1.2—定积分的概念与性质ppt课件

1、第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用前页前页结束结束后页后页一、定积分问题举例一、定积分问题举例P253P253）1 1、曲边梯形的面积、曲边梯形的面积: : 如图如图, ,由连续曲线由连续曲线 y=f(x) y=f(x)，直线，直线 x=a x=a，x=b x=b 及及x x轴轴围成的图形称为曲边梯形围成的图形称为曲边梯形. .下面我们求曲边梯形的面积下面我们求曲边梯形的面积(1)(1)分割分割在在(a,b)内插入内插入n1个分点个分点bxxxxxann 1210 , , . ,112110nniixxxxxxxx ， 把区间a,b分成n个小区间记每一个小区间记每一个小区间 的长度为的

2、长度为1 (12)iiixxxin ， ，1,iixx abx( )yf x oy51 定积分的概念与性质定积分的概念与性质前页前页结束结束后页后页(2) 取近似取近似 表示第表示第i个小曲边梯形的面积个小曲边梯形的面积,在小区间在小区间 内任取一点内任取一点 ,过点过点 作作x轴的垂线与曲线轴的垂线与曲线交于点交于点 ,以以 为底为底, 为高做矩形为高做矩形,以此矩以此矩形做为小曲边梯形面积的近似值形做为小曲边梯形面积的近似值,那么那么iA 1,(1,2, )iixxin 1()iiiixx i (,()iiiPfix ()if ()iiiAxf a( )yf x MNoy(3)求和求和将所

3、有矩形面积求和将所有矩形面积求和1122 ()()()nnnAfxfxfx 1()niiifx xb过每个分点过每个分点 xi (i=1,2,n)作作y轴的平行线，将曲边梯形轴的平行线，将曲边梯形分割成分割成n个小曲边梯形个小曲边梯形.1ixixi前页前页结束结束后页后页(4)取极限取极限 记记 为所有小区间中长度的最大者为所有小区间中长度的最大者,即即 ,当当 时时,总和的极限就是曲边梯形面积总和的极限就是曲边梯形面积A,即即 1maxii nx 0 01lim()niiiAfx (1) 分割分割2、变力沿直线所做的功、变力沿直线所做的功. ,)( 做的功，求变力区间为连续函数，质点的位移的

4、是位移已知变力设某质点作直线运动，FbassF在在 插入插入n个分点个分点0121 innassssssb , a b那么那么 即是曲边梯形面积的近似值即是曲边梯形面积的近似值.nA前页前页结束结束后页后页将闭区间将闭区间a,b分成分成n个小区间个小区间:011211 , ,iinns ss sssss 1 (1,2, )iiisssin 小区间的长度小区间的长度(2)取近似取近似 在每一个小区间在每一个小区间 上任取一点上任取一点 ,把把 做为做为质点在小区间上受力的近似值质点在小区间上受力的近似值,于是于是,力力F在小区间在小区间 上对质点所做的功的近似值为上对质点所做的功的近似值为1,i

5、iss i ()iF 1,iiss () (1,2, )iiiWFsin 前页前页结束结束后页后页(3)求和求和11() nniiiiiWWFS 把各小区间上力把各小区间上力F所做的功的近似值加起来所做的功的近似值加起来,即得到即得到在区间在区间 上所做功的近似值上所做功的近似值,即即 ,a b(4)取极限取极限 把所有小区间的最大长度记为把所有小区间的最大长度记为 ,即即 ,则当则当 时时,和式的极限即为变力在区间和式的极限即为变力在区间 上对质点上对质点所做的功所做的功,即即 max()is 0 ,a b01 lim() niiiW =Fs 前页前页结束结束后页后页二、定积分的定义二、定积

6、分的定义P256P256）, , , :, :1,)( 1121101210nniinnxxxxxxxxnbabxxxxxanbabaxf个小区间分成把区间个分点中任意插入上有界，在在设函数定义定义),(1iiiixx上任取一点在每一个小区间各个小区间的长度为, 11iiiiixxxxxniiixf1)( )(简称积分和式作和式前页前页结束结束后页后页，记作上的在区间数相等，则称此极限为函述和式的极限都存在且时，上任意取法，只要当上点和小区间任一分法，如果对区间记 ,)( 0,.,max12baxfxxbaxxxiiini定积分(简称积分)01( )dlim(),nbiiaif xxfx 其中

