大学文科数学教案第二章

1、第二章 微积分的直接基础极限教学目的和要求：1 .理解极限的概念(对极限定义中“e N”、“£ 8”、“e M”等形式的描述不作 要求) ，理解函数左、右极限的概念以及极限存在与左、右极限之间的关系，了解自变量趋 向于无穷大时函数极限存在的充分必要条件。2. 了解极限的性质，掌握极限的四则运算法则。3. 理解无穷小、无穷大以及无穷小的比较(高阶、低阶、同阶和等阶)的概念，会 应用无穷小与无穷大的关系、有界变量与无穷小的乘积、等价无穷小代换求极限。4. 掌握应用两个重要极限求极限的方法。5. 理解函数连续性概念会判断分段函数在分段点的连续性。6. 会求函数的间断点。7. 了解闭区间上连

2、续函数的性质 (最大值与最小值定理、 零点存在定理) ， 会用零点存 在定理推正一些简单的命题。8. 了解连续函数的性质和初等函数的连续性， 理解函数在一点连续和极限存在的关系， 会应用函数的连续性求极限。教学难点和重点：重点：1 极限的性质。2极限的四则运算法则。3. 两个重要极限求极限的方法。4. 分段函数在分段点的连续性。5. 连续函数的性质和初等函数的连续性难点：1 极限的概念。2无穷小的性质。3. 两个重要极限求极限的方法。4. 闭区间上连续函数的性质。§ 1 数列极限1.1 从分形几何中 Koch 雪花的周长谈起数列极限以正整数为自变量的函数 y f(n),当n依次取1,

3、 2, 3,所得到的一列函数值a1f(1),a2f(2),a3f(3), ,an f (n),称为无穷数列，简称数列。数列中的各个数称为数列的项，anf(n)称为数列的通项。数列常简记为 an卜面举几个数列的例子。1 1 1工2n二，7，二，/ 八2 4 8 16例 3 1,1,1,1,例 41,1, 1, ,( 1)n,例 5 2,4,6, ,2n,在理论研究或实践探索中，常常需要判断数列an当n趋于无穷大时通项 an的变化趋势。下面我们来研究一个有趣的问题分形几何中的柯契(Koch)雪花问题。设有边长为1的正三角形，则周长为a1 3。对各边三等分，以中间的三分之一段为边向外作正三角形，则每

4、一边生成四条新边， 原三角形生成12边形；再三等分12边形的各边, 同法向外作正三角形，仿此无限作下去，便可递归生成美丽的Koch雪花！给我们直觉：无论n有多大，Koch雪花的面积总是有限值，然而它的周长是否也为有限值呢？这是直觉难以回答的问题。现在我们来求Koch雪花的周长。一，、，八1a24一a1。仿此可知，3究竟当n 时,正三角形的周长为a13；三等分正三角形各边，新边长为；，所以12边形的周长为44、24、n 1a3 3 a2 (3) a1, , an q)a1, Koch雪花的周长是有限还是无限，这涉及数列极限问题。1.2 数列极限的定性描述公元前四世纪，我国春秋战国时期的哲学家庄子

5、(约公元前369 前286)在庄子？天下篇一书中有一段富有哲理的名句：“一尺之锤，日取其半，万世不竭。”我们把逐日取 ., , 一 ，. . 一，1 、一 下的锤的长度顺次列出来，便得到例1所示的数列,这是一个无穷递缩等比数列。当2n,1n越来越大时，通项 an 1越来越接近于常数 0,并且想让它有多接近它就会有多接近，2n则称该书列以0位极限。(1)n(1)n例2中的数列1 (一，当n无限增大时，通项 an 1 A'无限接近于常数1,nn则称该数列以1为极限。定义1如果n无限增大时，数列an的通项an无限趋近于常数a,则称该数列以a为极限,记作lim an a 或 an a(n )。

6、 n其中n 表示n无限增大，此时也称该数列收敛。如果n 时，an不以任何常数为极限，则称数列an发散。数列的收敛或发散的性质统称为数列的敛散性。例1和例2中的数列都是收敛的，分别记作1( 1)nlim 0,lim 1 - 1.n 2n n n1以零为极限的变量成为无穷小量。,就是n时的无穷小量。2n例3中的数列1各项均为相同的常数，这样的数列称为常数列。显然数列1以1为极限,记作lim1 1。可见，常数列的极限仍是该常数。 n例5中的数列2n,当n无限增大时，通项an 2n也无限增大，不以任何常数为极限， 因而是发散的。不过为了叙述方便，对于这种特殊情形，我们称它收敛于 ，记作 lim( 2n

