苏科版八年级数学下册“一线三直角”模型在正方形中的应用

1、则 DAC CBE.8,射线BG AB , P为射线BG上一 B在AP的两侧，在线段DP上取一点E, F (点F与点A B不重合)“一线三直角”模型在正方形中的应用随着新课标的实施， 以及考试命题的不断创新， 试题对常见模型的考查愈加深入，越来越重视对学生知识迁移和创新能力的考核.本文，利用“一线三直角”模型探究与正方形有关的几何问题，一、“一线三直角”全等模型1 .模型简介如图1所示，2 .模型应用例1 (2019年泰州中考题)如图2,线段AB 点，以AP为边作正方形 APCD ,且点C,D与点 使 EAP BAP.直线CE与线段AB相交于点(1)求证：AEP CEP ;(2)判断CF与AB

2、的位置关系，并说明理由(3)求AEF的周长.思路分析(1)(2)略.(3)如图3,已知AP PC ,且 ABP APC 90 ,故过点C作CN PB ,构造“一线三直角”全等模型，从而实现边的相等关系的转化，使问题得到解决图2图3解(1)易证 AEP CEP . (2)AEP CEP, :.EAP ECP.又 EAP BAP, BAP FCP .设AP交CF于点M . FCPCMP 90 ,AMF CMP, AMFPAB 90 ,CF AB .（3）如图3,过点C作CN PB交于点N根据全等模型，得PCN APB , .CN PB,PN AB.由（2）可知，四边形 CFBN是矩形，CN BF

3、.CE EF AFAEP CEP, AE CE , AE EF AFBN AFPN PB AF AB CN AFAB BF AF 2AB 16.例2 （2019年无锡中考题）如图4,在 ABC中，AB AC 5,BC 4J5, D为边AB上一动点（B点除外），以CD为一边作正方形 CDEF ,连结BE ,则 BDE面积的最大值 为.思路 分析如图5,要求 BDE的面积，学生自然想到，过点E作EH BA的延长线 于H ,得高EH .因为ED CD ,且 EDC EHD 90 ,故过点C作CG BA的延 长线于G ,构造“一线三直角”模型，得到两全等的直角三角形 （EHD DGC ）,从而 实现边

4、的相等关系的转化 （EH DG ）.又D是AB上一动点，则可设变元，将 BDE的面 积用一元二次函数来表示，最后求得其最大值 EBC Bc图4图5如图5,过C,E两点分另iJ作CG AB, EH AB交BA延长线于G , H.由 AB AC 5, BC 4 卮2 - 易得 cos ABC - J5 ,5BG 8.设BD x ,则DG 8 x.EHDDGC .由全等模型，得 EH DG 8 x,112 S BDE -x(8 x) (x 4)8,22故当x 4时，BDE面积的最大值为8.1.模型简介如图6所示，已知 DAC DCEEBC 90 ,则 DAC : CBE .二、“一线三直角”相似模型

5、(I)(2)图62.模型应用例3 (2019年连云港中考题)问题情境 如图7,在正方形 ABCD中，E为边BC上一点(不与点B,C重合)，垂直 于AE的一条直线 MN分别交AB,AE,CD于点M,P,N .判断线段DN,MB,EC之间的数 量关系，并说明理由.问题探究在“问题情境”的基础上，作出如下探究如图8,若垂足P恰好为AE的中点，连结BD ,交MN于点Q ,连结EQ ,并延长交边AD于点F .求 AEF的度数；(2)如图9,当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时，连结AN，将 APN沿着AN 翻折，点P落在点P处.若正方形ABCD的边长为4, AD的中点为S,求P'S的最小值.

6、问题拓展 如图10,在边长为4的正方形ABCD中，点M,N分别为边AB,CD上的 点，将正方形ABCD沿着MN翻折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点 A, C'N交AD 一，一一，_ ,_一一一 .5于点F .分别过点 A,F作AG MN ,FH MN ,垂足分别为 G,H .若AG -,请直接2写出FH的长.思路分析 基于问题情境，易证 DN MB EC.问题探究如图11,由MN垂直平分 AE,连结AQ,则AQEQ.猜想AQEQ,由可能的等腰直角AQE的两腰加一线（HI）（即过点Q作HI AD）,构造一线三直角模型.又易证 AH AD HD HI HQ QI ,再加

7、上 AQ EQ,可得 AHQ QIE ,故AQ EQ成立，从而 AEF 45（2）如图12,连结AC交BD于O ,由题意易得 APN的直角顶点P在OB上运动.若点P与点B重合，则点P与点D重合.若点P与点O重合，则点P的对应点为O ,易得 ADO 45 .当点P在OB上运动时，易证四边形 APNP为正方形.过点P作PG CD于G ,过点 P作P H CD延长线于H ,由“一线三直角”全等模型，得PGN NHP ,所以PG NH,GN HP .又易得PG GD ,故GN DH ,从而DH HP，所以 P DH 45 ,故点P在 线段DO上运动。过点S作SK DO于K ,易得SK J2 ,即P S

8、的最小值是J2 .(T图11图12问题拓展如图13,注意到直角M,FE AG于E ,得三直角(AGM MAF(AGM : FEA),实现边的比例关系(GM AE同时易得矩形FEGH ,5 故 FH EG AG AE - AE ,2结合GM JAM ,问题转化为求GM , AM AE AF延长AG交BC于P ,连结PM . 由MN为折痕，得 BM BM,AM PM,AP 2AG 5,故 BP 3, 所以 AB BP 3,AC 4 3 1.设PM AM x,则 BM AB AM 4 x.在Rt BMP中，由勾股定理得2 o22(4 x) 3 x ,-25解得AM x臼， 8一257故 B M BM 4 -, 88MG . (25)2 (5)2-. 828F的两直角边加一线AG ,过点F作FEA 90 ),构造两相似的直角三角形AM).AF,AF的长.问题进一步转化为求 AF的长.(AB M MAF FC A 90 ),得 AB M所以AF 丝. 7加一线(BC )和三等角AF C A 日口 AF 1FCA'故前前即三,最后，由 AGM : FEA ,得GM AMAE AF1525即亘且AE 2