学而思高中题库完整版排列与组合[1].版块八.排列组合问题的常用方法总结2.学生版

1、1 .基本计数原理加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有 m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种方法，在第n类办法中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有 N m1m2 L mn种不同的方法.又称加法原理.乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n个子步骤，做第一个步骤有 mi种不同的方法，做第二个步骤有 m2种不同方法，做第n个步骤有mn种不同的方法.那么完成这件事 共有N mi m2 L mn种不同的方法.又称乘法原理.加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类 计数原理.如果完成一件事的各个

2、步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事 才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理.分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、 组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用.2 .排列与组合排列：一般地，从n个不同的元素中任取 m(mwn)个元素，按照一定的顺序排成一列， 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.(其中被取的对象叫做元素)排列数：从n个不同的元素中取出 m(m w n)个元素的所有排列的个数，叫做从 n个不同 元素中取出m个元素的排列数，用符号 A：表示.排列数公式： Am n(n 1)

3、(n 2)L (n m 1) , m, n N ,并且 m< n .全排列：一般地，n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列.n的阶乘：正整数由1到n的连乘积，叫作n的阶乘，用n!表示.规定：0! 1 .组合：一般地，从n个不同元素中，任意取出 m (mw n)个元素并成一组，叫做从 n个元素中任取m个元素的一个组合.组合数：从n个不同元素中，任意取出m (m < n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中，任意取出 m个元素的组合数，用符号 Cm表示.m n(n 1)(n 2)L (n m 1) n!组合数公式： Cn - , m,n N，并且 m<

4、;n.m!m!(n m)!组合数的两个性质：性质1:CmCnm;性质2:Cm1CmCm1.(规定Cn1)排列组合综合问题解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：1 .特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；2 .分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做 到分类明确，层次清楚，不重不漏.3 .排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法.4 .捆绑

5、法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那 幺捆元素”内部排列.5 .插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空.6 .插板法：n个相同元素，分成 m（mwn）组，每组至少一个的分组问题把n个元素排成一排，从n 1个空中选m 1个空，各插一个隔板，有 Cm；.7 .分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）.有等分、不等分、部分等分之别.一 般地平均分成n堆（组），必须除以n!,如果有m堆（组）元素个数相等，必须除以m !8 .错位法：编号为1至n的n个小球放入编号为1到n的n个盒子里，每个盒子放一个 小球，要求小球与盒子

6、的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当 n 2, 3, 4, 5 时的错位数各为1,2, 9, 44.关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法 转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题.1 .排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途 径：元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组 合数.求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；

7、然后分析题目条件，避免 选取”时重复和遗漏；最后列出式 子计算作答.2 .具体的解题策略有：对特殊元素进行优先安排；理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏；对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题， 采取插空法或隔板法；顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理；对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面.对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型.板块八.排列组合问题的常用方法总结#.题库2好学铝普 口患青嚎挡板法（名额分配或者相同物品的分配问题）【例1】 某市植物园要在30天内接待20所

8、学校的学生参观，但每天只能安排一所学校, 其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有 种.【例2】 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一 人，名额分配方案共 种.15【例3】 a b c d 有多少项?【例4】 有20个不加区别的小球放入编号为 1, 2, 3的三个盒子里，要求每个盒子内 的球数不少编号数，问有多少种不同的方法？【例5】 不定方程X1 X2 X3 . X50 100中不同的正整数解有 组，非负整数解有 组.【例6】5个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少种不同的带法.板块八.

9、排列组合问题的常用方法总结2.题库3好学包智 日患宜廉【例7】 将7个完全相同的小球任意放入 4个不同的盒子中，共有多少种不同的放法?【例8】一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有 多少种不同的走法.【例9】 有10个三好学生名额，分配到高三年级的6个班里，要求每班至少1个名额，共有多少种不同的分配方案.【例10】某中学准备组建一个 18人的足球队，这18人由高一年级10个班的学生组成, 每个班至少一个，名额分配方案共有 种.【例11】10个优秀指标名额分配到一、二、三3个班，若名额数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？插空法（当需排的元素不能相邻时

10、）【例12 从1,2,3,L ,1000个自然数中任取10个互不连续的自然数，有多少种不同的取法.【例13】某会议室第一排共有 8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，那么 不同的坐法种数为（）A. 12 B. 16 C. 24D. 32【例14 三个人坐在一排8个座位上,若每个人左右两边都有空位,则坐法种数为.板块八.排列组合问题的常用方法总结2.题库5好学官智 日思青廉4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得【例15】要排一张有6个歌唱节目和 相邻，排法种数有 种.【例16】马路上有编号为1, 2, 3, ；10十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同

11、时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法共有 种.（用数字作答）【例17】为配制某种染色剂，需要加入三种有机染料、 两种无机染料和两种添加剂，其中有机染料的添加顺序不能相邻. 现要研究所有不同添加顺序对染色效果的影响，总共要进行的试验次数为 .（用数字作答）【例18】一排9个座位有6个人坐，若每个空位两边都坐有人，共有 种不同的坐 法.【例19】某班班会准备从甲、乙等 7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学 至少有一人参加.当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻.那么不同发 言顺序的种数为（）A. 360B. 520C. 600D. 720【例20】

12、在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序, 有多少中插入方法？【例21】某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按 中“与 不中”报告结果， 不同的结果有多少种.捆绑法（当需排的元素有必须相邻的元素时）【例22】4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种?【例23】四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放 法有 种.【例24】某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校,其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有 【例25】停车站划出一排1

13、2个停车位置，今有8辆不同型号的车需要停放，若要求剩余的4 个空车位连在一起，则不同的停车方法共有 种.【例26】四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有种.（用数字作答）除序法（平均分堆问题，整体中部分顺序固定，对某些元素有顺序限制的排列，可以先不考虑 顺序限制排列后，再除去规定顺序元素个数的全排列.）例27 6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？【例28】6本书分三份，2份1本，1份4本，则有不同分法?【例29】用1, 2, 3, 4, 5, 6, 7这七个数字组成没有重复数字的七位数中，若偶数2, 4, 6次序一定，有多少个？若偶数2, 4, 6

14、次序一定，奇数1,3, 5, 7的次序也一定的有多少个?【例30】一天的课程表要排入语文，数学，物理，化学，英语，体育六节课，如果数学必须排在体育之前，那么该天的课程表有多少种排法？【例31】甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有（）A. 20种B. 30种C. 40种D. 60种【例32】某考生打算从7所重点大学中选3所填在第一档次的3个志愿栏内，其中A校定 为第一志愿，再从5所一般大学中选3所填在第二档次的3个志愿栏内，其中 B,C校必选，且B在C前，问此考生共有 种不同的填表方法（

15、用数 字作答）.递推法【例33】一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法？用转换法解排列组合问题【例34】某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报 告结果，不同的结果有多少种.例35 6个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少钟不同的带法.【例36】从1, 2, 3,，1000个自然数中任取10个不连续的自然数，有多少种不同 的取法.【例37】某城市街道呈棋盘形，南北向大街 5条，东西向大街4条，一人欲从西南角走 到东北角，路程最短的走法有多少种.【例38】一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶, 共有多少种不同的走法.板块八.排列组合问题