线性代数及其应用：第一章 矩阵

1、线性代数及其应用代数由费马和笛卡尔的工作产生于代数由费马和笛卡尔的工作产生于17世纪世纪关孝和或莱布尼兹引入行列式关孝和或莱布尼兹引入行列式,雅可比和范德蒙发展雅可比和范德蒙发展詹姆斯或凯莱引入矩阵詹姆斯或凯莱引入矩阵克莱姆克莱姆,高斯高斯,若当引入方程组若当引入方程组我国九章算术中有一章方程我国九章算术中有一章方程历史背景历史背景1859 (清朝清朝)李善兰翻译成李善兰翻译成“代数学代数学”:识点内在联系图个知线性代数知识篇五矩矩 阵阵线性方程组线性方程组行列式行列式向量组向量组一一对应一一对应一一 一一 对对 应应一一一一对对应应特征问题与二次型特征问题与二次型线性方程组线性方程组求解为核

2、心求解为核心矩阵运算矩阵运算为主线为主线11 11221121 1222221 122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb11 1122121 12222a xa xba xa xb核心核心第一节第一节 矩阵矩阵矩阵概念的引入矩阵概念的引入一、一、矩阵的定义矩阵的定义二、二、小节、思考题小节、思考题三、三、第一章第一章 矩阵矩阵 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa221122222121112121111. 线性方程组线性方程组的解取决于的解取决于 , 2 , 1,njiaij 系数系数 n,ibi21 常数项常数项 nnnn

3、nnnbaaabaaabaaa21222221111211对线性方程组的对线性方程组的研究可转化为对研究可转化为对这张表的研究这张表的研究.线性方程组的系数与常数项按原位置可排为线性方程组的系数与常数项按原位置可排为线性变换线性变换 .cossin,sincos11yxyyxx 对应对应 cossinsincosXYO yxP, 111, yxP这是一个以原点为中心这是一个以原点为中心旋转旋转 角的角的旋转变换旋转变换. 由由 个数个数排成的排成的 行行 列的元数表列的元数表nm mn njmiaij, 2 , 1;, 2 , 1 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211称为称为

4、 维维矩阵矩阵. .简称简称 矩阵矩阵. .nm nm 记作记作 mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211简记为简记为 .ijnmijnmaaAA 元元的的矩阵矩阵nmA,.(,为为代代表表元元）简简称称为为元元的的元元素素个个数数称称为为这这ijaAnm 元素是实数的矩阵称为元素是实数的矩阵称为实矩阵实矩阵,元素是复数的矩阵称为元素是复数的矩阵称为复矩阵复矩阵.则则例例如如.3,2,1, jijiaij 012101210A例如例如 34695301是一个是一个 实矩阵实矩阵,42 2222222613i是一个是一个 复矩阵复矩阵,33 421是一个是一个 矩阵矩阵,13 9

5、532是一个是一个 矩阵矩阵,41 4是一个是一个 矩阵矩阵.11 例如例如 2222222613i是一个是一个3 阶方阵阶方阵.几种特殊矩阵几种特殊矩阵(2)(2)只有一行元素的矩阵只有一行元素的矩阵 ,21naaaA 称为称为行矩阵行矩阵( (或或行向量行向量) ).nA方阵方阵. .也可记作也可记作阶阶称为称为的矩阵的矩阵行数和列数都等于行数和列数都等于nAn,)1(主对角线主对角线副副(反反)对角线对角线只有一列元素的矩阵只有一列元素的矩阵,21 naaaB称为称为列矩阵列矩阵( (或或列向量列向量).).全为零的方阵称为全为零的方阵称为上三角矩阵上三角矩阵。即即主主对对角角线线以以下

6、下元元素素形形如如）（3 nnnnaaaaaa00022211211O 称为称为( (或或）.（4） n 00000021形如形如 的方阵的方阵, ,OO全为零的方阵称为全为零的方阵称为下三角矩阵下三角矩阵。即即主主对对角角线线以以上上元元素素形形如如 nnnnaaaaaa21222111000O矩矩阵阵的的方方阵阵，即即既既是是上上三三角角又又是是下下三三角角记作记作.,21ndiagA (5) 数数(纯纯)量矩阵（标量矩阵）量矩阵（标量矩阵） 100010001nII称为称为单位矩阵单位矩阵（或（或单位阵单位阵）. .有时也记作有时也记作E E. .OO全为全为1矩阵矩阵称对角线元相等的对

