(word完整版)高考数学_函数中存在性和任意性问题分类解析

1、函数中存在性问题分类解析.1.羽运口1,玉口立工，使得/住I)二虱，等价于函数5)在A上的值域工与 函数目(耳)在心上的值域b的交集不空，即/n田h6.一两个函数之间有如下恒成立或存在性命题及其等价命题：1 对于X1a,b,X2m,n,使得函数 f(x),g(x)满足 f(xi)<g(X2)恒成立.等价于：x a,b时f(x)的最大值小于x m,n时g(x)的最小值2 对于x1a,b,x2m, n,使得函数 f(x),g(x)满足 f(xi)<g(x2).等价于：x a,b时f(x)的最大值小于x m, n时g(x)的最大值3 对于xia,b ,x2m, n,使得函数 f(x),g

2、(x)满足 f(x i)<g(x 2)成立.等价于：x a,b时f(x)的最小值小于x m,n时g(x)的最小值4 对于xia,b,x2m,n,使得函数 f(x),g(x)满足 f(x i)<g(x2),成立.等价于：x a,b时f(x)的最小值小于x m,n时g(x)的最大值。例i设a(0<a<i)是给定的常数，f(x)是R上的奇函数，且在(0, +°0 )上是增函数，若一 i 一 . 存在f 2 = 0, f(lOgat)>0,则t的取值范围是 【解析】 因为f(x)是R上的奇函数，且在(0, +°° )上是增函数，故f(x)在区

3、间(一8,0)上也是增函数.画出函数f(x)的草图.i当t>i时，因为 0<a<i ,所以logat<0.由图象可得一2<logat<0,解得i<t<:； ai当0Vt<i时，因为0<a<i,所以logat>0.由图象可得Q<logat,解得0<t<va,综上，te i,京u(0,正).例2(20ii江苏)设K-2式力三佐>1,工>2).若击。亘北，使/&)=加成立，则实数避的取值范围为;若w (2,+00),骂W (2,+00)，使得1y(玉)=虱工力,则实数出的取值范围为/ 3x

4、+3j(x) =(X > 2)解 依题意实数胴的取值范围就是函数工一2的值域.设1、 Q+2y 3(上+2)十314n.£ 二32 ,则问题转化为求函数工£的值域，由均值不等式得，岫之乙故实数m的取值范围是CM).依题意实数出的取值范围就是使得函数 于的值域工是函数g(方的值域B的子集的实数q的取值范围.由知达=3,+8),易求得函数目(M的值域3 =(片,+8),则乂匚5 "<3当且仅当八】即之后,故实数0的取值范围是(L/).3.已知，R送是在闭区间口的上连续函，则对“加w D使得八百)工式马)，等3、设f x px q 21nx，且f e qe

5、p 2 (e为自然对数的底数) xe(I)求p与q的关系；(II)设gx2e一,若在1, e上至少存在一点 xx0,使得f x0 g x0成立,求实数的取值范围.3、解:(I)由题意得 f eq pe - ep2ln e qe 2 p qe2e(II)g(x) = T 在1,ex = e g(x)时，g(x)min = 22,2e上是减函数时，g(x)max = 2ep W0时，由(II) 知f (x)f (x) = p (x 右边为f (x)时，由x1-x)当p = 11,e21n x10分在1,e 递减1x 一 x >01Wx x 21n xf (x)max = f (1) = 0

6、< 2,不合题意。时的表达式，故在1,e1f (x)<x-x12ln x we-e 2ln e = e递增1e -2 < 2 ,不合题意。 p >1 时，由(II) 知 f (x)在1,e连续递增，f (1) = 0 < 2,又 g(x)是减函数在1,e 上本命题 f (x)max > g(x)min = 2，x 1,ef (x)max = f (e) = p (e4e1一 e ) 一 21n e > 24ep > e 2 - 1 综上，p的取值范围是(e 2 - 1，+ )4 (1)已知函数 f(x) = 2x+x, g(x) = x+ 1og

