三边为2,另一边为3,得等腰梯形,求这类四边形中周长最小者.18.1.26 一圆内接四边形的四边长及对角线长都是整数, 解析 显然长与宽为4、3的矩形满足要求，其周长 =14.若等腰梯形上、下底分别为腰为2,则由托勒密定理，对角线长为4,满足要求，此时周长为 11.故最小周长W 11.对角线长为 闻,亦不合要求.故最小周长10.当周长为10时，显然至少有两边为 2.若是2、2、2、4,则对角线为. 12,不合；于是只JT3 ,亦不合.能为2、2、3、3,四边形为矩形或筝形，总有对角线长为 故最小周长为11.18.1.27 在 RtABC中，ZBCA 90 ,

29、 CD是高，已知 ABC的三边长都是整数,且BD113,求4BCD与4ACD的周长之比.c .由题设知a、 b、解析BC2设ABC的三边长分别为23BD BA ,故 a 11 c .于是设2 一 2a 11l,得11l c由勾股定理得11lJl2 112是整数,所以l2 112是完全平方数，设为t2 t 0 ,则l2 112t2,61 , 60.2a 1161, b 11 61 60.一 l t 1, . - l由于0 l t l t ,所以,2解得ll t 112. t因为BCDsCAD,所以它们的周长比等于它们的相似比，即 -11b 60初中数学竞赛专题复习第二篇平面几何第i8章整数几何试

30、题新人教版i3 / i5i8.i.28 已知锐角三角形 ABC中，AD是高，矩形SPQR的面积是 4ABC的i/3, 其顶点S、P在BC上，Q、R分别在AC、AB上，且BC、AD及矩形SPQR的周长均为有理数，求 AB AC的最小值.BC解析如图，设 ABC的三边长依次为 a、b、c , AD h , PQx, RS y,则 _xyahAQACCQAC知a、h、x y均为有理数.占x由a若过a6x3m,3h ,因此只能有aA作BC的平行线l ,再作C关于l的对称点是AB AC的最小值为 用，仅当AB AC时取到.BCi8.i.29 整数边三角形 ABC中，Z BAC 90对同一个BD能长度，有

31、两个不全等的直角整数边三角形解析不妨设 ABC的三边长为a、b、c, AD hAD是斜边上的高，BD也是整数.若ABC满足要求，求 BD的最小值.bcBD d ,首先h bc为有理数，又ah2c2 d2为整数，因此h也是整数.又CD为整数，故2立也是整数.又ABDsCBA, d因此,只需正整数h、d满足h2c2 d2及d |h2,这样的整数边三角形就存在.因为此hc是有理数，而b2 dh2 CD2为整数，从而b为整数.易知由d|h2可得d|c2.d；,、di为正整数，且 无平方因子，于是由| h2及c2知G，代入得 di4 c；hi；,又由 d |h2 , c2 得 d： | * ,Ci2 ,今对di的任一素因子p,其在di的指数s di不会比hl的指数高，否则s di > s hi初中数学竞赛专题复习第二篇平面几何第18章整数几