7、角称对角线元相等的对角为为数量矩阵数量矩阵或或标量阵标量阵。 aaa000000000当当 时，记作时，记作1 a （6）元素全为零的矩阵称为元素全为零的矩阵称为零矩阵零矩阵， 零零矩阵记作矩阵记作 或或 . .nm nmO O注意注意 .00000000000000000000 不同阶数的零矩阵是不不同阶数的零矩阵是不“相等相等”的的.例如例如BA与与 2. 2.两个矩阵两个矩阵 为为同维矩阵同维矩阵,并并且对应元素相等且对应元素相等,即即 ijijbBaA 与与 , 2 , 1;, 2 , 1njmibaijij 则称则称矩阵矩阵 相等相等,记作记作.BA 例如例如 93483147365

8、21与与为为同维矩阵同维矩阵. 同维矩阵同维矩阵与与矩阵相等矩阵相等的概念的概念 1. 1.两个矩阵的行数相等两个矩阵的行数相等, ,列数相等时列数相等时, ,称为称为同同维矩阵维矩阵.例例1 设设,131,213321 zyxBA.,zyxBA求求已知已知 解解,BA . 2, 3, 2 zyx(1)(1)矩阵的概念矩阵的概念 mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211列列的的一一个个数数表表行行nm(2) 特殊矩阵特殊矩阵 方阵方阵 ;nm 上（下）三角阵上（下）三角阵单位矩阵单位矩阵; ;零矩阵零矩阵.100010001 ,21 naaaB ,21naaaA n 00000

9、021行矩阵与列矩阵行矩阵与列矩阵; nnnnaaaaaa21222111000 nnnnaaaaaa00022211211O ？是否等于数是否等于数一维矩阵一维矩阵11 是的！是的！100001000010B矩阵棣属关系矩阵棣属关系:单位阵单位阵数量阵数量阵对角阵对角阵三角阵三角阵方阵方阵矩阵。矩阵。 答答:对对.第二节第二节 矩阵的运算矩阵的运算第一章第一章 矩阵矩阵一一、矩矩阵阵的的加加法法二、数乘矩阵二、数乘矩阵三、矩阵与矩阵相乘三、矩阵与矩阵相乘四、矩阵的转置运算四、矩阵的转置运算五、小结、思考题五、小结、思考题、定义、定义 mnmnmmmmnnnnbabababababababab

10、aBA221122222221211112121111设有两个设有两个 矩阵矩阵 那末矩阵那末矩阵 与与 的和记作的和记作 ，规定为，规定为nm ,bB,aAijij ABBA 说明说明 只有当两个矩阵是同维矩阵时，才能进只有当两个矩阵是同维矩阵时，才能进行加法运算行加法运算.例如例如 1234569818630915312 1826334059619583112.98644741113 2 2、 矩阵加法的运算规律矩阵加法的运算规律 ;1ABBA .2CBACBA mnmmnnaaaaaaaaaA1122221112113 .,4BABAAOAOAA ,ija .负矩阵负矩阵的的称为矩阵称为

11、矩阵A1 1、定义、定义.112222111211 mnmmnnaaaaaaaaaAA 规定为规定为或或的乘积记作的乘积记作与矩阵与矩阵数数, AAA ;1AA ;2AAA .3BABA 2 2、数乘矩阵的运算规律、数乘矩阵的运算规律矩阵相加与数乘矩阵合起来矩阵相加与数乘矩阵合起来, ,统称为矩阵的统称为矩阵的线性运算线性运算. .（设（设 为为 矩阵，矩阵， 为数）为数） ,nm BA、注：注：OAAAAA 0;)1(;1.,223,240242,213571:1XAXBBA求求且且设设矩矩阵阵例例 BABAX23232,: 减减法法运运算算可可知知由由矩矩阵阵数数乘乘解解 573812 2

