必修4平面向量数量积考点归纳

1、“平面向量”误区警示“平面向量”概念繁多容易混淆，对于初学者更是一头雾水.现将与平面向量基本概念相关的误区整理如下.向量就是有向线段解析：向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.有向线段是向量的一种表示方法，不能说向量就是有向线段.A. 1B . 2C. 3D. 4AB与CD重合若向量Au与CDr相等，则有向线段 解析：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.因此, 相同，但它们可以不重合.若向量Auu II CD ,则线段AB /CDiir iurAB = CD ,则有向线段 AB与CD长度相等且方向uuruir解析：方向相同或相反的非零向量叫做

2、平行向量.故由AB与CD平行，只能得到线段 AB与CD方向相同或相反,它们可能平行也可能共线.若向量Au与CDr共线，则线段AB与CD共线解析：平行向量也叫做共线向量，共线向量就是方向相同或相反的非零向量.uir iur故由AB与CD共线，只能得到线段 AB与CD方向相同或相反，它们可能平行也可能共线.u ir ir r . u r右 a / b , b / c ,贝U a / cir iru r解析：由于零向量与任一向量平行，故当 b = 0时，向量a、c不一定平行. 1111rir r当且仅当a、b、c都为非零向量时，才有 a /c.iriru1r.Mir右 |a| = |b|,则 a=b

3、 或 a= b uirir ir解析：由| a |= | b |,只能确定向量a与b的长度相等，不能确定其方向有何关系. u irir ir irir当a与b不共线时，a = b或a= b都不能成立.单位向量都相等解析：长度等于一个长度单位的向量叫做单位向量，由于单位向量的方向不一定相同，故单位向量也不一定相等.,1ru右| a | =0,则a =0解析：向量和实数是两个截然不同的概念，向量组成的集合与实数集合的交集是空集.故若|a| = 0,则a = 0 ,不能够说a =0.平面向量数量积四大考点解析考点一.考查概念型问题例1.已知a、b、c是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数（）a b

4、=fra ba b a b ab ;a,b反向 a b a b a b ； a = b评注：两向量同向时，夹角为因此当两向量共线时，夹角为0（或0°）；而反向时，夹角为兀（或180 °）；两向量垂直时，夹角为 90° ,考点二、考查求模问题例2.已知向量a 2,2 ,b5,k ,若a b不超过5,则k的取值范围是0或兀，反过来若两向量的夹角为 0或兀，则两向量共线.评注：本题是已知模的逆向题，运用定义即可求参数的取值范围。例3.（1）已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60。,那么a 3b =（）A. .7 B. . 10 C. . 13 D. 4（2）已知向量a

5、 cos ,sin ，向量bJ3, 1 ,则2a b的最大值是 评注：模的问题采用平方法能使过程简化。考点三、考查求角问题f-f*f-例4.已知向量a +3 b垂直于向量7 a -5 b ,向量a -4 b垂直于向量7 a -2 b ,求向量a与b的夹角.练习一：数量积（内积）的意义及运算r rr rr r1 .已知向量|a| 4, e为单位向量，当它们之间的夹角为 一时，a在e方向上的投影与e在a方向上的投影分别为（ 3练习目的：区别B. 2 ,工 C. -,23D. ,2222r ra在e方向上的投影与r re在a方向上的投影，达到正确理解投影的概念.AC图1uur uur2 .在边长为2

6、的等边 ABC中，AB?BC的值是().A. 2B.2 C. 4D.4uuu uur练习目的：结合图形1,根据投影的意义，理解AB?BC的几何意义.uurrrrrrirrr3 .已知 |a| 3,|b| 2,a 与 b 的夹角为 60o, c=3a 5b, d ma 3b.r rr r(1) 求|a b|的值；(2)当m为何值时，c与d垂直？练习目的：结合以前所学向量垂直的等价关系，类比数量积的运算与实数多项式的运算关系，达到巩固数量积的运算目的.练习二：数量积的坐标运算、模及夹角r r4 .直角坐标系xOy中，i, j分力1J是与x, y轴正方向同向的单位向重.在直角二角形 ABC中，uuu

