导数与微分练习题

1、第二章 导数与微分第一节导数概念一.填空题1 .若 f(X0)存在，则 limx0x) f(X0)= x 0x2 .若 f(x0)存在、lim f(x0 h) f(x0 h)=.h 0hlimBx 03 x)f(x0)x3.设 f (x0)2,贝U limx 0 f(x0 2x)f (x0)4 .已知物体的运动规律为s t t2(米)，则物体在t 2秒时的瞬时速度为5 .曲线y cosx上点(一，1)处的切线方程为 ,法线方程为 326 .用箭头？或？表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系，可微 可导 | 连续极限存在、选择题设 f(0) 0且 f (0)lim%x 0 x(A)

2、(x)B) f (0)(C)f(0)(D)1f(0)22.设f(x)在x处可导,a , b为常数,limx If(x a x)f(x b x) x(A)f (x)( B)(a b) f (x)(C)(ab)f (x)(D)f (x)3.函数在点xo连续是在该点xo可导的条件(A)充分但不是必要(B)必要但不是充分(C)充分必要(D)即非充分也非必要4.设曲线y2在点M处的切线斜率为3,则点M的坐标为(A) (0,1)(B)(1,0)(C) ( 0,0)(D)(1,1)5.f(x) |sinx| ,则f (x) 在 x 0 处(A)不连续。(C)可导，但不连续。(D)可导，且导数也连续。(B)连

3、续，但不可导。4.wln(sect tant), w2三、设函数f(x) x ax b1，一一 一一 ， 一1为了使函数f(x)在,y = 1处连续且可导，a, b应取什么值。四、如果f(x)为偶函数，且f (0)存在,证明f (0)=0。五、证明：双曲线xya2上任一点处的切线与两坐标轴构成三角形的面积为定值。第二节求导法则(一)、填空题1.(2 secx)sin x ,4.sin xy e , y =2.cos(2ex) , y =sin 2x3.In tan,24-r xlog2x In 2, r/ 2、y arccos(x x), y5.( 1 x2)1 x2 cxl6. In tan

4、 2ln(x1 x2) c选择题y=sin xxsin x cosx2x(B)xcosxsin x(C)sin x xsin x2x(D)3x3cosx2 _x sin x2.y=sin x1 cosx(A)cosx2cosx2cos x1(B)1 cosx2 cosx(C)1 cosx(D)cosx3.xseceA)x x , e sece tan e(B)x , xsece tane(C) tan ex(D) excotxe4.已 知 y ln(x布X2), 则(A),1(B)(C)(D)5.In cot x(A)1(B) 2(O1/2(D)6.(A)2(x 1)2(B)2_ (x 1)2

5、(C)2x(x 1)2(D)2x(x 1)2三、计算下列函数的导数：(1) y ln(3 x) 3 In x(2)sin21(3) u e v(4 )(5) y ln(x .1 x2)(6)y tan(ln x)3、y sec (ln x)arctan11四、设f(x)可导，求下列函数y的导数5dx(1) yf(ex)ef(x)(2) y f (sin2 x)f (cos2 x)(3) y arctanf(x)(4)y f (sin x) sinf(x)第二节求导法则(二)一、填空题:x1. y e 2 cos3x , y;y . 1 ln2 x , y 2.y1arccos- , yxarx

6、 tan xe , y3 . y2 sin x 1arcsin, y2 sin x4 .设arctanex In2x e2xex 25 .设 y (x e 2)3 ,则 y |x o 6 .设f(x)有连续的导数，f (0) 0 ,且f (0) b ,若函数f (x) a sin x -F(x), x 0 xA , x 0在x 0处连续，则常数A = 、选择题:f(x)(A) f (x)(B)f (x)(C) f ( x)(D)x)f(x)在）可导，周期为4,lim0f(1) f(1 x)2x1,则曲线f(x)占八、(5,f (5)(A)(B) 0(Q(D)3.1y - arctan-212x

