数学专业英语2-11,2-12

1、New Words & Expressions:assert 断言，主张断言，主张 predicate 谓词谓词 conjunction 合取合取 quantifier 量词量词connective 连词连词 quantification 量词化量词化 disjunction 析取析取 statement 语句语句2.11 数理逻辑入门数理逻辑入门Elementary Mathematical LogicKey points: 1. 了解谓词和量词的基本表示方法。了解谓词和量词的基本表示方法。 2 . 掌握概率论基本的表示方法。掌握概率论基本的表示方法。Statements invol

2、ving variables, such as “x3”, “x+y=3”, “x+y=z” are often found in mathematical assertion and in computer programs.11-A Predicates包含变量的语句，比如包含变量的语句，比如“x3”, “x+y=3”, “x+y=z” 常出现在数常出现在数学论断和计算机程序中。学论断和计算机程序中。These statements are neither true nor false when the values of the variables are not specified.

3、In this section we will discuss the ways that propositions can be produced from such statements.若未给语句中的所有变量赋值，则不能判定该语句是真是假，若未给语句中的所有变量赋值，则不能判定该语句是真是假，本节要讨论由这种语句生成命题的方法。本节要讨论由这种语句生成命题的方法。 The statement “x is greater than 3” has two parts. The first part, the variables, is the subject of the statement

4、.语句语句“x大于大于3”分成两部分，第一部分，变量，是语分成两部分，第一部分，变量，是语句的主语。句的主语。The second part-the predicate, “is greater than 3”-refers to a property that the subject of the statement can have.第二部分，谓语，第二部分，谓语，“大于大于3”，指的是语句主语具有的，指的是语句主语具有的性质。性质。We can denote the statement “x is greater than 3” by P(x), where P denotes the

5、predicate “is greater than 3” and x is the variable.把语句把语句“x大于大于3”记为记为P(x), 其中其中P表示谓词表示谓词“大于大于3”，而而x是变量。是变量。The statement P(x) is also said to be the value of the propositional function P at x. Once a value has been assigned to the variable x, the statements P(x) becomes a proposition and has a trut

6、h value.语句语句P(x)也称为命题函数也称为命题函数P在在x点处的值。一旦赋予变点处的值。一旦赋予变量量x一个值，语句一个值，语句P(x)就成为一个命题就成为一个命题,有了真假值。有了真假值。When all the variables in a propositional function are assigned values, the resulting statement has a truth value. However, there is another important way, called quantification, to create a propositi

7、on from a propositional function.当命题函数所有变量都赋值时，结果语句就有了真假当命题函数所有变量都赋值时，结果语句就有了真假值。但是还有另外一种方式，称为量词化，可从命题值。但是还有另外一种方式，称为量词化，可从命题函数中得到命题。函数中得到命题。11-B QuantifiersTwo types of quantification will be discussed here, namely, universal quantification and existential quantification .这里讨论两种量词化方法，这里讨论两种量词化方法，也就

8、是也就是全称量词化和存在全称量词化和存在量词化。量词化。Many mathematical statements assert that a property is true for all values of a variable in a particular domain, called the universe of discourse. 许多数学语句认为，性质对论域这个特定领域内变量许多数学语句认为，性质对论域这个特定领域内变量的所有值都成立。的所有值都成立。Such a statement is expressed using a universal quantification.

9、这样的语句可用全称量词化表示。这样的语句可用全称量词化表示。The universal quantification of a propositional function is the proposition that assert that P(x) is true for all values of x in the universe of discourse. The universe of discourse specifies the possible values of the variable x.命题函数的全称量词化是一个命题，认为命题函数的全称量词化是一个命题，认为P(x)

10、对论域对论域中中x的所有值的所有值P(x)都是真的。论域指定变量都是真的。论域指定变量x的可能取的可能取值值. 本小节重点掌握本小节重点掌握本节要讨论由这种语句生成命题的方法。本节要讨论由这种语句生成命题的方法。The ways that propositions can be produced from such statements will be discussed in this section.New Words & Expressionsevent 事件事件 sample 样本样本population 总体总体 statistics 统计学统计学 probability 概

11、率概率2.12 概率论与数理统计概率论与数理统计Probability Theory and Mathematical StatisticsIn discussions involving probability, one often sees phrases from everyday language such as “two events are equally likely,” “an event is impossible,” or “an event is certain to occur.”在讨论概率论时，会常常从日常用语中看到这样的语在讨论概率论时，会常常从日常用语中看到这样的