7、 r r uuur r r若AB 2i j, AC 3i k j ,则k的可能值个数是()练习目的：结合向量垂直的等价关系，练习数量积的坐标运算，体会分类讨论的数学思想方法.r r _ r r _5 .已知向量 |a| 2, |b| 2有，a b (243,2)r r r r r r求(1) |a b| ； (2) a b与a b的夹角练习目的：巩固平面向量的模以及夹角公式，类比向量的运算与实数多项式的运算的关系.r r r r r rr r r r6 .设向量a,b满足|a| 2,|b| 1, a,b的夹角为60°,若向量2ta 7b与向量a tb夹角为钝角,求实数t的取值范围。练

8、习目的：综合运用向量的数量积、夹角公式以及向量共线的条件解题，在解题时要特别注意特殊情况，才能不遗漏地正确解题.练习三.平面向量的综合应用uuu r uuur rr r7 . (1)已知 ABC中，AB a,BC b,B是 ABC中的最大角，若a?b 0,则 ABC的形状为 练习目的：体会应用平面向量的夹角公式判断三角形的形状.平面向量巩固检测rr1 已知 a (cos ,sin ) , b (cos ,sin ),其中 0 r r r(1)求证：a b与a b互相垂直；(2)若ka b与a k b的长度相等，求的值(k为非零的常数)2 .已知a、b是两个不共线的向量，且 a = (cos ,

9、 sin ) , b= (cos , sin )(1) 求证： a+ b与 a - b垂直；16(n)右 C( 一，一)，=，且 |a+b| = J一，求 sin .4 44, 53 .设 ae12 e2 ,3 el 2 e2，其中 ele2 且 el el1.(1)计算| a b |的值；(2)当k为何值时k ab与a 3 b互相垂直?4. 已知向量a = (cos -x,2求彳b及信+ E|；singx), E = (cos, -sin'),其中 xC0, 3 (2)若 f(x) = a b 2 ( a + b | 的最小值为一2 ,求人的值考点一.考查概念型问题平面向量数量积四大

10、考点解析例1.已知a、b、c是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数()a b a b ab ;a,b反向 a b a b a b ； a = ba b=fra bia hA.1B.2C.3D.4分析：需对以上四个命题逐一判断，依据有两条，一仍是向量数量积的定义；二是向量加法与减法的平行四边形 法则.解：（1）a b= | a | - |b | cos 0，由I a b I = I a I lb I及a、b为非零向量可得I cos 0 I =1- 9=0或兀，a /b且以上各步均可逆，故命题（1）是真命题.（2）若a,b反向，则a、b的夹有为兀，a b = I a I lb I cos兀=-I

11、 a I lb I且以上各步可逆，故命题 （2） 是真命题.（3）当ab时，将向量a, b的起点确定在同一点，则以向量a, b为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为 矩形，于是它的两对角线长相等，即有I a + b 1 = 1 a-b I .反过来，若I a+ b I = I a-b I ,则以a , b为邻边的 四边形为矩形，所以有 a±b ,因此命题（3）是真命题. -sfc-b-rf-* b-k-fc-（4）当I a I = 1 b I但a与c的夹角和b与c的夹角不等时，就有I a c I I b c I ,反过来由I a lc I = If -rb c |也推不出| a |

12、= | b | .故（4）是假命题.综上所述，在四个命题中，前 3个是真命题，而第4个是假命题，应选择（C）.评注：两向量同向时，夹角为 0（或0°）;而反向时，夹角为兀（或180 °）;两向量垂直时，夹角为 90° ,因此当两向 量共线时，夹角为0或兀，反过来若两向量的夹角为 0或兀，则两向量共线考点二、考查求模问题例2.已知向量a 2,2 ,b分析：若a x, y则口 x2-Mr解：由a b 3,2 k ,又a5,k ,若a b不超过5,则k的取值范围是 y2,或a xxy2 ,对于求模有时还运用平方法。 一.2.一一 ,b 5,由模的定义，得：92k25解得

