不变量的构造与运用

1、不变量的构造与运用一、选择题1.已知函数？?？= 44+2,贝u ?7焉)+ ?(20213) +?+?(黑)的值等于(？) 4 +220 1320 1320 13A. 1004B. 1005C. 1006D. 1007二、解答题2.对于项数为 ？的有穷数列?九记？?= max?,?,? ,? (?= 1,2,? ,?),即？?为？, ?, ? , ?中的最大值，并称数列?势是?1的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.(1)若各项均为正整数的数列?的控制数列为2,3,4,5,5,写出所有的?*;(2)设?是?» 的控制数列，满足 ?+ ?-?+1 = ?(?

2、为常数,?= 1,2,? ,?).求证： ?= ?(?= 1,2,? ,?) .3.对于数列?,?,? ,?,经过变换？:交换？?中某相邻两段的位置(数列？?中的一项或连续的几项称为一段)，得到数列？?？.例如，数列？：?, ? , ?+1, ? ,?+?+?+,? ,?+?+?+?+?+,1? ,?(?，? 1) ?经交换?,?两段位置，变换为数列？：?,? ,?+?+1? ,?+?+?+1,? ,?+?凿?+?+?+,1? ,? ?设?是有穷数列，令?+1 = ?»(?= 0,1,2, ?).(1)如果数列？为3,2,1，且？2为1,2,3.写出数列？；(写出一个即可)(2)如果

3、数歹U ?为 9,8,7,6,5,4,3,2,1 , ?为 5,4,9,8,7,6,3,2,1 , ?2为 5,6,3,4,9,8,7,2,1 , ?为1,2,3,4,5,6,7,8,9 .写出数歹U ?,?；(写出一组即可)(3)如果数列?为等差数列:2015,2014, ? ,1, ?为等差数列:1,2,? ,2015,求?硒最小 值.4,已知集合?= ?？= (?,?,，？冽,？?6 0,1,? 1,2,? ,?(? 2),对于?=(?,?,? ,?” ?= (?, ?,? ?) C?,定义？?与？的差为？? ?= ( ?- ? I ?- ? I ,? , I?- ?外)；？?与？之间的

4、距离为 ? = E?=i ? ?L(1)证明：？,?？?,有？?- ?6？?？且？?- ?- ?= ?；(2)证明：？?？,?？e?0 ?, ?, ?三个数中至少有一个是偶数；?.证明:? ?赤方设？?？ ？?，？?中有？口？ 2)个元素，记？?中所有两元素间距离的平均值为 ?5,对于每项均是正整数的数列？,？,？，？?，定义变换？?，？将数列？?变换成数列?(?:?- 1,? - 1,? ,?- 1 .对于每项均是非负整数的数列？:?？,？?,？，？?，定义变换 ？,?将数列？?各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列？?(？；又定义？?？=2(?+ 2? + ? + ?) +?+?

5、+?+?.设？是每项均为正整数的有穷数列，令？3?+1 =?(?(?)(?= 0,1,2, ?).(1)如果数列？为5, 3, 2,写出数列？，？2；(2)对于每项均是正整数的有穷数列？证明：？?(?？)= ?;(3)证明：对于任意给定的每项土为正整数的有穷数列？?，存在正整数？当？?？ ？时，?+1) = ?豺.6.若数歹U ?,?,? ,?«? 2)满足？?+？? 1= 1(?= 1,2,? ,?- 1),贝U称？?为？嘤 列.记？?矽=?+?+? + ?(1)写出一个满足？=?= 0,且？)> 0的？?数列？；(2)若？ = 12, ?= 2000 ,证明：？?数列？?是

6、递增数列的充要条件是？?= 2011 ;(3)对任意给定的整数 ？?？ 2),是否存在首项为 0的？嘤列？方使得？?？)= 0 ?如果存 在，写出一个?t足条件的？嘤列？左 如果不存在，说明理由.7,对于数列？?,？,？?(？?C ? 1,2,3),定义?变换 ”：？各数列？?变换成数列？:?,？,？, 其中？?= ?- ?+1 (? 1,2),且？ = ? - ? I，这种?变换”记作?= ?.继续对数列 ?例行?发换”，得到数列？?,？?,依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束.(1)试问？2,6,4经过不断的?变换”能否结束？若能，请依次写出经过砂换”得到的各数列；若不能，说明理由；

