圆的相关定理及其几何证明(含复习资料)

1、O的半径是;圆例3：如图已知PA与圆O相切于A,半彳至OC OP ,AC 交 PO 于 B,若 OC 1,OP 2,PC圆的相关定理及其几何证明典题探究例1：如图，圆 。是 ABC的外接圆，过点 C作圆。的切线交BA的延长线于点 D.若CD 君，AB AC 2,则线段 AD的长是例2:如图，在圆。中，直径与弦垂直，垂足为E（E在之间），EF人BC，垂足为F.若AB = 6 ,CF ?CB 5 ,则 AE = 3 / 15例4：如图，从圆O外一点P引圆O的切线PA和割线PBC ,已知 BPA 30 , BC 11 , PB 1 ,则PA _，圆O的半径等于 PA演练方阵A档（巩固专练）1 .如图

2、，已知直线切。 O于点D,直线交。O于点.若PF 2 J3, PD 1 ,则。O的半径2.如图，AP与eO切于点A,交弦DB的延长线于点P ,过点B作圆O的切线交AP于ACB 90 , BC 3,CP 4 ,则弦 DB 的长为.13.如图：圆O的割线经过圆心 O, C是圆上一点，= ,则以下结论不正确 的是（）A.CB CPB. PCAC PABC C.是圆O的切线D. BC BABP4 .如图，已知AB是圆。的直径，P在AB的延长线上，PC切圆。于点C, CD OP于D.若CD 6, CP 10,则圆O的半径长为；BP5 .如图所示，以直角三角形 ABC的直角边AC为直径作。O,交斜边AB于

3、点D,过点D 作。O的切线，交BC边于点E .则EEBC6.如图，直线与圆相切于点M,与是圆的两条割线,且±,连接、。则下面结论中，错误 的结论是（） A. / = 90°B. /C. 2 = D. = 7 .如图，AB切圆。于点A, AC为圆。的直径，BC交圆。于点D, E为CD的中点,且 BD 5,AC 6,则 CD8 .如图，PC切圆。于点C ,割线PAB经过圆心O , PC 4,PB 8 ,则tan COP , OBC 的面积是9 .如图，AB为。的直径，AC切。O于点A,且过点C的割线，CMN交AB的延长线于点 D,若 CM MN ND ,AC 2夜，则 CM ,

4、 AD D10.如图， AB,C,D是。O上的四个点,BCD 110,则 DBE ()A. 75B. 70过点 B的切线与 DC的延长线交于点E.若C. 60D. 55B档（提升精练）1 .如图，已知。的弦交半径于点 D,若434，则的长为2 .如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F ,E是AB延长线上一点，且DF CF J2, AF 2BF ,若CE与圆相切，且CE 互，则BE23 .如图， AB是半圆O的直径， P在AB的延长线上，PD与半圆O相切于点 C,AD PD .若 PC 4, PB 2,则 CD .OB4 .如图，AB是O。的直径，直线DE切。于点D ,且与AB延长线交于点C

5、,若CD卮 CB 1 ,则 ADE =5 .如图，AC为。的直径，OB AC,弦BN交AC于点M .若OC J3 , OM 1,则MN6 .如图，PA是圆。的切线，切点为 A, PO交圆。于B,C两点，PA J3,PB 1,则ABC =()A70B60C45D307 .如图所示，内接于圆，ABC 60°,是圆的切线，A为切点， 交于E,交圆于D.若,忑3 , 3有，则, 8 .如图，以 ABC的边AB为直径的半圆交 AC于点D ,交BC于点E , EF A AB于点F , AF = 3BF , BE = 2EC = 2 ,那么 DCDE =, CD =.9 .如图，已知圆中两条弦 A

6、B与CD相交于点F, CE与圆相切交 AB延长线上于点 E, 若DF CF 2无，AF:FB:BE 4: 2:1 ,则线段CE的长为10 .如图，直线PC与e O相切于点C ,割线PAB经过圆心O ,弦CD，AB于点E ,PC 4, PB 8,则 CE C档（跨越导练）1 .如图， ABC是。的内接三角形，PA是。的切线，PB交AC于点E ,交。于点 D .若 PA PE, ABC 60 , PD 1, PB 9,则 PA ； EC19 / 152 .如图，e O的直径AB与弦CD交于点P ,CP= 7, PD = 5, AP= 1,则 DDCB = 5D3.如图，AB是圆OE为AD的中点，连