7、-2 x(A)(B)1 x2(C)1x2 1(D)4.y arcsin(xlnx)(A) ln x(B)xln x2(C)1 (xln x)1 ln x11 (xln x)2(D)1 (xlnx)2In x 1三、已知 y f 3x-2 , f (x) arctan x2 求： dy |x 0 3x 2dx四、设x 0时，可导函数f(x)满足：f (x) 2f (-)求f(x) (x 0) x x五、已知(x) af2(x),且 f(x) 1一,证明：(x) 2 (x) In a f (x)六、证明：可导的奇函数的导数是偶函数。第三节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数一、填空题1 .设 y

8、1 xey ,贝U y =：2 .设 r tan( r),贝U r =.3 .设 ln/x2 y2arctan、，则 y = 。x4 .设x八爪，则出二 , dy| = 。y e cost dxdx t 号二、选择题1 .由方程sin y xey0所确定的曲线y y(x)在(0, 0)点处的切线斜率为 (A)1(B) 1(C) 1(D)2122 .设由方程xy2 2所确定的隐函数为y y(x),则dy =(A)工dx(B) Xdx(C)¥dx(D) “x2x2xxx3 .设由方程x y -siny。所确定的隐函数为y y(x),则业= 2dx(A) 2(B)(C) (D)2 cosy

9、2 sin y2 cosy2 cosx4.设由方程x a(t卷所确定的函数为y y(x)，则在t a处的导数为 (A)1(B)1(C) 0(D)1 25.设由方程x 1nWR所确定的函数为y y(x),则包y arctantdx(A) 12(B) 12ttt.三、求下列函数的导数dy dx2221.x3 y3 a：2.3. y x2y3 yex 1 04.四、求曲线x ex sin1 0在y 3 20一、填空题1 .设 r cos，贝 U r =2 .设 y ln(x v1 x2)Uy =（C）J；31 x a cos t y asin31y , xsinx P1 ex0处的切线方程，法线方程

10、第四节高阶导数3 若 y f (t2 ),且 f (t)存在，则= dtr =.,y =d2y =，dt24 .设 y 1 xey，贝U y =,y =5 .设x f，且dy1，则。=。y t arctgt dx 2 dx6 .设 y xn e2x1,则 y =7 .设 f(x) x(x 1)(x 2)H(x 2014),则 f(0)=二、选择题1 . 若 y x2inx ,则(A)2ln x(B)2ln x(C) 2lnx 2(D)2ln x2 .设 y f(u) , u ex(D)(A) e2xf (u)(B) u2f (u) uf (u)(C) e2 f (u) u f (u) uf(u

11、)3.设y sin 2 x则(A) 2n1sin2x(n1)2(B)(C) 2n1sin2x (n 1)(D)2nsin2x (n 1)224. 设y xex,则y(A) ex(x n)(B) ex(x n)(C) 2ex(x n)(D) xenx三、设f (x)存在，求下列函数y的二阶导数 吗dx1 - y f (ex)2 . y lnf(x)四、求下列函数y的二阶导数d-ydx( x a cost1.y bsint2. arctany ln , x2 y2 x五、设y ，求y2x 3第五节函数的微分已知y x2 x ,计算在x 2处(1)当 x 0.1 时，y , dy=当 x 0.001

12、 时，y =,dy =。二.(1)函数y arcsinjl x2在x1处的一*次近似式为2(2)函数y excos(x 1)在x 0处的一次近似式为 (3)计算近似值4 83 _三.填空(求函数的微分)1、d(2 2sin )=2、d (ln(cos、- x) = d x3、d(ln2(1 x)=4、d (In secx tan x) =1、5、d (f (arctan -) = x6、d(sin x) d(cos x)ddsinx_7 、, 2=dx x8d/ 369、一3 (x2x x ) dx四.将适当的函数填入下列括号内，使等号成立。(1). xdx d();.sin(3x 2)dx