7、(2)设？,？,？, ?= ?.若?2, ? ?,且？的各项之和为 2012 .(i)求？ ？ii )若数列 ?再经过?次 ?变换”得到的数列各项之和最小，求?的最小值，并说明理由8. 设 ?是如下形式的2 行 3 列的数表，? ? ? ? ?满足性质？ ? ? ? ? ? ?-1,1 ,且？?+ ?+ ?+ ?+ ?+?= 0,记？%?为？?的第 ?行各数之和(？ 1,2), ?为第？冽各数之和(？ 1,2,3);记？?？为？N? I ?(? ?(? L ?(? L ?(? I 中的最小值.(1)对如下数表?，求?(?) 的值；11-0.80.1 -0.3-1(2)设数表?形如11 -1 -

8、 2? ?-1其中 -1 ? ? 0 求?(?) 的最大值；(3)对所有满足性质?的 2行 3 列的数表?，求?(?) 的最大值答案第一部分1 C第二部分2 (1) 数列? 为： 2,3,4,5,1 ； 2,3,4,5,2； 2,3,4,5,3； 2,3,4,5,4； 2,3,4,5,5(2) 因为?= max?1,?2,? ,?， ?+1 = max?1,?2,? , ?,?+1，所以?+1 ? ?+ ?-?+1 = ?， ?+1 + ?-? = ?，所以 ?+1 - ?= ?-?+1 - ?-? ? 0 ，即 ?+1 ? ?= ?3 (1) ?1: 2,1,3 或 ?1: 1,3,2 或

9、?1: 2,3,1 或 ?1:3,1,2 (3) ?3:5,6,7,2,3,4,9,8,1 ； ?4:5,6,7,8,1,2,3,4,9 (4) 考虑数列?:?1 ,?2, ? ,?，满足?< ?+1 的数对?,?+1 的个数，我们称之为“顺序数 ”则等差数列?0 ： 2015,2004, ? ,1 的顺序数为 0，等差数列?： 1,2, ? ,2015 的顺序数为 2014 首先，证明对于一个数列，经过变换?，数列的顺序数至多增加2 实际上，考虑对数列 ? , ?,?, , ?, ?, , ?,?, ，交换其相邻两段?, ,?和 ?, , ?的位置，变换为数列 ? , ?, ?, ,

10、?,?, ,?, ?, 显然至多有三个数对位置变化假设三个数对的元素都改变顺序，使得相应的顺序数增加，即由 ?> ?> ?> ?变为?< ?< ?< ?,分别将三个不等式相加得?+ ?+ ?> ?+ ?+ ?与 ?+ ?+ ?< ?+ ?+ ?，矛盾所以经过变换?，数列的顺序数至多增加2 其次，第一次和最后一次变换，顺序数均改变1(因为交换的相邻两段的前后的数的元素顺序不变，即上面的?, ?、 ?,?与 ?, ?、 ?, ?的大小顺序不变，只有?, ?与 ?,?的顺序改变)设 ?的最小值为?，则2 + 2(?- 2) ? 2014 ，即 ? 10

11、08 最后，说明可以按下列步骤，使得数列?1008 为 1,2, ? ,2015 对数列?0: 2015,2014, ? ,1 ，第 1 次交换 1,2, ? ,1007 和 1008,1009 位置上的两段，得到数列?1 ：1008,1007,2015,2014, ? ,1010,1009,1006,1005, ? ,2,1;第 2 次交换2,3, ? ,1008 和 1009,1010 位置上的两段，得到数列?2：1008,1009,1006,1007,2015,2014,? ,1011,1010,1005,1004, ? ,2,1;第 3 次交换3,4, ? ,1009 和 1010,1

12、011 位置上的两段，得到数列?3：1008,1009,1010,1005,1006,1007,2015,2014,? ,1012,1011,1004,1003, ? ,2,1;以此类推，第 1007 次交换 1007,1008, ? ,2013 和 2014,2015 位置上的两段，得到数列?1007 ：1008,1009, ? ,2013,2014,1,2, ? ,1006,1007,2015;最终再交换1,2, ? ,1007 和 1008,1009, ? ,2014 位置上的两段，即得?1008 ： 1,2, ? ,2015 所以?的最小值为1008 4 (1) 设?= (?,?,?,

