(完整word版)数列题型及解题方法归纳总结

1、文德教育数列的应用分期付款 i其他知识框架f数列的分类数列 的概念!数列的通项公式函数角度理解数列的递推关系等差数列的定义 an an=d(n之2) 等差数列的通项公式an =a1 + (n -1)d等差数列等差数列的求和公式Sn =n(a1 +an)=na1 +吗jl)d等差数列的性质 an+am = ap + aq (m + n = p+q)两个基 本数列4等比数列的定义工=q(n之2)an _1等比数列的通项公式an =a1qn等比数列Ja1 - anq _ a1 (1 1q )1等比数列的求和公式Sn =41 q 1 -q (q k )1lna(q =1)，等比数列的性质 anam =

2、apaq (m +n = p +q)公式法分组求和数列J 求和错位相减求和 裂项求和 倒序相加求和数列累加累积、归纳猜想证明 求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可 能在高考中顺利地解决数列问题。一、典型题的技巧解法1、求通项公式(1)观察法。(2)由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。(1)递推式为an+i=a+d及an+i=qan (d, q为常数)例1、 已知an满足an+i=an+2,而且ai=1。求an。例1、解.an+1-an=2为常数，an是首项为1,公差为2的等差数列1. an=1+2

3、 (n-1 ) 即 an=2n-11一例2、已知an满足an书=an ,而a1 = 2 ,求an = ?2解二弧一；是常数12，1%是以2为首项，公比为1的等比数列-(2)递推式为 an+1=an+f (n)11例 3、已知an中 a1 =，an+ = an +2，求 an. 12 n 1 n 4n2-1一 ，一一1111斛： 由已知可知 an十- an=()(2n 1)(2n -1)2 2n-1 2n 1令 n=1, 2, , (n-1 ),代入得(n-1 )个等式累加，即(a2-a 1) + (a3-a2)+掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、+ ( an-a n-

4、1 )ii文德教育1*1 、4n-3an =ai -(1-;);-;2 2n -1 4n -2 说明 只要和f (1) +f (2) +f (n-1)是可求的，就可以由 an+1=an+f (n)以n=1, 2,，(n-1)代入，可得 n-1个等式累加而求 an。 (3)递推式为an+1=pa+q (p, q为常数)例 4、an中，a1 =1,对于 n>1 (nCN)有an=3an+2 ,求 an .解法一：由已知递推式得 an+1=3an+2, an=3an-1+2。两式相减：an+1-a n=3 (an-an-1)因此数列an+1-a n是公比为3的等比数列，其首项为a2-a 1=

5、(3X 1+2) -1=4an+1-an=4 " 3an+1=3an+23an+2-a n=4 , 3 即 a n=2 , 3 -1解法二：上法得a n+1-a n是公比为3的等比数列，于是有：a2-a产4, a3-a 2=4 3 a4-a3=4 - 3 ,，an-a n-1=4 - 3 -,把 n-1 个% 者=4 (冉3 + 3叫+冽。=彳?an=2 - 3n-1-11 - 3(4)递推式为an+1=p an+q n (p, q为常数)【例5】已知a用药二，%产1+(；)叫求知。略解 在小血的两边乘以2呻导2n+L * an+1 = -(2%) +1,令勾=2%二一一二 2nbn

6、+22(4 -切口)由上题的解法，得：4=3 - 2(2)n ，33an ¥=3g)n.20n*说明对于递推式可两边除以产1，得黑二 q2 + L弓|辅助数列g, (bM),得履切=+ 1后用 q q qQnq q(5) 递推式为 2门卡=pan+qan思路：设 an42 = pan 书+ qan,可以变形为：an 也一C(an41 = P (an书a an),Q + B - p就是y=Cq + 8)则可从L 二P解得q,兄Q p =-qi于是an+1- “ an是公比为3的等比数列，就转化为前面的类型。211例6已知数列&中,为=1,%=2, ant2=-an+1+-an,

7、 55 求an °21a + p =p u + 3 =5分析n.R'=1a.qj2"餐解 在Ma =5+铲门两边减去% ，得文德教育15* * d+i-%是公比为首项为为=1的等比数列。产（一«；）”,+ （,4 = 1+孤-（-；）（6）递推式为S与an的关聚式数列求和的常用方法:1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数 列求和。2、错项相减法：适用于差比数列（如果an等差，bn等比，那么anbn此类型可利用4Cn = l)【例7】设%）前n项的和5.=4-卬-。求a应与y的关系;（2）试用n表示an。°叫做差比数列）