12、4024223213571引例引例发发送送三三种种电电脑脑集集团团公公司司向向两两家家代代理理商商某某IT下下表表所所示示：的的数数量量（单单位位：套套）如如商品名商品名代理商代理商WorkPadPCTabletNC甲甲乙乙11a12a13a21a22a23a：表表格格中中的的数数据据对对应应矩矩阵阵 232221131211aaaaaaA：件件重重量量也也可可以以列列成成矩矩阵阵这这三三种种电电脑脑的的单单价价及及单单 323122211211bbbbbbB).3 , 2 , 1(21 iibibii的单件重量的单件重量种电脑种电脑表示第表示第种电脑的单价，种电脑的单价，表示第表示第其中，其

13、中，重量是多少？重量是多少？电脑的总电脑的总公司向代理商乙所发送公司向代理商乙所发送试问：该试问：该IT 232221131211aaaaaaA 323122211211bbbbbbB的意义即的意义即、显然，由显然，由BA.322322221221即即为为所所求求可可知知bababa 家家代代理理商商所所发发送送电电脑脑的的于于是是，可可得得该该公公司司向向两两总价值与总重量矩阵：总价值与总重量矩阵： 322322221221312321221121321322121211311321121111babababababababababababaC.的的“乘乘积积”、是是矩矩阵阵我我们们可可以以

14、认认为为矩矩阵阵BAC于是，有于是，有、定义、定义 skkjiksjisjijiijbabababac12211 , 2 , 1;, 2 , 1njmi 并把此乘积记作并把此乘积记作.nssmnmBAC 设设 是一个是一个 矩阵，矩阵， 是一个是一个 矩阵，那么规定矩阵矩阵，那么规定矩阵 与矩阵与矩阵 的乘积的乘积是一个是一个 矩阵矩阵 ，其中，其中 ijaA sm ijbB ns nm ijcC AB例例2222263422142 C22 16 32 816设设,415003112101 A 121113121430B例例3 3? )3(42)2(.,BAAB求求故故 12111312143

15、0415003112101ABC. 解解 ,43 ijaA ,34 ijbB .33 ijcC5 671026 2 17 10.267321426471165233 BA注意注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘的行数时，两个矩阵才能相乘. 106861985123321例如例如不存在不存在. 而而有意义有意义 985123321106861、矩阵乘法的运算规律、矩阵乘法的运算规律 ;1BCACAB ,2ACABCBA ;CABAACB BABAAB 3（其中（其中 为数）为数）; ;4nmnmmnnmAAIIA 若若A是是 阶矩

16、阵，则阶矩阵，则 为为A的的 次幂，即次幂，即 并且并且 5nkAk 个个kkAAAA ,AAAkmkm .mkkmAA 为为正正整整数数k,m即即列的乘积列的乘积的第的第与与行行第第元为元为的的证证,),()(:)2(jCBiAjiCBA .),()(111元元的的为为jiACABcabacbankkjiknkkjiknkkjkjik 注意注意矩阵一般不满足交换律，即：矩阵一般不满足交换律，即：,BAAB .BAABkkk 例例4 设设 1111A 1111B则则,0000 AB,2222 BA.BAAB 故故但也有例外，比如设但也有例外，比如设,2002 A,1111 B则有则有, AB2

17、2 2 2 BA22 2 2.BAAB 000011111111AB同理，由同理，由.OBOAOAB 或或一一般般推推不不出出可可知知，注意注意矩阵乘法一般不满足消去律，亦即：矩阵乘法一般不满足消去律，亦即：.YXAYAX 一一般般推推不不出出例例5 5 计算下列乘积：计算下列乘积： 123321;321123 1解解 3216429633211231 10132231123321 3213332312322211312113212bbbaaaaaaaaabbb 解解332222112bababa 321bbb.222322331132112233322222111bbabbabbababab

18、a 321333231232221131211321bbbaaaaaaaaabbb331221111bababa =333223113bababa 解解 0010010010012A.002012222 .001001kAA求求设设 例例6 6 00100100201222223AAA 32323003033 由此归纳出由此归纳出 200021121 kkkkkAkkkkkkk 用数学归纳法证明用数学归纳法证明当当 时，显然成立时，显然成立.2 k假设假设 时成立，则时成立，则 时，时，nk 1 nk ,001001000211211 nnnnnnnnnnnnAAA所以对于任意的所以对于任意的