13、?),?= (?,?,? ,?),?= (?,?,? ,?% ”?因为？?) 0,1,所以I?- ?1仙1,(?2 1,2,? ,?,从而?- ?= ( I?- ? I J?- ? I? , I?- ? ) C?又?- ?- ?=汇 I ?砺？?？ - I ?务? I I ,?=1由题意知?%?知0,1(? 1,2,? ,?.当 ?= 0 时，I ? ? I- I?- ?)l I 飞=d ?1 ；当 ?= 1 时，I?I- I?>I I (= - ?- (1 -?I=?1 ,所以?- ?- ?=汇 I?- ? 1= ?.?=1(2) 设?=(? ? ? ?a ?=(? ? ? ?)?=(

14、? ?)e?1 , 2 , ? ,1 , 2 , ? ,1 , 2 , ?,?( ?,?) = ?, ?( ?,?) = ?,?( ?,?) = ?.记?= (0,0, ? ,0) e?,由(1)可知?( ?,?) = ?( ?- ?,?- ?) = ?( ?,?- ?) = ?，?( ?,?) = ?( ?- ?,?- ?) = ?( ?,?- ?) = ?，? = ?- ?- ? = ?,所以 I?- ? |(?= 1,2, ? ,?中 1 的个数为？ I?- ? 1(?= 1,2, ? ,?中 1 的个数为？?设？和使I?分？?| =?% ?1=1成立的？的个数，贝U ? = ?+ ?

15、2?由此可知，？?？三个数不可能都是奇数，即？?？，？，？?？,?？三个数中至少有一个是偶数.(3) ?=表*? ?,其中1?,? ?表示？?中所有两个元素间距离的总和，设？?中所有元素的第？外位置的数字中共有？?个1 ,?-?个0,则?,? ?汇？=汇?(?- ?.?=1由于?2?- ?卷？ (?= 1,2,? ,?,所以? ? , , , o汇? ? ?,4从而?,? ?。? = 口汇 ? ? ? = 一?.''C2?)4c2?2(?- 1)5 (1) ?)：5,3,2,?(?3)：3,4,2,1 ;? = ?(?(?)： 4,3,2,1 ;?(?):4,3,2,1,0,?

16、2 = ?(?(?)： 4,3,2,1 .(2)设每项均是正整数的有穷数列？次?,?,? ,?,则？?(?为？ ？- 1, ?- 1, ?,?- 1 ,从而?(?) = 2?+ 2(?- 1) + 3(? - 1) +? + (?+ 1)(?- 1)+?3 + (?- 1)2 + (?- 1)2 + ? + (?- 1)2.又？?？ = 2(? + 2? + ? + ? +?+?+? + ?2?,所以?(?)- ? = 2?0 2 - 3- ? - (?+ 1)+2 (?+?+? + ?)+ ? - 2(?+ ?+? + ?)+ ?=-?(?+ 1) + ? + ?=0, 故?(?) = ?.

17、(3)设？?是每项均为非负整数的数列？,？,？，？?当存在1 ? ?< ? ?使得？? ?时，交换数列？?的第？顶与第？顶得到数列？则? - ? = 2(?+ ? ? ?= 2(? ?(?- ? 0.当存在 1 ? ?< ?使得？?+1 = ?+2 = ? = ?= 0 时，若记数列?, ?,? ,?为？则? = ?.所以?(2?) ? ?.从而对于任意给定的数列？3?,由？3?+1= ?(?(?)(?= 0,1,2,?),可知?+，? ?(?”又由(2)可知?(?) = ?»,所以?+1)? ?).即对于?e ?要么有?+1)= ?),要么有?+i) ? ?)- 1.因

18、为？?？是大于2的整数，所以经过有限步后，必有? = ?+1)= ?+2)= ?,即存在正整数 ？?，当？?？ ？?时，？?+1)= ?).6 (1) 0,1,2,1,0是一个满足条件的？徵列？.(答案不唯一)(2)必要性：因为？嘤列？?是递增数列，所以?+1 - ?= 1(?= 1,2, ? ,1999).所以？?是首项为12,公差为1的等差数列，所以?000 = 12 + (2000 - 1)X 1 = 2011.充分性：由于?000 ?999 ? 1,?999 ?998 ? 1,? ? ? 1,所以?000 ? 1999,即?000 ? ?+ 1999.又因为？= 12, ?000 =

