如何求平面直角坐标系中三角形的面积

1、如何求平面直角坐标系中三角形的面积平面直角坐标系中的三角形，根据其位置的不同，我们可以将 其分为两大类：第一类，三角形有边在坐标轴上或与一条坐标轴平 行；第二类，三角形中没有边在坐标轴上或与一条坐标轴平行。下 面，我们就这两种情况来分析平面直角坐标系中三角形面积求法。先看第一种情况: 三角形有边在坐标轴上如图， ABC三个顶点坐标分别为 A(-2,0),B(4,0),C(3,4咸ZXABC的面 积。很明显，可以直接利用三角形面积公式求解:11Sabc=- ? AB ? h=6 422=12 三角形的一边与一条坐标轴平行如图， ABC三个顶点坐标分别为 A(-1,2),B(-1,-1),C(2,

2、4)求4ABC的 面积。这种情形，与相比，只需利用顶点坐标求出底边 AB长及AB边 上的高h的值，再代入三角形面积公式求解即可：一 11 一- 9&abc=?AB?h= 3 3 222以上与是坐标系中求三角形面积问题的基础。位置无此 特殊性的三角形可转化为该情况后再求解。再看第二种情况：三角形中没有边在坐标轴上或与一条坐标轴平行。例1:已知 ABC三个顶点的坐标分别为：A(1,2), B(4,6), C(2,g), 求这个三角形的面积分析：如果用三角形面积公式进行求解，知道点的坐标，容易求得 线段的长度，底的问题解决了，但底边上的高呢？有点麻烦。我们 不妨试试下面的方法。方法一：求差法

3、17分别过点A、B、C作x轴、y轴的平行线，则所求三角形的面积 ?111c.1/31c11ABC=S 矩形 BDEF-S ADB-S AEG$ BCF=3一 一341一一2一222222方法二：求和法过点C作y轴的平行线交AB边于点M,将原三角形化作有边与一 条坐标轴平行的问题来解决。易知所求三角形面积_111c，&abc=&amc+Sbmc= ?MC ?h?MC ?h2?MC ?(h1 h2) =2221八一 ?MC ?PQ 2其中，线段PQ的长度可由A、B两点的横坐标求得，线段MC的长 度需知道点M与点C的纵坐标，所以，接下来主要是求得点M的坐标的问题。因为点M在直线AB上

4、，还知道其横坐标，所以可以 先求得直线AB的解析式，代入其横坐标求得其纵坐标。即： 设直线AB的解析式为y=kx+b,将A、B两点坐标分别代入得k b4k b2 a 解得64323当 x=2 时，y=103:点m的坐标为(2,130)12) (4 1)174_ 110ABC=1 (1023掌握了以上两种类型三角形面积的求法，就可以挑战综合题了：例：如图，已知抛物线y=a*+bx+c经过点A(-3,2), B(0,-2),其对称轴为直线x=5, C (0, 1)为y轴上一点，直线AC与抛物线交于另 2 '2一点Do(1)求抛物线的解析式；(2)试在线段AD下方的抛物线上求一点E,使彳4N

5、ADE的面积最大，并求出最大面积;刀析，9q-3b+c=2(1)根据题意得 C=-2，、2a 21°，解得,5 ,6 = "6、C = -2所以抛物线的解析式为k1 x2- f x-2； 66作EPy轴交AD于点P,如图：设直线AD的解析式为y=mx+n,把A (-3, 2) , C (0, 1)分别代入得3m+ n = 01 ，n =2解得2 ,n= 2所以直线AD的解析式为y二-,解方程组(x 3 3=2( 1 2 5 9 y=-x x2 66) 1 15=一户，1j v = 5或 一I g= 2则D (5, -2),设 E(X,x2-1 -2) (-3<x<5),则P66(X, -1x+A PE=_ Ix+ r( Ix2- I-2)=_ Ix2+1SAAED=SAAEP+SADEP= (5+3),(_ &