13、d ()；(3).(3x2 2x)dx d ()； (4).1(5).dx d( )；(6).a x2c(7) . e d(x ) d (cos(2x)dx d ()一1.一(9).q=2dx=d () ；(10).1 x五.求下列函数或隐函数的微分22(1) .。4 1,求 dya b(2) . y x arctan y ,求 dy.y xsinx,求 dye 2xdxd ();1一，、-一;dx d( );2x 3);(8 )ln x .dx d(); x第二章综合练习(一)-、填空题f(x h) f(x h) 21 .设 f(x)存在，a 0 为常数，则 limaa- =- f'

14、(x) oh 0ha2 .若抛物线y x2 bx c在点(1, 1)处的切线平行于直线y x 1 03 .若 f(x)可导，且 y f (e sin )，贝lj y = . (cos e ) f'(e sin )4 .若 x f2,且曳2t,则吗=2 2t2 .y ln(1 t2)dxdx2 5 .若 xy ey2 x 0 ,贝U dy 一1一y-ydx . x 2yey6 .若 y ue u 贝Uy(100)=(u 100)e u .二、选择题1 .若 f( x) = f(x),且在(0, oo)内 f (x)>0, f (x)< 0,贝U f(x)在(-巴0)内A (A

15、) f (x)< 0, f (x)< 0(B) f (x)< 0, f (x)> 0(C) f(x)>0, f (x)< 0(D) f(x)>0, f (x)> 02 .设函数f(u)可导，y f(x2)当自变量x在x 1处取得增量x 0.1时，相应地函数增量y的线性主部为，则f (1)D (A)1(B)(C) 1(D)3 .设f(x) (x 1) arcsin q,则x x 1C 4(A) f (1) 0(B) f (1) 1(C) f (D) f (1)不存在2.x .ln tan - cosx ln tanx2(A) cosxlntanx(

16、B) sin xln tanx(Q sin xln cotx(D)tanxln tanx.y (0).三、设函数y y(x)由方程ey xy e所确定，求解：方程两边对x求导得:eyy' y xy' 0y'yx eyy''y'(x ey) y(1 eyy')(xy2 e )yey 2xeyy3(x e )当x 0,得y 1.所以y''(0)1""2 e四、求下列由参数方程所确定的函数的一阶导数崇及二阶导数3 acos_ . 3 asin1 x ln '1 t2 y arctan tdydx2 d

17、t2 dtdy dx3a sin2«2:3a cos (cossin )tand2y dx2d dy我 (dx)d 1 dtdt()t dxd2y dx2dxd(tan d1t1 t21 t22 sec13acos2 sin五、设yxex ,用对数求导法求dydx解：函数两边取对数得：ln y ex ln上式两边对x求导得1一y' yex In所以dydxy (eInexx (ex In xx-)13ax-)x4 seccscg(x)= 丫 x 0在Ax 0)内连续高等数学练习题 第二章导数与微分系 专业 班 姓名学号第二章综合练习(二)一.填空题1.设 f(x)存在，则 l

18、imhf(x -) f(x) = f'(x). hh, axbaxbaxbaxb aba4. y= (-) (-) (一)，dy =(-) 小； dxb x ab x a b x)=(2 3x ln3)dx ,d(f (In x) c )dxf (ln x).xuvdv =u v v edu _u v euu vu vdue udvv eo二.选择题f(x)(A)f (x)(B)f (x)xx ln(C)f (x)xx(ln1)(D)f (x)2.(A)limx af(x) xf(a) a(B), limxf(a)of (axa) f(a).（D）啊f(a 2) f(a 今s3. 设f (cos x) cos(f(x)f (cosx) sin x sin(f(x)f (x)f (cosx) cos(f(x) f (cosx) sin(f(x)(C)f (cosx) sin x cos(f (x) f (cosx) sin( f(x) f (x)(D) f (cosx) cos(f(x) f (cosx) sin(f(x) f (x)4.设f(x)具有任意阶导数，且f(x) f(x)2 ,当，严(x)A (A) n!f(x)n1(B)nf(x)n1( C) f(x)2n(D) n!f(x)2n,1c