7、接CE的直径，CD AB于D,且AD 2BD ,并延长交圆。于F .若CD 版,则ABEF4.如图所示，是圆的直径，点 则，C在圆上,过点B,C的切线交于点 P,交圆于D,若2, 1,5. AB是圆。的直径，D为圆。上一点，过D作圆。的切线交AB延长线于点C ,若DC二272, BC 2,则 sin DCA6 .如图，已知圆。的半径为3,从圆O外一点A引切线AD和割线ABC ,圆心。到AC的 距离为2 J2 , AB 3,则切线AD的长为 7 .如图，BC是半径为2的圆O的直径，点P在BC的延长线上，PA是圆O的切线，点A在直径BC上的射影是OC的中点，则 ABP=； PB PC 8 .如图，

8、从圆O外一点P引圆O的切线PA和割线PBC ,已知PA 2五,PC 4,圆 心。到BC的距离为 近,则圆。的半径为9 .如图，AB是圆。的直径，P在AB的延长线上，PD切圆。于点C.已知圆O半径为J3,OP 2,则 PCACD的大小为10 .如图，A, B, C是。上的三点，切。于点B, D是CE与。的交点.若 BAC 70 ,则 CBE ;若 BE 2, CE 4,则 CD 典题探究例1 :答案：1, 2解析：已知CD J3 , AB AC 2,由圆哥定理得CD2 DA DB,DB DA AB,所以 CD2 DA (DA AB),可以求出 AD 1,而 CD AD ,取 AB 的中点E,连接

9、和，则半径 R=OC=2.例2：答案：1CFCE c解析：三角形与三角形相似，对应边成比例，所以CF CE,即CE2 CB CF ,CE CB所以 CE J5,而 OC=1AB 3,所以 OE JOC2 OE2 2,所以 AE 1. 2例3：答案：PA /PB 33解析：延长与圆O分别交于点D和点E ,则PD OP OD 1 ,PE PD DE3 ,由圆哥定理得PA2 PD PE 3 ,所以PAAF_1 一_ _ 3 1OP交于点F,则OF=1 ,所以PB=3+-22 2例 4：答案：PA=2 33, R=7解析：由圆哥定理得 PA2=PB PC=12 ,所以PA=2 J3,设与交于点 D,延

10、长交圆于 E,则 AD DE=BD DC ,所以 2DE=24 , DE=12 ,所以 2R=2+12, R=7 .演练方阵A档(巩固专练)1：答案：R=石，EFD=15解析：由圆哥定理得PD2=PE PF, 1=PE (2+73),PE=12+ .3=2-73 ,所以EF=2R=PF-PE=2 73, R=V3, OP=2, PD=1, OD= V3 ,所以 POD=30°,所以1 。EFD二一POD=152-42:答案：一 5解析：由圆哥定理得 AP2=PB PD=PB(PB+BD)，所以72 5 (5 BD),所以24 BD 53:答案：D解析：由圆哥定理得PC2_ 2 一PA

11、(PA AB) PA( PA 2PA) 3PA ,所以PC 73PA ,所以D选项错误4：答案：半径R 7.5, BP 5解析：CD 6,CP 10,.所以 DP正.6 OC所以-,所以R8103OC 10 -4Jcp2 cd2 8,由三角形相似得CDDP7.5 ,由圆哥定理得PC2 BP AP ,OCCP100 BP(BP 15)，所以 BP 5入 15:答案：一2解析：连接，是圆。的直径，所以CDAB ,经过半径的端点 C,而且BC所以BC是圆。的切线，而是圆。的切线，所以，所以 BE CE6:答案：D1 - 一-BC ,所以2BEBC解析：因为四边形是圆的内接四边形，所以 BDEBCE

12、180 ,因为BDE=90°,所以 BCE=90。，A正确；直线与圆相切，由弦切角定理得 AMD= MED, 而 ABD= CED ,所以 CEM= MED+ CED= DMA+ DBA ,所以 B 正确；由 2 圆帚定理得 AM AD AE ,所以选项C正确7：答案：CD 4, AE 2娓解析：设CD x,则根据圆哥定理得 AB2 BD BC ,而AB2 (5 CD)2 36, 所以(5 CD)2 36 5 (5 CD),所以 CD2 5CD 36 0 ,所以 CD 4 ,而 ae Jac2 cd2De7,所以 ae 2J6(一 一 4 一 188：答案：tan COP -, SO

13、BC 3， VOBC l5解析：由圆哥定理得 PC2 PA PB,所以16 8PA,所以PA 2,所以半径R 3,3, OP 5 ,4 ,OC所以正切值tan COP 一,所以三角形的面积1 OB OC23S OBC18 sin COP - 59：答案：CM=2 , AD=2 用解析：由圆哥定理得 AC2=CM CN=CM 2CM ,所以8=2CM 2,所以CM=2 ,而 AD= CD2-AC2 = . 36-8=2710:答案：B解析：因为四点共圆，所以A+ BCD=180 ,而BCD=110 ,所以 A=70又因为与圆相切于点B,所以DBE= A=70。，所以选项B是正确的。B档(提升精练