19、 都有都有k .00021121 kkkkkkkkkkkA ,00102111111 nnnnnnnnnn kkkkkkkkkkkkkkkkkIcIcIIA 0002)1(000100010)(000100010)()()000100010(:12122211另另解解定义定义 把矩阵把矩阵 的行换成同序数的列得到的的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作的转置矩阵，记作 . AAA例例,854221 A;825241 TA ,6,18 B.618 TB、转置矩阵、转置矩阵转置矩阵的运算性质转置矩阵的运算性质 ;1AATT ;2TTTBABA ;3TTAA .4TTTA

20、BAB 元元的的元元的的证证),(),()(:)4(ijABjiABT TTTABAB )(故故.),(元元的的列列的的第第行行乘乘的的第第列列的的第第行行乘乘的的第第jiABjAiBiBjATTTT 例例7 7 已知已知,102324171,231102 BA .TAB求求解法解法1 102324171231102AB,1013173140 .1031314170 TAB解法解法2 TTTABAB 213012131027241.1031314170 2、对称阵与反对称阵对称阵、对称阵与反对称阵对称阵定义定义 设设 为为 阶方阵，如果满足阶方阵，如果满足 ，即，即那末那末 称为称为对称阵对称

21、阵.AnTAA n,j , iaajiij21 A.A为对称阵为对称阵例如例如 6010861612称称为为则则矩矩阵阵如如果果AAAT, 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等。对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等。 说明说明.反对称矩阵反对称矩阵. 0. iijiijaaa显显然然，反反对对称称矩矩阵阵中中，即即满满足足例例8 设列矩阵设列矩阵 满足满足 TnxxxX,21 , 1 XXT.,2,IHHHXXIHnITT 且且阵阵是对称矩是对称矩证明证明阶单位矩阵阶单位矩阵为为证明证明 TTTXXIH2 TTTXXI2 ,2HXXIT .是对称矩阵是对称矩阵H2HHHT 22TXXI T

22、TTXXXXXXI44 TTTXXXXXXI44 TTXXXXI44 . I ,().);););).AnBnAABBABABBACABDBAB例例8 8 设设 是是 阶阶对对称称阵阵是是 阶阶反反对对称称阵阵 则则下下列列矩矩阵阵中中为为反反对对称称阵阵的的是是()(),.()TTTTTTTTABBAB AA BABBABA DABB ABA ABBAAB 选选其其实实为为对对称称阵阵例例9 证明任一证明任一 阶矩阵阶矩阵 都可表示成对称阵都可表示成对称阵与反对称阵之和与反对称阵之和.nA证明证明TTAA 2而而2AAT 为对称矩阵为对称矩阵.TTAA 222TTAAAA 为反对称矩阵为反对

23、称矩阵. 22TTAAAAA 命题得证命题得证.矩阵运算矩阵运算 加法加法数与矩阵相乘数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵转置矩阵对称阵与反对称阵对称阵与反对称阵（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘且矩阵相乘不满足交换律不满足交换律,消去律消去律.（1）只有当两个矩阵是同维矩阵时，才能）只有当两个矩阵是同维矩阵时，才能进行加减，法运算进行加减，法运算.注意注意 （3）矩阵的数乘运算是该数乘以矩阵中每）矩阵的数乘运算是该数乘以矩阵中每一个元素一个元素.思考题思考题问等式问等式阶

24、方阵阶方阵为为与与设设,nBA BABABA 22成立的充要条件是什么成立的充要条件是什么?思考题解答思考题解答 ,22BABBAABABA 故故 成立的充要条件为成立的充要条件为矩阵矩阵A、B可交换。即可交换。即 BABABA 22.BAAB 答答 ?)(,2222222成立的条件成立的条件问问BAABBABABA .BAAB 思考题思考题有有哪哪些些方方法法问问讨讨论论阶阶方方阵阵为为设设nAnA,思考题解答思考题解答答答TTTTTT )()()()1( 利利用用结结合合律律 例例.已知，已知， 求求 9633 1642321TA是是矩矩阵阵，且且(1);(2)TnAn （ 为为正正整整数