7、)。n绝对值无限变大的变量称为无穷大量。2n, 2 n都是n时的无穷大量。前面谈到的Koch雪花的周长无论它的形状如何变化，它总包含在以原三角形为内接三角形 的圆内，因而它的面积的极限只能是有限数。此例给我们揭示了这样一个事实：有限图形的面积可以是有限量，然而它的周长可以是无穷大量！例4中的数列(1)n在n的过程中，通项an ( 1)n反复取 1和1两个数值，显然该数列是发散的。定义1给出的数列极限概念，是在运动观点的基础上凭借几何图像产生的直觉用自然语言作出的定性描述。对于变量an的变化过程(n无限增大)，以及an的变化趋势(无限趋近于常数a),都借助于形容词“无限”加以修饰。从文学的角度来

8、审视，它明显地带有直 观的模糊性。直观在数学的发展和创造中扮演着充满活力的积极角色，但数学不能停留在直观的认识阶段。耶鲁大学的皮尔庞特教授，于 1899年在美国数学学会的一次演讲中，举例 驳斥了由几何直观得出的连续曲线的8条性质，阐明了数学中仅凭几何直观的危险性。作为微积分逻辑演绎基础的极限概念，必须将凭借直观产生的定性描述转化为用形式化的数学语 言表达的超越现实原型的理想化的定量描述。1.3数列极限的定量描述n充分大反映了变量an在其变化过程中的某一时刻，差值为 a)充分小,n反映了变量an与常量a的差值变小的程度。为对充分大与充分小作出确切的量的1.估计，我们来寻求能表小n充分大的时刻N和

9、能表小差值an a 1小到何种程 n度的常数，即an a).n1比如，要使an 1 1小到不超过1 0.1的程度，只要n 10就可以了. n我们就取时刻N1 10 ,数列从第11项起的所有项余1之差的绝对值都不会超过1 0.1.可用数学语言定量的叙述为一.1一.当n N1 10时，an 1 0.11包成立。n1 、一一.要使an 1 0.012，只要n 100就可以了，就取N2 100。数列n从第101项起的所有项与1之差的绝对值都不会超过0.01,即一_ .1一当 n n2 100 时，an 1 一 0.012包成立。n类似地，依次取3 0.001, 4 0.0001,都能找到相应的时刻N3

10、1000,N4 10 000,，使得一 一， .1 ，一 一当 n Ni 时，4 1 i 恒成立(i 1,2,).n因为i可以取任意小的正数，所以an与1可以任意接近。这就完全准确地反映了在n无限大的过程中，an 1 5 无限趋近于常数1的变化趋势。 n定义2如果对于任意正数 (无论它有多霄)，总存在相应的正整数 N ,使得 n N的一切n ,能使不等式an a 恒成立，则称数列an以a为极限，记作lim an a,或 ana(n )n数列极BM的N定义2远不如建立在运动和直观基础上的描述性定义1易于理解。数学概念的抽象性就是这样，越抽象越远离原型，然而越能精确地反映 原型的本质。“ N”定义

11、时刻化数列极限的抽象模型，这一模型主要依据正数 和从属于 的正整数N来构件。现在再返回到即和原型，分析一下“ N ” 模型是如何精确刻画数列an无限趋近于极限a的。由不等式11 a 联想到点a的 邻域U(a,),我们把该邻域看作能容纳装纳点列an的宽度为2的袋子。首先固定一个常数 ，比如1.由an a 1求得相应的时刻Ni,因为满足 n Ni的一切an都满足an a i ,所以点列an中从Ni 1开始的所有点an (有 无穷多个)全部装在以a为中心，宽度为2 i的袋子U(a, 1)中，至多有Ni个点落 在袋子外。其次，固定一个更小的 ，比如取2 1,仍可通过同 a 2求得相应的 时亥【J N2

12、 o因为满足n N2的一切an都满足an a 2 ,所以点列an中从N2 1 开始的所有点an (有无穷多个)全部装在以a为中心，宽度为2 2的袋子U (a, 2) 中，至多有 心个点落在这个更小的袋子外。因为 可以任意小，总可以通过|an a求得更靠后的时刻 N ,使得从N 1开始的一切点烝全部落在任意小的袋子U (a,)中。虽然落在袋子外的点可 能更多，但他们毕竟是有限个，而落在袋子中的点仍是无穷多个。这样在点 a的 任意小的邻域内总凝聚着数列 an的无穷多个点，于是点列an必以点a为极限， 即数列an以常数a为极限。有以上分析可知：(1)定义中的常数 具有二重性：即具有很小正数的固定性，