13、： 6 k2,故填6,2 。评注：本题是已知模的逆向题，运用定义即可求参数的取值范围。例3. （1）已知a, b均为单位向量，它们的夹角为60 °,那么a 3b=（）A. 7 B. 10 C. 13 D. 4（2）已知向量a cos ,sin ,向量b <3, 1 ,则2a b的最大值是,29b 1 3 9 13-2- 2解：（1） a 3b a6abicos60所以a 3b 而，故选Co（2）由题意，知口 1, b2 , a b 2 sin 3. T 2又2ab-2 24a 4a b b8 8sin 316则2a b的最大值为4。评注：模的问题采用平方法能使过程简化。考点三、

14、考查求角问题例4.已知向量a +3 b垂直于向量7 a -5 b ,向量a -4 b垂直于向量7 a -2 b ,求向量a与b的夹角.分析：要求a与b的夹角，首先要求出 a与b的夹角的余弦值，即要求出Ia I及I b I、a b ,而本题中很难求出|a|、| b|及ab,但由公式a ? b _.cos 0=可知，若能把a b , | a |及| b |中的两个用另一个表示出来,即可求出余弦值，从而可求得 a与b的夹角0 .解：设a与b的夹角为。.=a +3 b垂直于向量7 a -5 b , a-4 b 垂直于 7 a -2 b ,_ 27a.230a b 8b 0a 3b 7a 5b 0a 4

15、b 7a 2b 0-2 一- - 27a 16a b 15b解之得 b 2=2 a b a2 =2 a b .a2= b2| a |1 12ba?b 2b 1cos k |-= -=-a b a ? b 2因此a与b的夹角为.练习一：数量积（内积）的意义及运算r r1 .已知向量|a| 4, e为单位向量，当它们之间的夹角为、，- -313为（）A. 2y3 ,B . 2，- C.1 .答案Br rr1解答：a在e方向上的投影| a | cos 4-21 132r rr11e在a方向上的投影| e | cos 1 1 132 2r r一时，a在e方向上的投影与 320 D, 1 ,22r re

16、在a方向上的投影分别练习目的：区别r ra在e方向上的投影与r re在a方向上的投影，达到正确理解投影的概念.uuu uuir2 .在边长为2的等边 ABC中，AB?BC的值是().A. 2B.2 C. 4D.42 .答案B解答：由平面向量数量积公式得：uur uuiruiur uuir1AB?BC = | AB |?| BC |COS1200= 2 2 ( -)22uur uur因此AB?BC的值为一2 .练习目的：结合图形1,根据投影的意义，理解uur uurAB? BC的几何意义.uu3 .已知|a |r rma 3b .r r rr r r ir3,|b| 2,a与b 的夹角为 60&

17、#176;, c=3a 5b,d r r求|a b|的值r. r(2)当m为何值时，c与d垂直?r r ur r3.解答(1)a b |a| b|cos60o 3 2r r rrr r|a b|2 |a|2 |b|2 2a b 323.22 2 319r r所以|a b|r r=19r r(2)由c与d垂直，得c d 0 ,即r r r r(3a 5b) (ma 3b) 0r 2 r 2 r r r r3m| a |2 15|b|2 9ab 5ma b 0uu r r r又因为|a| 3,|b| 2,a与b的夹角为60°r r uu r1所以 a b |a| b|cos60°

18、; 3 2-3_ 口 29代入得m 14一. 29 . r-r 因此当m 时，c与d垂直.14练习目的：结合以前所学向量垂直的等价关系，类比数量积的运算与实数多项式的运算关系，达到巩固数量积的运算目的.练习二：数量积的坐标运算、模及夹角4 .直角坐标系xOy中，r ri,j分别是与x, y轴正方向同向的单位向量.在直角三角形ABC中，若unrr r uurr r rAB 2i j, AC 3i kj ,则k的可能值个数是()A. 1B . 2C. 3D. 44 .答案Buur r r提示：由题设 BC i (k 1)j ,(1,k 1)uuuuuuruur转化为坐标表布:AB (2,1), A