14、)1：答案：CD=2解析：延长交圆于点E,由相交弦定理得 AD DB=CD DE,所以4 3=CD(8-CD),求出CD=2或6,因为是小于4的，所以CD=212：答案：BE=-2解析：由相交弦定理得BF AF=DF FC,所以2BF2 =2 ,所以BF=1 ,所以AF=2 ,271而 CE2=BE EA ,所以=BE (BE 3),所以 BE=-42123：答案：CD= 5解析：设半径为 R,连接，则由圆哥定理得 PC2=PB PA ,已知PC=4,PB=2 ,而, oPC PO 4512且 OC PD,所以 42=2(2+2R),所以 R=3,而 EC ,所以二5 ,CD CDOA CD3

15、54：答案： ADE 60解析：CD= 73, CB=1,由圆哥定理得CD2=CB CA,而3,2,所以2,连接OD,则 OD CD ,在 Rt ODC 中，OD=1 , CO=2 , CD= J3 ,所以 DOC 60 ,而在三角形中，已知，所以有OBD 60°, ADE= ABD=605：答案：MN=1解析：延长交圆于点 D,连接，则 BND=90。,而BD=2 J3, BM 2,由圆哥定理可得 MC MA MB MN ,所以(J3 1)(J3 1) 2MN，所以 MN 16：答案：B2.解析：由圆帚定理可得 PA PC PB ,所以PC 3, BC 2,R 1 ,连接，所ABC

16、 60以三角形是直角三角形，B是中点，所以AB OB OA7：答案：AP 273,AC=3 733.13解析：由圆哥定理可得AP2 PB PD ,所以AP2 J3 (J3 3J3) 12 , AP=2>/3，所以 BP=473，所 AB J48 4 3 6 , AC AB sin 60 =6 近=348 .答案：CDE 60 , CD=13 1解析：设圆心是 O,半径为R,连接与，所以AF+FB=2R，所以FB二R ,又因为 2EF AB , OE=EB,所以 OEB是等边三角形，ABE=60 ,CDE= ABE=60 ,所以 AE=BE tan 60 =273 ,所以 AC= jAE2

17、-CE2=Vi3 ,由圆哥定理得3 1313CD CA=CE CB ,所以 CD= 9 .答案：ce=T7解析：由圆哥定理得 CE2=EB EA=7EB 2 ,而DF FC=FB FA ,所以8=8EB2 , 所以 EB=1 ,所以 CE2=7 , CE=V7-1210 .答案：CE= 解析：由圆哥定理得PC2=PA PB,所以16=8PA,所以PA=2,又因为AB=2R=6 ,一一 _ 一一3 12所以 R=3,所以 CE=PCsin P=4 3 C档（跨越导练）1：答案： PA=3,EC=4解析：依题意根据圆哥定理得 PA2=PB PD,所以PA2=9 , PA=3, PA=PE=3,DE

18、=2 , BE=6，所以 PAC= ABC=60 ，在三角形中，PE=PA，所以三角形是等边三角形， PE=PA=AE=3 ,所以BE=PB-PE=6 , DE=PE-PD=2 ,而弦与相 交于点E,所以BE DE=AE CE ,所以CE=42：答案： DCB=45解析：由相交弦定理CP PO=AP PB,所以 所以 OP=OA, AP=3,连接，则有 OP2+OD2=PD2, BD= J2R ,由正弦定理得 一BD-=2R ,所以sinsin DCBPB=7,所以DCB2R=AP+PB=8, R=4,POD=90 ,然后连接，则DCB是锐角，所以 DCB 453：答案：AB=3 , EF=2

19、33解析：已知 ACB=90 ,根据圆哥定理得 CD2=AD因为AD=2DB ,所以 CD2=2DB2 ,所以 CD= V2, BD=1 ,所以 AB=AD+DB=3 , DE=1 ,所以CE=jCD2+DE2 =眄,又因为 EA EB=EC EF ,所以 EF= 2334.答案：PC二点 PD=377解析：连接 CB ,在 ABC 中，AB=2, AC=1 ,所以 BC=JAB2-AC2 =73 ,CAB 60°,过点B和点C的切线交于点P,所以 PCB= PBC 60°,所以PB=PC=BC=石，在 Rt APB 中，AB=2,PB= J3 ,所以AP=J7,由圆哥定理得PB2 PD PA,所以 PDPB23x7PA 7, 15：答案：sin DCA= 一 3解析：连结BD,OD ,是圆O的直径,ADB 90 ,则 CD2=CB CA ,所以2CA=（2 "2 ,所以 CA=4 ,AB 2 ,所以半径R 1 ,在Rt COD中，OD 1 sin DCA