13、又具有随意小 的任意性。(2) 是首先给定的，N是由 确定的。关键是反映变化过程时刻的 N的 存在性，而不是它的唯一性。1.4数列极限中蕴含的辩证思想(1)极限a的取得是变量an的变化过程与变化结果的对立统一。(2)极限是利用有限来认识无限的一种数学方法，同时也说明极限是有限与无限的对立统 O(3)近似与精确的对立统一。作业/课后反思§ 2函数极限前面研究过数列极限，现研究函数极限。2.1自变量X无限趋近于有限数 x0的情形例8考察函数y f (x) x 1(x R)当x无限趋近于常数 x0 (记作x 1)时的变化趋势。研究方式：列表、画图当x从点xo 1的左右近旁越来越接近于1时，

14、函数f (x)的值就越来越接近于常数 2,并且要多接近就会有多接近。也就是当 x与x0 函数f (x)与常数A 2之差的绝对值| f (x) 时函数f(x)以2为极限。x2 1 , 一例9考祭函数y g(x) (x R且xx 1该函数与例8中函数f (x)不同，它在点x01之差的绝对值x x0x 1无限变小时，A |f (x) 2也无限变小。显然，当 x 11)当x1时的变化趋势。1处无定义，但当x 1时，由于x 1 0,x 1,所以g(x) x 1.如果列出点x0 1左右近旁的自变量 x与函数g(x)的对应表，x 1则比例8中的表少一个点(1,2),其余完全相同。结合图可知，当 x 1时函数

15、g(x)也以2为极限。函数f (x)与g(x)的差别仅在于在点 xo 1处是否有定义，但这一差别并不影响它们的极限。一般说来，当讨论 x xo时，函数y f (x)在点xo处是否有极限，与函数在点xo是否有定义并无关系。由以上两例可得xxo时函数极限的定量描述。定义1设函数y f (x)在点xo的近旁有定义(在点xo处可以无定义)。如果对于任意正数(不管它有多小)，总存在相应的正数，使得满足o |x的一切x能使f(x) A恒成立，则称函数 f(x)当xxo时以A为极限，或称函数 f(x)在点xo有极限，记作lim f (x) A 或 f(x) A(x xo) x xo该定义又称为"&

16、quot;定义。由以上两个例子的分析和定义1的叙述可知：(1) 任意常数 具有二重性：固定性和任意性。(2) 是预先给定的，是由 确定的。不是唯一的，关键是 的确定性，而不是它的唯一性。常数的极限仍是该常数。2.2左极限与有极限定义lim f(x) A (左极限)x X0定量描述定义：(学生给出)lim f(x) A (右极限)X X0定量描述定义(学生给出)2. 3自变量x的绝对值无限增大时的情形1观察函数f (x)当x 时的变化趋势。x一一 一一 1 当x无限增大时，函数 f (x)的绝对值无限变小，可见当 x 时，该函数以常 x数A 0为极限，记作lim10。0时，函数f(x)的极限分别

17、记作lim f(x)或lim f(x)。xx比如 lim arctanx ， lim arctanx 。 x2 x2在xx0或x 的过程中，不是所有的函数都有极限，比如函数y sinx和y 2当x时就不存在极限。对于绝对值变得越来越大的变量虽然不存在极限，但为了叙述方便，我们也说它的极限是无穷大。般说来，如果在某个变化过程中，函数f(x)的绝对值f(x)变得越来越大，则称该函数的极限是无穷大，记作f (x) (xx0或x)。这样的函数(即变量)称为无穷大量，简称无穷大。注意，无穷大量是变量，并不是非常大的有限数。2.4 函数极限的性质定理2如果xxo时函数f(x)的极限值是正(负)数，则在点X

18、o的某一去心邻域内，函数彳t f(x)也是正(负)数。即若lim f (x) A 0( 0),则存在点x0的某邻域U 0(x0) x xo对一切 x U°(Xo)恒有 f (x) 0( 0)。证明：由于f(x) A 0(xX0),所以由""定义可知，若限定任意正数A,则存在相应的，使得当0 x Xo时，f (x) A A()恒成立，即0 A A f (x) A A成立，不等式的作半部分正是所要证明的。定理2的结论仅在x0的某一去心邻域内成立，故称为局部保号性定理。定理3非负函数的极限非负。即如果 f(x) 0,且lim f(x) A,那么A 0。 x x0证明：(