19、C (3,k), BCABC是直角三角形可以分为三种情况：uur uur uur uuir(1) ABAC, ABgAC2 31g< 0得 k 6uur uur uuir uuur(2) ABBC, ABgBC2 11 (k 1) 0得 k1uur ACuuur uurr uuirBC, ACgBC 3 1 k(k 1) 0即k2故k的可能有两个值1,-6,练习目的：结合向量垂直的等价关系，练习数量积的坐标运算，体会分类讨论的数学思想方法.5.已知向量r|a|b| 2.3a b (2,3,2)rb|；(2)rb的夹角由题设uur|a|2,|b| 2 G(1)_ r r 2(2后 2)得

20、|a b| 16r 即|abr(ab)2r2 ar2 br r2a* 16解得:r rago所以 |a b|2 (ar b)2 ar2 br r2agb22 (2 .3)2r r2agb16r r因此|a b|=4(2)设夹角为r 又(ab)gfar b)b222 (2 . 3)28所以cos-8| a+ b |? | a b | 4 4练习目的：巩固平面向量的模以及夹角公式，类比向量的运算与实数多项式的运算的关系.6.设向量a,b满足|a|r r r2,| b| 1 , a,b的夹角为60°,若向量r 2ta7b与向量artb夹角为钝角，求实数t的取值范围。uu r6.解答:由题设

21、 a b | a 11 b | c°s60°因为向量r2tar7b与向量rtb夹角为钝角,|2ta7b|?|atb|r (2ta7b)g(artb) 0r 2由 2t|a|r 2 7t|b|(2t27)agb 2t15t 7解得7另一方面,t 12当夹角为时,也有2t2 15t 7 0,所以由向量r2ta7b与向量artb同方向得:r2tar7b =rtb )(0)因此2t,7解得：t'.142，一 14由于0,所以t0,得t因此，当tr所以，若向量2ta,14工2-时, r7b与向量两向量的夹角为。不合题意.rtb的夹角为锐角，实数t的取值范围是:2)练习目的：综

22、合运用向量的数量积、夹角公式以及向量共线的条件解题，在解题时要特别注意特殊情况，才能 不遗漏地正确解题.uuur7. (1)已知 ABC 中，ABr uuirr练习三.平面向量的综合应用a,BC b,B是 ABC中的最大角，若a?b 0,则ABC的形状为7 .答案：锐角三角形提示：由cosr r a?b r 一|a|?|b|可得cos 0ABC为锐角,uur-uur,即AB与BC的夹角为钝角，所以,因此ABC为锐角三角形.练习目的：体会应用平面向量的夹角公式判断三角形的形状.平面向量巩固检测rr1 已知 a (cos ,sin ) , b (cos ,sin ),其中 0,、 rr -r r

23、,一求证：a b与a b互相垂直；八 rrr r r2 r22222证明： Q (a b)ga b) a b (cos sin ) (cos sin ) 0 r r r a b 与a b互相垂直(2)若ka b与a k b的长度相等，求 的值(k为非零的常数)解析：ka b (kcos cos , ksin sin )；a k b (cos kcos ,sinksin ),k2 1 2k cos( )r a kb.k2 1 2kcos(而 k 1 2k cos(,k212kcos(cos()0,2.已知a、b是两个不共线的向量,2Ta = Ccossin,b = (cos , sin )(I) 求证： a+ b与 a - b垂直;16求sin54sin且 |a + b | =解：(1) . a = (4cos, 3sin),b = (3cos ,. .|a| = | b| =1又(a+ b)(a b) = a2 b 2=| a |2 | b |2 X ( a - b )|a+ b|2 = ( a + b ) 2 :=| a|2 +| b|2 +2a b = 2 + 2a bf-fc.3又ab = (coscossinsin)=35.co