7、2x, h(x)=x3+x 的零点存在依次为a, b, c,则a, b, c的大小顺序为1 , xw 3,(2)设定义在R上的函数f(x)= |x3|1, x = 3,=0有5个不同实数解，则实数 a的取值范围是若存在关于x的方程f2(x) + af(x)+b【解析】分别作出(1)令 f(x)=0, g(x)=0, h(x)=0 得：2x=- x, 10g2x = x, x3=-x, y= 2x, y=log2x, y=x3, y= x 的图象如下:可知a<0b>0,(2)设t=f(x),则原方程即化为t2+at+b=0, 由t=f(x)图象如下：4-2可得：当t=1时，x有三解，

8、当t>0且tW1时，x有两解.又t1 + t2=a,所以当t1=1, 12c (0,1)U(1, +8 )时，原方程有5个解, 即 aC( 一 °°, 一 2) U (一 2, 1).5设mC N,若函数f(x) = 2x ml0x m+10存在整数零点，则 m的取值集合为【解析】 原命题等价为f(x) = 2x- m/10-x m+10=0有整根，、一2x+ 10 即方程 m=；-有整数解.因为 mCN,所以2x+10>0,且10x>0,/10x+ 1所以 xC -5,10,且 xC Z,又m10 x £ Z,当 x = 5 时，m=0;当 x

9、=1 时,m=3;当 x=6 时，m = 22(舍去);3当x=9时，6.已知三个条件：定义域为I在1 , +8m= 14;当 x= 10 时， 2.x ax bf x log 3 x cx 1R上的奇函数；,)上是增函数；m=30.是否存在实数a, b, c,使f(x)同时满足下列最大值为1.若存在，求出a, b, c的值；若不存在，说明理由分析：先 脱”去对数符号log”，利用中的奇函数的条件求出a, b, c所满足的一些条件或值，然后利用条件进一步确定出待求系数所应满足的条件，最后利用条件求 出满足条件的值或说明其不存在解析：假设满足条件的 a, b, c存在，则 f(x)是定义域R上的

10、奇函数，于 f(0)=0,是 b=1.从而 f(0)=log3 b=0,于 又因为 f(-x)=-f(x),f(-x)=-f(x)10g 32x axx2cx10g2x3 x2ax 1cx2 x-2 xax 1cx 1cx2x ax于是(x2+1)2-a2x2=(x2+1)2-c2x2所以 a2= c2,即 a=c 或 a=-c.当a=c时, 从而a=-cf(x)=0,不合题意，故舍去0log于是是增函数.令2 x-2 x2x3 xcx 1cx 1cxcx 12cx1 3x cx 11 4因为 x 在1+ OO)与(-OO, -1上是增函数,2c1x cxx且当x>1时，在1x0,故仅当

11、c。时，f(x)与g(x)的单倜性相同，从而当x=-1>0,当 xv-1 时,1-2,此时由f(x)的最大值为1-2c/c-2=31知，g(x)的最大值为3, 解得c=1,从而a=-1-1取得最大钿b=1满足题设条件的a, b,c存在,且它们的值分别为-1,1,1.7、已知函数f xax 2.4 ax1)。(1)求函数f x的定义域和值域;(2)是否存在实数x满足：对于任意1, ，都有存在，求出a的取值范围；若不存在,请说明理由。7、解：(1)ax 0得 ax 4 ,当 0 a 1 时,1oga4 ；当 a 1 时,lOga4 ,故当01时,函数f x的定义域是10ga4,1时，函数f的定义域是,10g a 4。令t小4 ax ,则0t22t 1当0 t 2时,g t是减函数，故有3,所以函数x的值域为5,3 。(2)若存在实数a ,使得对于任意1,，都有f x是定义域的子集，由(1)得a1不满足条件;因而只能有