19、反证法)假设A 0不成立，即A 0。由定理2可知，在x0的某邻域内f(x) 0。这与f (x) 0的假设矛盾，故得证。注意：若f (x) 0且当xx0时f(x)以A为极限，则lim f (x) A 0。x x0推论：若 f (x) g(x)，且当 x x0时，f(x) A,g(x) B ,则 lim f(x) lim g(x),x x0x x0即A Bo2.5 无穷小量1.无穷小量的概念在实践中我们会碰到一类变量，它们会变得越来越小，并且想多小就会有多小。比如火车到达目的的的距离， 香港回归的倒计时，一盆温水与室温的温差等等都具有这样的变化特 点。在数学中，我们把以零为极限的变量叫做无穷小量。

20、即与数列中无穷小量的概念类似，若函数y f (x)在某个极限过程中以零为极限，则称f(x)为该过程中的无穷小量，简称无穷小。1 一 1比如f(x) - , g(x) r都是x 时的无穷小量。x2无穷小量是变量，不是很小的常量，但常量0例外，它符合无穷小量的定义，是特殊的无穷小量。变量、极限与无穷小量的关系定理(定理 1)函数f (x)在某个极限过程中以常数 A为极限的充分必要条件是，函数 f (x)能表示为常量A与无穷小量之和的形式，即f(x) A2 .无穷小量的性质定理2有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量。定理3有界变量与无穷小量的乘积是无穷小量。推论1无穷小量与无穷小量的乘积仍是无穷小量。

21、推论2常量与无穷小量的乘积是无穷小量。定理4无穷小量(0除外)的倒数是无穷大量(类似地有，无穷大量的倒数是无穷大量)。3 .无穷小量阶的比较在数学中，两个无穷小量虽然都以零为极限，但它们趋于零的快慢程度可能相同，也可能不同，我们可以由它们的比值的极限来判断，称为无穷小量阶的比较。我们把两个无穷小量写成"0"的形式，其极限有待确定，称为 0型不定式。00如果在某个极限过程中两个无穷小量之比一的极限是非零常数，表明这两个无穷小量趋于零的速度处于同一个级别，称与 是同阶无穷小；特别地，当这个常数等于1时，则称 与 是等价无穷小，记作 。如果这个常数是 0,表明分子 趋于零的速度比

22、分母 趋于零的速度快得多，则称 是较高阶的无穷小，记作o()。如果比值 一的极限趋于 ，表明分子 趋于零的速度比分母 趋于零的速度慢得多， 则称 是较 低 阶的无穷小。类似地可作出两个无穷大量阶的比较，两个无穷大量之比也是不定式，称为 一型不定式。4 .6极限的四则运算设在同一极限过程中，变量y f(x) A, z g(x) B,我们有定理1有限个变量代数和的极限等于极限的代数和。定理2有限个变量之积的极限等于极限之积。推论1常数可以提到极限符号外。推论2正整指数哥的极限等于极限的哥。讲述连续函数取极限的法则之后将会知道，哥指数为任意实数时上述结论也成立，即lim( y ) (lim y) A

23、 ( R)比如lim . y limy 、A (y, A 0)定理3当分母的极限不等于 0时，两个变量之商的极限等于极限之商。例 13 求 lim(2x2 3x 4)x 1解：原式=2lim x2 3lim x 4x 1x 12(lim x)2 3 1 4x 1例14求limx 1x2 12lim (x 1)解：原式=上lim(x 2)12 1一 , 4x2 1例15求lim x 1/2 2x 1解：原式.(2x 1)一 1 /2例16求lim n2n33n3解：原式 lim n3这种求极限的方法叫做无穷小量份出法。例 17 求 lim (&2 Jx)解：原式 lim n(.x 2.

24、x)(, x 2 x)limnlim n本例求极限的方法称为有理化法。例 18 求 lim 2n n一般地，如果q 1,则limqn 。 n此外，我们还经常用到下面两个重要极限公式：sinx1、xlim 1, lim (1) e.x 0 x x x作为洛必达法则的应用，这两个公式地证明将在第四章给出。一 .3 v例 19 求 lim (1 )x x13于是得解作变量代换，令一一，有x 3u ,显然，当x 时u .u xlim (1 3)x lim (1 -)3u lim (1 -)u 3 e3x x u u u u此处应用了后面将要讲述的连续函数求极限的法则。2.7两个重要极限1、准则I (夹

