北京市第四中学2021届高三12月数学考试试题

1、北京四中2020-2021学年度第一学期测试二数学试卷（2020.12.07）（试卷满分为150分，考试时间为120分钟）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）L若全集U = R, A = x<1, 8 = x|x>l,则（ ）2.下列函数中，既是奇函数又是减函数的为（A. y = x + B.)，= t区 C.y = -xD. y = -x23.已知角。的终边经过点尸,则角。可以为（n 5乃D.34.圆/+货一2工-8），+ 13 = 0的圆心到直线or+y l = 0的距离为1,则=（）A3D.2b-245.函数 y = sinA.2冗X1I +2 xB.31在区

2、间（一6,6）内的零点个数为（）C.4D.66 .在平面直角坐标系宜为中，点4（1,1）,点5在圆V + y2 =4上，则|方一。同的最大值为（）A3B.1 + V2C.2 + V2D.47 .设a$R,贝是第一象限角”是"sina+cosa>l'W （）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8 .设。0, >0.若是3"与3'的等比中项，则,+的最小值为（）a hA.4>/3B.4 + G C.4 + 2>/3D.89 .把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是仇二空气的温度是%，/min后物体

3、的温度6匚可 由公式夕=综+（可4”424，求得把温度是io。二的物体，放在10二的空气中冷却/min后，物体的温度是 40二，若In 3取1.099,则f的值约等于（A.6.61B.4.58C.2.89D.1.6910 .对于数列“,若存在常数使得对任意正整数明册与向中至少有一个不小于M,则记作叫A M ,那么下列命题正确的是（）A.若q 0 M ,则数列q各项均不小于河B.若也则”+“a2MC若也 !>、,则硝A”?,则羽,+1 > 2M + 1二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11 .若直线2工一），-5 = 0与直线x + y + 3 = 0相互平行，则实数

4、。等于；这两条平行直线间的距离为12 .己知双曲线=则渐近线方程为；离心率。为413 .已知函数/（x） = xlnx+f,且.%是函数/（x）的极值点，给出以下几个命题：与>1：/（加）+ /<0：/（%）+ 九0>0， ee其中正确命题的序号是.14 .能够说明“存在不相等的正数°, b,使得4=是真命题的一组a,，的值为.15 .如图放置的边长为1的正方形尸ABC沿x轴滚动.设顶点尸（工,y）的轨迹方程是y = /（x）,则/（工）的最小正周期为： y = /（x）在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的而积为.三、解答题（本大题共6小题，共85分）16 .（

5、本小题满分14分）己知等比数列q的各项均为正数，%=8, %+4=48.（I）求数列4的通项公式；（H）设”=iog4%.证明:<为等差数列,并求么的前力项和s.17 .（本小题满分14分） 已知椭圆W:5+y2=i,直线/过点（0,一2）与椭圆郎交于两点4 B,。为坐标原点.3（I）设C为A3的中点，当直线/的斜率为二时，求线段OC的长: 2（II ）当043面枳等于1时，求直线7的斜率.18 .（本小题满分14分）已知函数/（x） = sin3x +刃> 0,忸| <满足下列3个条件中的2个条件: 函数/（工）的周期为乃；x = *是函数/"）的对称轴:/百=0

6、且在区间上单调:（I）请指出这二个条件并说明理由，求出函数/（的解析式:(II)若xe 0：,求函数/（x）的最值.19 .（本小题满分14分）'1己知抛物线C： y作直线，与抛物线。交于不同的两点M, M2 =2px过点P0/).过点0,- 2过点M作x轴的垂线分别与直线。尸，ON交于点d, B,其中。为原点.（I）求抛物线。的方程，并求其焦点坐标和准线方程:（H）求证：4为线段5M的中点.20 .（本小题满分14分） 己知函数/(x) = flnx-2x.（I）求曲线> = /（x）在点（1,7（1）处的切线方程;（H）求证：存在唯一的使得曲线y = /（x）在点（%,/（工

7、0）处的切线的斜率为/（2） （1）；（III）比较/（L01）与-2.01的大小，并加以证明.2L （本小题满分15分）已知集合Slt = (Xp x2, , ) |xp x2 , x是正整数1,2,3,的一个排列(22),函数g(%)h X：'对于（4，电，q）wS”，定义: 1, X < U.=g(q-q)+g(q-%)+g(q-q),ie2,3,4=0,称也为4的满意指数.排列4也，也为排列"勺，4的生成列（I）当 =6时，写出排列35146,2的生成列:（H）证明：若,）,4和4间；,，为s中两个不同排列，则它们的生成列也不同;（III）对于S”中的排列,的,

8、6,进行如下操作：将排列4,小，”“从左至右第一个满意指数为负数 的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列.证明：新的排列的各项满意指数之和比原排列的各 项满意指数之和至少增加2.参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，请将答案填涂在答题卡上1-5： DBCAB 6-10： CCCBD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.-,12.2x±y = O, /13.©25314.答案不唯一，例：3, -15.4,4+12三、解答题：本大题共6小题，共85分16.（本小题满分14分）解：（I）解：设等比数列q的公比为如 依题意q>0