12、语句：两个事件是同等可能的，一个事件是不可能的，句：两个事件是同等可能的，一个事件是不可能的，一个事件肯定发生。一个事件肯定发生。Expressions of this sort have intuitive appeal and it is both pleasant and helpful to be able to employ such colorful language in mathematical discussions.这种表达方式非常直观，在数学讨论中，乐于使用这这种表达方式非常直观，在数学讨论中，乐于使用这样有色彩的语言，而且使用起来很有帮助。样有色彩的语言，而且使用起来很

13、有帮助。Before we can do so, however, it is necessary to explain the meaning of this language in terms of the fundamental concepts of our theory.但是，在我们这么做之前，有必要根据我们理论的基但是，在我们这么做之前，有必要根据我们理论的基本概念来解释这种语句的含义。本概念来解释这种语句的含义。 Because of the way probability is used in practice, it is convenient to imagine that

14、 each probability space (S,B,P) is associated with a real or conceptual experiment.根据概率论实际应用的方式，把每一个概率空间根据概率论实际应用的方式，把每一个概率空间(S,B,P)想象成对应于一个实际的或者概念上的试验想象成对应于一个实际的或者概念上的试验是很方便的。是很方便的。The universal set S can then be thought of as the collection of all conceivable outcomes of the experiment, as in the

15、example of coin tossing discussed in the foregoing section.全集全集S是试验中所有可能结果的集体，就像前面章节是试验中所有可能结果的集体，就像前面章节讨论的掷硬币的例子。讨论的掷硬币的例子。Each element of S is called an outcome or a sample and the subsets of S that occur in the Boolean algebra B are called events. The reasons for this terminology will become more

16、 apparent when we treat some examples.S的每一个元素称为结果或者样本，在布尔代数的每一个元素称为结果或者样本，在布尔代数B中中出现的出现的S的子集称为事件，为什么使用这个术语在的子集称为事件，为什么使用这个术语在我们举例后就会很明显。我们举例后就会很明显。Assume we have a probability space (S,B,P) associated with an experiment. Let A be an event, and suppose the experiment is performed and that its outcome

17、 is x. (In other words, let x be a point of S.)假设有一个对应于某一个试验的概率空间假设有一个对应于某一个试验的概率空间(S,B,P) 。A是一个事件，假设试验已经完成，结果是是一个事件，假设试验已经完成，结果是x(换句话说，换句话说，x是是S中的一个点中的一个点)。This outcome x may or may not belong to the set A. If it does, we say that the event A has occurred.结果结果x可能属于集合可能属于集合A，也可能不属于，也可能不属于A。如果属于，。如果属

18、于，则称事件则称事件A发生。发生。否则，称事件否则，称事件A不发生，那么余事件发生。不发生，那么余事件发生。如果如果A等于空集，事件等于空集，事件A称为不可能事件，因为在这称为不可能事件，因为在这种情况下试验的任何结果都不是种情况下试验的任何结果都不是A中的元素。中的元素。Otherwise, we say that the event A has not occurred, in which case , so the complementary event has occurred.xAAAn event A is called impossible if , because in thi

19、s case no outcome of the experiment can be an element of A.A The event A is said to be certain if A=S, because then every outcome is automatically an element of A.如果如果A=S，则称事件，则称事件A是必然事件，因为每一个结果是必然事件，因为每一个结果必然是必然是A中的元素。中的元素。Each event A has a probability P(A) assigned to it by the probability functi

20、on P. 每一个事件每一个事件A都通过概率函数都通过概率函数P被赋予一个概率被赋予一个概率P(A)。The number P(A) is also called the probability that an outcome of the experiment is one of the elements of A.数数P(A)又称为试验的结果，是又称为试验的结果，是A的一个元素的概率。的一个元素的概率。We also say that P(A) is the probability that the event A occurs when the experiments is perfor

21、med.也称也称P(A)是试验完成时事件是试验完成时事件A出现的概率。出现的概率。The impossible event must be assigned probability zero because P is a finitely additive measure. However, there may be events with probability zero that are not impossible.因为因为P是有限可加测度，所以不可能事件被赋予零是有限可加测度，所以不可能事件被赋予零概率。然而，也存在具有零概率的事件，但它并不概率。然而，也存在具有零概率的事件，但它并不是不可能事件。是不可能事件。In other words, some of the nonempty subsets of S may be assigned probability zero. The certain event S