25、逼定理)设函数f(x),g(x),h(x)在x x0的某个邻域内(x0点可除外)满足条件:(1) g(x) f (x)h(x);(2) lim g(x) A, lim h(x) A则x x0x x0lim f(x) Ax x0证明：说明：准则1 (夹逼定理)对于数列也是成立的，如下：如果数列 xn 、 丫口及 Zn满足下列条件：(1)yn Xn Zn (从某一项后恒成立)(2)lim YnnA.lim znnA那么数列xn的极限存在，且lim % n例题1：证明lim sin xx 0求 lim (n_1_. n2 1_1_n2 22、准则II (单调有界数列必有极限) 如果数列 xn满足下列

26、条件:Xix2xnxn 15则称数列xn是单调增加的;如果数列 xn 满足条件X1 x2 xn xn 1则称数列xn是单调减少的。定理2 (准则II )如果单调数列有界，则它的极限必存在数轴解释 3、两个重要极限sinx .(1) lim 1x 0 x例题：求limx 0tanx求求limxx1 cosx2xsin3xtan5x.1求 lim xsin(2)lim (1xM0(11x)x例:求 lim (2-x) x x2求 lim(1 -)5x x x求 lim (x-1)xx x 12secx求 lim (1 cosx)x 一x作业/课后反思§ 3连续函数3.1连续函数的概念和连

27、续函数求极限的法则1.连续函数的概念定义1若函数f(x)在点X0及其邻域有定义，当 xX0时f(x)的极限lim f (x)存在，并X x0且等于该点处的函数值 f (x0),即lim f (x) f(xo) x x0则称函数f (x)在点xo处连续，x0称为函数f(x)的连续点。如果函数在开区间(a, b)内的任意一点都连续， 则称此函数为区间(a,b)内的连续函数。 如果不仅在开区间(a,b)内连续，而且在该区间的左右两个端点处也连续，则称函数是闭区 间a,b上的连续函数。例1证明正整指数的哥函数 y f (x) xn在区间(，)内连续。证 设xo是区间(，)内的任意一点，由于lim xn

28、x0nf (x0),故由定义1可知x xf(x) xn在点xo处连续。再由xo的任意性，便证明了函数y f (x) xn在区间(，) 内连续。不难证明常数函数 y C和有理函数Pn(x) aoxn a1xn 1 an在区间PJx)(,)内连续，有理分式函数 上之在其有定义的区间内连续。 Qm(x)为研究连续函数方便，先介绍增量概念。设函数y f(x)的定义域为X。如图所示，当自变量从定点xo变到新点x时，其差称 为自变量的改变量，或增量，即作 x x xo ,自然有x xo x。对应的函数值从 f(xo) 变到f (x) f (xo x),其差称为函数的改变量，或增量，记作y f(x) f(x

29、o)或 y f(xox) f(xo)由于新点x的改变方向以及函数 f(x)的增减性不同，所以x和y可能为正，也可能为负。引用增量符号，定义1中的xxo和f(x)f(xo)可以改写成 x x xoxo和yf(xox) f(xo)0。于是得定义 2 若 x x x0x0 时， y f(x0 x)f(x0)0,即lim y 0,x 0则称函数f (x)在点x0处连续。该定义应用起来也比较方便，并且易于理解函数在一点处连续的本质特征：自变量变化很小时，函数值的变化也很小。例2证明正弦函数 y sin x在区间(，)内连续。2 cos(x一)sin， 22证明：设x是区间(，)内的任意一点，给 x 一个

30、增量 x,相应的函数增量为y sin(x x) sin x二一 xsin -2、x汪息到cos(x -)1 和于是y2 cos(xx)sin122显然当 x 0时y 0,故函数sinx在点x处连续。再由点 x的任意性便证得函数 y sin x是区间(，)内的连续函数。同理可证余弦函数 y cosx是区间(,)内的连续函数。2.函数的间断点定义1指出，函数f (x)在点x0处连续应同时满足下列三个条件：(1) 函数f (x)在点x0有定义；(2) 极限lim f(x)存在；x x0(3) 极限值lim f(x)等于x0处的函数值f (x0) o X x0如果这三个条件至少有一个不满足，则称函数f (x)在点x0间断，x0称为函数的间断点。比如函数y 1在点x 0处无定义，所以x 0是该函数的间断点。 同理x 1是函数 xx 1y 的间断点。x 13.连续函数求极限的法则设函数yf (x)在点x0连续。因为lim x x ,于是由函数连续性的定义 1可得x x00lim f (x) f (x0) f (lim x). x x°x x。由此得连续函数求极限的法则：连续函数在连续点处的极限值等于函数在该点处的函数值。或者，对连续函数 f(x)而言，极限符号lim与函数符号f可以交换次序。例 4 求 lim cosxx解因为函数y cosx在点x处连续，所以lim cosx