9、.1分 因为=8 , % +% = 48,两式相除得/+9-6 = 0,3分解得q = 2,舍去夕=一3.4分所以q =5=4.6分q所以数列%的通项公式为q=0m=27(II)解：由(I )得a=log/=匕1.n+2 n+12分所以数列也是首项为1,公差为4 =，的等差数列.2所以s“ =叫+7 ” 一14分17.（本小题满分14分）33解：（I）当直线/的斜率为|时，直线/的方程为y = ：x 2由，3 个)'=广2,得 5/一12% + 6 = 0,+ y* = I14 .设A&，X), 3(,必)，。(为,先).nil 12则 xt + x2 =,所以点 c 的坐标x

10、() = - , >,o =-x0-2 = -, 525所以|OC| =+（II）设直线l:y =五一2,X 2 TT+V =得(1 + 45卜2-16乙+ 12 = 0, y = kx-2所以 4 = （16攵 2）-48（1+4代）=16（4公一3）T6k12=中_2=三.|AB| = /l + k2 yl(X1 +xj - ©J= yJ + k2'16k fJ +4k 2 >4,1 +上公一 31 + 4K原点。到直线1的距离d =-= Jl + 公在Z11人”1 7 1 44 + /收2-32432-3所以38面积为K"W=5X.荷4 14后一

11、3因为。.面积等于L所以也厂八解得"=±带入判别式检验，符合题意，所以k = ±五 218.（本小题满分14分）解：（I）由可得，三=4=幻=2.1分co由得:7TCD由得,67TCD, 7t, 7T+(p = K7r + =>(p = K + 冗CD+ co = m/r =>(p = mn -, 4，keZ.622642万 24 八 八= > =>0<ty<3333若成立，则0 = 2,(p =三,f (x) = sin2x+?)-若成立，则9 = /4一若成立，则女方71+kcon= m/r.me427CC0TtCO-=m7

12、T= coZ,不合题意.= 12（?一攵）一626, &eZ与中的0/工3矛盾，所以不成立.所以，只有成立，/（x） = sin 2x + .9分6）12分（II）由题意得，0«不巳=巳2工+二2 =,/（工）1. 36662 一所以，当工=看时，函数/（X）取得最大值1：当X = 0或x =。时，函数/（X）取得最小值114分3219 .（本小题满分14分） （1）抛物线C的方程为y2=x,焦点坐标为（joj,准线方程为x = ；（2）见解析.【解析】（1）由抛物线C:y2=2式过点P（l），得 =g.所以抛物线C的方程为）3=X.抛物线C的焦点坐标为（，刀），准线方程为x

13、 = -L 4 ）4（2）由题意，设直线/的方程为），=辰+。化工0）, /与抛物线C的交点为M（，x）, /V（x2,y2）. 2v = kx + -由 2得42+（4-4）1+1 = 0.1 k1则为+占=彳一，再吃=京因为点尸的坐标为（1, 1）,所以直线。P的方程为丁=不，点a的坐标为（$,/）.直线ON的方程为），= &x,点8的坐标为不出上因为凹+竺一2%=丝3L x?x2112)kx + x2 + kx2 + - x -2xx2 2 )2)（2攵一2）中2+*2+$）所以 y +H = 2x- x?故,4为线段5M的中点.20 .（本小题满分14分）解：（I ）函数f（x

14、） = flnx_21的定义域是（0,一）,导函数为 r（x） = 2xlnx+/-2.1 分所以/（1） = _1,又/（1） = -2,所以曲线y = /(x)在点(1,7(1)处的切线方程为y = -x1.4分(II)由已知f (2)_/(l) = 41n2_2.5 分所以只需证明方程2文1114+12 = 411122在区间(1, 2)有唯一解.即方程2xlnx+x-41n2 = 0在区间(1, 2)有唯一解.6分设函数 g(x) = 2xlnx+x-41n2,7 分则 g'(x) = 21nx+3.当xw(l,2)时,g")>0,故g(x)在区间(L 2)单调

15、递增.8分又g(l) = l41n2<0, g(2) = 2>0,所以存在唯一的小 £(1,2),使得g(%) = 0.9分综上，存在唯一的 e(l,2),使得曲线)，= /(同在点(%,/(%)处的切线的斜率为2)-/(1).10 分(III) /(1.01)>2.01.证明如下： 11 分首先证明：当x>l时，f(x)>-x-.设力(x) = /()-(-x-l) = x2 lnx-x+1,12 分则力"(x) = x+2xlnx-L当x>l时，x-l>0» 2xln>0»所以力(x)>0,故(x

16、)在(1,一)单调递增，13分所以x>l时，有"1) = 0,即当x>l时，有x)>xL所以1.01 1 = 2.01.14 分2L (本小题满分15分)解：(I )解：当 =6时，排列3,5,146,2的生成列为61,-2,1,434分(II)证明：设的生成列是4，%，4：4,4，4的生成列是与4也，,% 从右往左数，设排列与”,，4第一个不同的项为应与4，即：为=4 a,。1=。_”,。川=勺7，,声/显然么=4，4i=b；i，心产”下面证明：6分由满意指数的定义知，4的满意指数为排列,2,M中前j l项中比小的项的个数减去比大的项的 个数.由于排列，/，M”的前k项各不相同，设这k项中有1项比对小，则有人一/一1项比巴大，从而 bk=l-(k-l-r)= U-k + .同理，设排列4,4,4中有/'项比4小，则有1项比”大，从而瓦=2/'女 + i.因为，6与4,4，4是上个不同数的两个不同排列，且4。4,所以/=/',从而印工耳.所以排列必,必和4",”的生成列也不同.io分(III)