高等数学微分方程的基本概念教学

1、第六章第六章 常微分方程常微分方程第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 1第六章第六章 常微分方程常微分方程 第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程第三节第三节 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程第四节第四节 二阶线性微分方程解的结构二阶线性微分方程解的结构 第五节第五节 二阶常系数线性齐次微分方程二阶常系数线性齐次微分方程第六章第六章 常微分方程常微分方程第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 2第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 一一. .问题引入问题引入二二. .微分方程的定义微分方程的定

2、义 本节主要内容本节主要内容: :三三. .求微分方程的解求微分方程的解第六章第六章 常微分方程常微分方程第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 3 在力学、物理学及工程技术等领域中为在力学、物理学及工程技术等领域中为了对客观事物运动的规律性进行研究，往往了对客观事物运动的规律性进行研究，往往需要寻求变量间的函数关系，但根据问题的需要寻求变量间的函数关系，但根据问题的性质，常常只能得到待求函数的导数或微分性质，常常只能得到待求函数的导数或微分的关系式，这种关系式在数学上称之为微分的关系式，这种关系式在数学上称之为微分方程。方程。第六章第六章 常微分方程常微分方程第一节第一节 微分方

3、程的基本概念微分方程的基本概念 4例例1 1 一曲线过点一曲线过点(0, 0)，且曲线上各点处的切线斜率等，且曲线上各点处的切线斜率等于该点横坐标的平方，求此曲线方程于该点横坐标的平方，求此曲线方程解解 设所求曲线的方程为设所求曲线的方程为y=y(x)(x,y)为曲线上的任意点，在该点曲线的切线的为曲线上的任意点，在该点曲线的切线的斜率为斜率为y,依题意有：依题意有：两边积分，得两边积分，得313yxC (2)2yx (1)一、问题引入一、问题引入第六章第六章 常微分方程常微分方程第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 5上式表示的是曲线上任意一点的切线的斜率为上式表示的是曲线上任

4、意一点的切线的斜率为x2的所的所有曲线但要求的是过点有曲线但要求的是过点(0,0)的曲线，即的曲线，即331xy 将将(3)式代入式代入(2)式，得式，得C = 0，所以，所以 x = 0时，时， y = 0 (3)为所求的曲线方程为所求的曲线方程 第六章第六章 常微分方程常微分方程第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 6例例2 一物体由静止开始从高处自由下落，已知物体一物体由静止开始从高处自由下落，已知物体下落时的重力加速度是下落时的重力加速度是g ，求物体下落的位置与时间，求物体下落的位置与时间之间的函数关系之间的函数关系。解解 设物体的质量为设物体的质量为m,由于下落过程中

5、只受重力作用由于下落过程中只受重力作用,故物体所受之力为故物体所受之力为F = mg，第六章第六章 常微分方程常微分方程第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 7 22ddsat ,所以所以及加速度及加速度又根据牛顿第二定律，又根据牛顿第二定律， F = ma 22d,dsmm gt 22ddsgt 即即(5)第六章第六章 常微分方程常微分方程第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 8两端积分得两端积分得 1ddsgtCt (6)现在来求现在来求s与与t之间的函数关系，对之间的函数关系，对(5)式式21212sgtCCd0,0dssvt 由题意知由题意知 t = 0 时

6、，时，(8)这里这里C1，C2都是任意的常数都是任意的常数(7)再两端积分，得再两端积分，得第六章第六章 常微分方程常微分方程第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 9C1 = 0 , C2 = 0. 故故(7)式为式为把把(8)式分别代入式分别代入(6)，(7)式，得式，得212sgt (9)这就是初速度为这就是初速度为0的物体垂直下落时距离的物体垂直下落时距离s与时间与时间t之间的函数关系之间的函数关系 第六章第六章 常微分方程常微分方程第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 10微分方程微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程凡含有未知函数的导数或微分

7、的方程叫微分方程.例例,xyy ,32xeyyy , 0)(2 xdxdtxt实质实质: 联系自变量联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数未知函数以及未知函数的某些导数(或或微分微分)之间的关系式之间的关系式.二、微分方程的定义二、微分方程的定义20,0yxyxdyydx 2231yyyx 第六章第六章 常微分方程常微分方程第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 11分类分类1:按自变量的个数，分为常微分方程和偏微分方程按自变量的个数，分为常微分方程和偏微分方程.都是常微分方程；都是常微分方程；如如 y= x2 , y+ xy2 = 0 , 如果其中的未知函数只与一个自变量有关