19、2011 ,所以?000 = ?+ 1999.故?+1- ?= 1 > 0(?= 1,2, ? ,1999),即？?是递增数列.综上，结论得证.(3)令?= ?+1 ?4?= 1,2,? ,? 1),则？?= ±1.因为? = ?+ ?,? = ?+ ?+ ?,? = ?+ ?+ ?+ ? + ?-1,所以?) = ?+ (?- 1)?+ (?- 2)?+ (? 3)?+ ? + ?-1=(?- 1)+(? 2) + ? + 1 (1 ?祖？ 1) (1 ?)(? 2) ? (1 ?1) ?- 1)=-2 (1 ?)(? 1) + (1 - ?)(? 2) + ? + (1 ?

20、-1).因为?= ±1,所以 1 ?为偶数(?= 1,2,? ,? 1).所以(1 ?)(?- 1) + (1 ?)(?- 2) + ? + (1 ?-1)为偶数.所以要使？?! = 0,必须使空罗为偶数，即4整除？? 1),亦即？?= 4?或？?= 4? +1(? C?3).当？?= 4?(? C?)时，？?数列？?？的项满足？?1 = ?3 = 0, ?2 = -1 , ? =1(?= 1,2,? ,?)时，有？= 0, ?=0;当？?= 4?+ 1(? C?)时，？嘤列？?？的项满足？?1 = ?3 = 0, ?2 = -1 , ? =1(?= 1,2,? ,?), ?+1 =

21、 0 时，有？= 0, ?)= 0;当?= 4?+ 2或?= 4?+ 3(? ?时，？?？ 1)不能被4整除，此时不存在？?数列J ?3?使得?1? = 0 ， ?(?) = 0 7 (1) 数列 ?:2,6,4 不能结束，各数列依次为 4,2,2 ； 2,0,2 ； 2,2,0 ； 0,2,2 ； 2,0,2 ； ? 以下重复出现，所以不会出现所有项均为 0 的情形(2) 因为？的各项之和为2012,且？?？ ?所以？M ?的最大项，所以I?- ?最大，即?1 ? ?2 ? ?3，或?3 ? ?2 ? ?1 当 ?1 ? ?2 ? ?3 时，可得?= ?1 - ?2 ,2 = ?2 - ?3

22、 ,?= ? - ?13.由 ?+ ?+ 2 = 2012 ，得2(?1 - ?3) = 2012 ，即 ?= 1006 ，故 ?= 1004 当 ?3 ? ?2? ? ?1 时，同理可得 ?= 1006 ， ?= 1004 (ii )方法一：由?:?2, ,?+ 2，则?经过6 次 “?变换”得到的数列分别为： ?- 2, ?2, ； 2, ?-2, ?- 4； ?- 4,2, ?- 6； ?- 6, ?- 8,2； 2, ?- 10, ?- 8； ?- 12,2, ?- 10由此可见，经过6 次 “?变换”后得到的数列也是形如“?2, ?+ 2 ”的数列，与数列 ? “结构 ”完全相同，但

23、最大项减少12 因为 1006 = 12 X 83 + 10,所以，数列？?经过6 X83 = 498次"?变换”后得到的数列为 8,2,10.接下来经过“?变换”后得到的数列分别为： 6,8,2 ； 2,6,4 ； 4,2,2； 2,0,2 ； 2,2,0 ； 0,2,2； 2,0,2 ，?从以上分析可知，以后重复出现，所以数列各项和不会更小所以经过498 + 4 = 502 次 “?变换 ”得到的数列各项和最小，?的最小值为502 方法二：若一个数列有三项，且最小项为 2 ，较大两项相差2 ，则称此数列与数列? “结构相同” 若数列?的三项为?+ 2, ?2, (? 2) ，则无论其顺序如何，经过“?变换”得到的数列的三项为?, ?- 2,2 (不考虑顺序)所以与?结构相同的数列经过“?变换”得到的数列也与?结构相同，除2 外其余各项减少2 ，各项