8、即把每一项都乘以bn的公比q,向后错一项，再对应同次解（1）由乂=4-泣=4 -cc / / 1Sn 1 - Sn - (a n - an 1 ) ( 2 n 2n 一击得_ 1H+1 nft-1)2n 4)项相减，转化为等比数列求和。3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几 项，可求和。1，适用于数列1和个an an .1)(其中an等差).an . . an .1可裂项为：an 1 =an -an 1 .黄an an-i(，d an,), an ,1_1. _1an1 - 2 an 2n上式两边同乘以2n+1得2n+1an+i=2nan+2则2 nan是公差为2的

9、等差数列。2nan= 2+ ( n-1 ) 2=2n等差数列前n项和的最值问题：1、若等差数列an的首项ai >0 ,公差d <0 ,则前n项和&有最大值。an _0(i)若已知通项an,则Sn最大U nan 1 o 0(ii)若已知Sn = pn2+qn,则当n取最靠近q-的非零自然数时Sn最 2p大；2、若等差数列4 的首项ai <0 ,公差d A0 ,则前n项和Sn有最小值4 、an -0(i)若已知通项an,则Sn最小U n nani -02q(ii)右已知 Sn = pn +qn ,则当n取最靠近的非零自然数时 Sn最 2p小；数列通项的求法：公式法：等差数

10、列通项公式；等比数列通项公式。已知Sn (即ai+&+|lt+an = f(n)求an ,用作差法=&，(n=1)nSn -Snu,(n 之2)f (1),(n =1)已知 a1 La2an =f (n)求 an ,用作商法：an =« f(n)f(n-1),( - )已知条件中既有 &还有小，有时先求Sn,再求小；有时也可直接求20。 若an由一 an = f(n) 求an用 累 加 法an = (an - an)(an- an/) IH (a2-a1)+a (n >2) o已知亘'=f (n)求an ,用累乘法：an = -a工，亘川 三 (

11、n之2)。ananan_2a1已知递推关系求 an ,用构造法(构造等差、等比数列)。特别地，(1)形如an =kan+ b、an = kan+ bn (k,b为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an ；形如an = kan+ kn的递推数列都可以除以 kn得到一个等差数列后，再求an °a(2)形如an = an的递推数列都可以用倒数法求通项。kanbk(3)形如an由 = an的递推数列都可以用对数法求通项。(7)(理科)数学归纳法。(8)当遇到an书an_, = d或亘土 = q时，分奇数项偶数项讨论，结果可 an 1能是分段形式。数列求和的常用

12、方法：(1)公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式。(2)分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和。(3)倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前n和公式的推导方法）.（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前 n和公式的推导方 法）.（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：

13、“111n 之 2时，一a1+Fa2 + an=2n 1+5222 一一/- r 1<1><2> 得:支 an=2.anW1 =1 n(n 1) n n 1n(n k)4(n-八11111-2 :二-=()k2k2 -12 k -1 k 11111111一=< 2 < = 一；k k 1 (k 1)k k2 (k -1)k k -1 k1n(n 1)(n 2)(n 1)(n 2)n(n 1)!11;n! (n 1)! 2d、.n)2一.2.n 、n 1、n . n n -1=2( . n ：/n T)14 (n = 1)一 an =n书2 (n_2)练习1数

14、列an>满足 Sn+Sn+="5an由，a1 = 4,求 an3S(注意到an+=Sn+ - Sn代入得： ' =4Sn、解题方法:求数列通项公式的常用方法:1、公式法2、由Sn求an又S1 =4, . Sn是等比数列，Sn=4n n*2时，an =Sn Sn=3 4n4、叠乘法例如：数列匕/中，a1=3,包出=,求anan n 1(n =1时，a1 S1 , n 之 2时，an =Sn Sn)3、求差(商)法如： Qn 满足 1al+a2 + +an =2n +5<1 >2222n1斛：n = 1时，a1 = 2 1 . 5, a1 = 142解：也.曳a