8、，就如果其中的未知函数只与一个自变量有关，就称为称为常微分方程常微分方程。(4)4 4xyyyxe 第六章第六章 常微分方程常微分方程第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 12就是偏微分方程；就是偏微分方程； 如果未知函数是两个或两个以上自变量的函数，如果未知函数是两个或两个以上自变量的函数，并且在方程中出现偏导数并且在方程中出现偏导数如如2222220uuuxyz 本章我们只介绍常微分方程。本章我们只介绍常微分方程。第六章第六章 常微分方程常微分方程第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 13微分方程的阶微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的微分方程中出现的未知

9、函数的最最高高阶导数的阶数阶导数的阶数.222d, 2 31dsg yyyxt 都是二阶微分方程都是二阶微分方程.都是一阶微分方程；都是一阶微分方程；如如 y= x2 , y+ xy2 = 0 ,xdy + ydx = 0(4)4 4xyyyxe 是四阶微分方程；是四阶微分方程；等等等等二阶及二阶以上的微分方程称为二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程高阶微分方程.第六章第六章 常微分方程常微分方程第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 14分类分类2:按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二阶和高阶微分方程二阶和高阶微分方程一阶微分

10、方程一阶微分方程, 0),( yyxF);,(yxfy 高阶高阶(n)微分方程微分方程, 0),()( nyyyxF).,()1()( nnyyyxfy第六章第六章 常微分方程常微分方程第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 15微分方程的解微分方程的解: :代入微分方程能使方程成为恒等式的函数代入微分方程能使方程成为恒等式的函数. 微分方程的解的分类：微分方程的解的分类：(1)(1)通解通解: : 微分方程的解中含有任意常数微分方程的解中含有任意常数, ,且且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同. .三、主要问题三、主要问题求方程的解求

11、方程的解含有几个任意常数的表达式，如果它们不能合并而使含有几个任意常数的表达式，如果它们不能合并而使得任意常数的个数减少，则称这表达式中的几个任意得任意常数的个数减少，则称这表达式中的几个任意常数常数相互独立相互独立独立的任意常数的个数独立的任意常数的个数= =微分方程的阶数微分方程的阶数第六章第六章 常微分方程常微分方程第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 16不能合并的，即不能合并的，即C1，C2是相互独立的是相互独立的例如例如y = C1x + C2x + 1 与与 y = Cx+1 (C1,C2，C都是任意常数）所表示的函数族是相同的，都是任意常数）所表示的函数族是相同的

12、，因此因此y = C1x + C2x + 1中的中的C1，C2是不独立的；是不独立的；而而 中的任意常数中的任意常数C1，C2是是21212sgtCC 第六章第六章 常微分方程常微分方程第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 17, yy 例例;xcey 通解通解, 0 yy;cossin21xcxcy 通通解解(2)特解特解: 确定了通解中任意常数以后的解确定了通解中任意常数以后的解.初始条件初始条件: 确定任意常数取固定值的条件确定任意常数取固定值的条件.第六章第六章 常微分方程常微分方程第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 18解的图象解的图象: : 微分方程的

13、积分曲线微分方程的积分曲线. .通解的图象通解的图象: : 积分曲线族积分曲线族. .初值问题初值问题: : 求微分方程满足初始条件的解的问题求微分方程满足初始条件的解的问题第六章第六章 常微分方程常微分方程第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 19二阶微分方程的定解条件通常是二阶微分方程的定解条件通常是x = x0时，时，y = y0、y = y0或写成或写成00 x xyy 00 xxyy 或或本章讨论的一阶微分方程本章讨论的一阶微分方程 ，f(x,y)表示表示x,y的关系式），它的定解条件通常是的关系式），它的定解条件通常是x=x0时，时，y=y0或写成或写成( , )yf

14、 x y 0 x xy 第六章第六章 常微分方程常微分方程第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 20把把y和和y代入微分方程左端得代入微分方程左端得12 sincosyCxCx 12cossinyCxCx 1212cossincossin0yyCx Cx Cx Cx 解解12cossinyCxCx 又又例例3 验证验证 是微分方程是微分方程 的的通解并求此方程满足初始条件通解并求此方程满足初始条件12cossinyCxCx 0yy ()1, ()144yy 的特解。的特解。第六章第六章 常微分方程常微分方程第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 210yy12sincosyCxCx 是该微分方程的通解是该微分方程的通解.是二阶的，所以是二阶的，所以方程方程()1, ()144yy 代入初始条件代入初始条件得得12212212222122CCCC 中含有两个独立的常数，而中含有两个独立的常数，而第六章第六