7、其中f(x)叫做被积函数，叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，叫做被积表达式，x 叫叫做积分变量，做积分变量，a叫做积分下限，叫做积分下限，b叫做积分上限，叫做积分上限，a,b叫做积分区间叫做积分区间.前页前页结束结束后页后页 根据定积分的定义，前面所讨论的两个引例就可以用定积分概念来描述： 曲线 、x轴及两条直线x=a,x=b所围成的曲边梯形面积A等于函数f(x)在区间a,b上的定积分，即)0)()( xfxf.d )(xxfAba 前页前页结束结束后页后页 如果函数 f (x) 在区间a,b上的定积分存在，则称函数 f (x) 在区间a,b上可积. 质点在变力F(s)作用下作直线运动

8、，由起始位置a移动到b，变力对质点所做之功等于函数F(s)在a,b上的定积分，即( )dbaWF s s 可以证明可以证明:若函数若函数f (x)在区间在区间a,b上连续上连续,或只有有或只有有 限个第一类间断点限个第一类间断点,则则f (x)在区间在区间a,b上可积上可积.前页前页结束结束后页后页 关于定积分的概念，还应注意两点: (1)定积分 是积分和式的极限，是一个数值，定积分值只与被积函数f(x)及积分区间a,b有关，而与积分变量的记法无关.即有.d)(d)(d)( bababauufttfxxfxxfbad)( (2)函数函数 f (x)在在a , b 上可积的充分条件是：上可积的充

9、分条件是： 定理定理1P258设函数设函数 f (x)在区间在区间a , b 上连续，上连续，则则f(x)在在a , b上可积。上可积。 定理定理2P258设设f (x)在区间在区间a , b 上有界，且只上有界，且只有有限个间断点，则有有限个间断点，则f(x)在在a , b上可积。上可积。前页前页结束结束后页后页 如果在a,b上 ，此时由曲线 y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，则定积分 在几何上表示上述曲边梯形的面积A的相反数.定积分的几何意义：（定积分的几何意义：（P258P258） 如果在a,b上 ，那么 在几何上表示由曲线y=f(x)，直线x=a，x

10、=b及x轴所围成的曲边梯形的面积.0)( xf baxxfd)( )0f x( )dbaf xxax( )yf x oybax( )yf x oyb前页前页结束结束后页后页 如果在a,b上 f(x)既可取正值又可取负值，则定积分 在几何上表示介于曲线 y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴之间的各部分面积的代数和. baxxfd)(1324( )d()()baf xxAAAA 1234AAAAx y= f (x)aboyA4A3A2A1() dbaAfxx前页前页结束结束后页后页四、四、 定积分的性质定积分的性质P262） 在定积分在定积分 的定义中，总假设的定义中，总假设 ，为了，为了今后的

11、使用方便，对于今后的使用方便，对于 时作如下规定：时作如下规定：xxfbad)( ba baba ，.d)(d)( ,0d)( xxfxxfbaxxfbabaabba 时时当当；时时，当当设下面函数设下面函数f (x)， fi (x)， g(x)在在a,b上可积上可积.性质性质1 1 两个函数代数和的定积分等于它们定积分的代数两个函数代数和的定积分等于它们定积分的代数 和，即和，即 ( )( )d( )d( )dbbbaaaf xg xxf xxg xx前页前页结束结束后页后页推广性质推广性质1 1知：知： 有限个函数的代数和的定积分等于各有限个函数的代数和的定积分等于各函数的定积分的代数和，

12、即函数的定积分的代数和，即1212( )( )( )d ( )d( )d( )d .bnabbbnaaafxfxfxxfxxfxxfxx性质性质2 2 被积函数的常数因子可以提到积分号外被积函数的常数因子可以提到积分号外. .).( d)(d)( 是常数kxxfkxxkfbaba性质性质3 3 如果积分区间a,b被分点c分成区间a,c和c,b, 那么( )d( )d( )dbcbaacf xxf xxf xx前页前页结束结束后页后页 性质3表明定积分对积分区间具有可加性，这个性质可以用于求分段函数的定积分. 当c在区间a,b 之外时，上面表达式也成立.性质性质4 4，则则上上恒恒有有如如果果在

13、在区区间间1)(, xfba.d1d)(abxxxfbaba 性质性质5 5，则则上上恒恒有有如如果果在在区区间间0)(, xfba(0.)dbaf xx ，则则上上恒恒有有如如果果在在区区间间)()(,xgxfba 推论推论1 1 ( )d( )d .bbaaf xxg xx前页前页结束结束后页后页推论推论2|( )d |( ) d ().bbaaf xxf xxab性质性质6 (6 (估值定理估值定理) )则则上上的的最最大大值值及及最最小小值值，在在区区间间分分别别是是函函数数及及设设,)( baxfmM).( )(d)()(baabMxxfabmba mM性质性质7(7(定积分中值定理定积分中值定理) ) 如果如果函数函数f(x)f(