15、 =.2止J包a1 a2an 2 3 na1n又a=3, 3=一n5、等差型递推公式由an -an=f(n), a1 =ao,求an,用迭加法.ann 之2时，a2 -a1 =f(2)a3 - a2/f(3)两边相加,得:.anc -1c-1n1, can -an J,二f(n)an -凡=f(2) f(3)f(n)练习1-an =a。 f(2) f(3)f(n)练习1数列an, a1 =1, an = 3n' +an2 2 ),求 anSn =2一16、等比型递推公式an=can+d(c、d为常数,c#0, c#1, d#0)可转化为等比数列，设 an X = c and X=an

16、= can 4 c-1 X令(c - 1)x = d, xan ）是首项为a1十-1c为公比的等比数列ra1c -1n-1dc - 一c-1数列an满足a1 = 9,求an(an4=8 -7、倒数法例如：a1由已知得:3,1,an 1 an 1)an -1an 12anan 22an求an1 A,I2为等差数列, an1,公差为an11=1 +(n -1) 一 = (n + 1)22n项和公式求和，另外记住以an2.数列求和问题的方法(1)、应用公式法等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前 下公式对求和来说是有益的。,、,口 8+1)1 + 2 + 3+n=多221 + 3 + 5+ +

17、(2n-1)=n2 . 2 . 2 . 2n(n+l)(2n +1)la+22 + 33 + +na =-913+23+?+/=旦磬匕【例 8】 求数列 1, (3+5), (7+9+10), (13+15+17+19),前 n 项的和。. 一 ，,1 ,解本题头际是求各奇数的和，在数列的刖n项中，共有1+2+-+n=-n(n+1)2个奇数,(2)、分解转化法对通项进行分解、组合，转化为等差数列或等比数列求和。【例 9】求和 S=1(n2-1) + 2 (n2-2 2) +3 - (n2-3 2) + +n(n2-n2) 解 S=n 2 (1+2+3+n) - (13+23+33+M)=n2

18、,n (n +1) -工口。(n + 1)工 24=(口+ 1) (n - 1)=，(口=1)(3)、倒序相加法适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列，采取把正着写与倒 着写的两个和式相加，然后求和。例 10、求和：Sn = 3C：+6C：+III 十 3nCnn例 10、解 Sn =0-cO+3Cn+6C2+| 十 3nCn又一 =3n. + 3 & -1) C丁】+ +0C： 相加，且运用Ct = C：k可得2sti = 3n © +C： + +C：) = 3n * 2n，最后一个奇数为：1+ 1 n(n+1)-1 x2=n2+n-12因此所求数列的前n项的和

19、为1 r 、1 + (n3 +n -1)Sn=-n (n + 1) - J二 (r? (n + 1) 2CSn=3n - 2n-1(4)、错位相减法如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的，可把和式的两端同乘以上面的等比数列的公比，然后错位相减求和.例 11、 求数列 1, 3x, 5x2, ,(2n-1)x n-1 前 n 项的和.解 设 $=1+3+5x2+(2n-1)x n-1 .当xl时，s宜J"： D * 口二(2)x=0 时，Sn=1.J 当xw0且xwl时，在式两边同乘以 x得xS n=x+3x2+5x3+(2n-1)x n,-，得(1-x)S n=1

20、+2x+2x2+2x3+ +2xn-1 -(2n-1)x n.由公式知S. =q- 1 + 1 - 1)切1翼If1 + x - (2n 4 1)五推 + (2n - l)xn+l= '(5)裂项法：把通项公式整理成两项(式多项)差的形式，然后前后相消。常见裂项方法：11 ri 1 1n(n + k) k n n + k11I1L'n(n + l)(n + 2)2 n n + 1 n+2而dk 9g叫一 一 1111例 12、求和+| 1 *5 3 *7 5 *9(2n -1)(2n 3)M田加 1111例3 求不口+ " +1，5 3 , 7 5 9(2n-l)(2

21、n+3)I 1 1 1II (2n-1)(2 口+ 3) 4、2口-1 2口+ Y"III 1+ , , +a 4l 5 3 7 5 92n-3 2n +1 2n -1 2n + 3111 r-r i +4l 3 2n + l 2n+ 3 n(4n+5)- 3(2n +1)(2口+ 3)注：在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪些项，一般地剩下的正项与 负项一样多。在掌握常见题型的解法的同时，也要注重数学思想在解决数列问题 时的应用。二、常用数学思想方法1.函数思想运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决。【例13】等差数列an的首项ai>0,前n项的和为 氢 若S=8 (l wk)问n为何值时Sn最大？解依题意,设f (口)= =口软1 + fl" d此函数以n为自变量的二次