25、数）。13(3,2,1) 214;141TnnAA 数数学学归归纳纳法法为为偶偶数数当当为为奇奇数数当当例例如如找找规规律律写写答答案案)3(,21212121212121212121212121212121)2(2nInAAIAAn 第三节第三节 逆矩阵逆矩阵一、概念的引入一、概念的引入质质二、逆矩阵的概念和性二、逆矩阵的概念和性三三、逆逆矩矩阵阵的的求求法法四四、小小结结、思思考考题题第一章第一章 矩阵矩阵, 111 aaaa,11IAAAA 则矩阵则矩阵 称为称为 的的逆矩阵逆矩阵或逆阵或逆阵.A1 A在数的运算中，在数的运算中，当数当数 时，时，0 a有有aa11 a其中其中 为为 的

26、倒数，的倒数，a （或称（或称 的逆）；的逆）； 在矩阵的运算中，在矩阵的运算中，I单位阵单位阵 相当于数的乘法运算中相当于数的乘法运算中 的的1，A那么，对于矩阵那么，对于矩阵 ，1 A如果存在一个矩阵如果存在一个矩阵 ,使得使得 定义定义 对于对于 阶矩阵阶矩阵 ，如果有一个，如果有一个 阶矩阵阶矩阵 则说矩阵则说矩阵 是是可逆可逆的，并把矩阵的，并把矩阵 称为称为 的的逆矩阵逆矩阵.nAB, IBAAB BAnA使得使得.1 AA的逆矩阵记作的逆矩阵记作例例 设设,21212121,1111 BA, IBAAB .的一个逆矩阵的一个逆矩阵是是AB说明说明 若若 是可逆矩阵，则是可逆矩阵，

27、则 的逆矩阵是的逆矩阵是唯一唯一的的.AA若设若设 和和 是是 的可逆矩阵，的可逆矩阵，BCA则有则有,ICAACIBAAB 可得可得IBB BCA ABC .CCI 所以所以 的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的,即即A.1 ACB证证例如例如 设设,3002 A.的逆阵的逆阵求求A解解则则 310021BIBAAB 3100211BA .,2111AAAA 且且亦可逆亦可逆则则可逆可逆若若逆矩阵的运算性质逆矩阵的运算性质.,)1(IBAIABA 则必有则必有可逆，且可逆，且如果矩阵如果矩阵证证IIAAAABABAAABAIBA 111)()()( , 0,3且且可逆可逆则则数数可逆可逆若若AA

28、 .111 AA 且且亦亦可可逆逆则则为为同同阶阶方方阵阵且且均均可可逆逆若若,4ABBA 1111 ABBAABAB1 AIA,1IAA .111 ABAB证明证明 1ABB1 1 A ,)()(111111IBBIBBBAABABAB .1212 AA推推广广1AmA1 mA1 1A TTTAAAA11 TI , I .11TTAA .,10kkAAIAA 定义定义可逆时可逆时当当另外另外证明证明 为正整数为正整数kT1 .,5AAAAT 且且亦可逆亦可逆则则可逆可逆若若T1 IIAAAATTTT 11证证明明, 022 IAA由由 IAIAIAA2 得得AIAIIAA22 .,2,:,

29、022并求它们的逆矩阵并求它们的逆矩阵都可逆都可逆证明证明满足方程满足方程设方阵设方阵IAAIAAA 例例1 11 A .211IAA 1 A022 IAA又由又由 0432 IIAIA IIAIA 3412 IAIA34121 .43AI 12 IA例例2 2 设设,0112 A.的逆阵的逆阵求求A解解设设 是是 的逆矩阵的逆矩阵, dcbaBA则则 dcbaAB0112 1001 100122badbca利用待定系数法利用待定系数法 , 1, 0, 02, 12badbca . 2, 1, 1, 0dcba又因为又因为 0112 2110 0112 2110,1001 所以所以.21101

30、 AABAB 714121,61ABAABAA且且oo.B求求ABABAA61 ABAIA61 IBIA61 .611 IAB解解:,满满足足关关系系设设三三阶阶矩矩阵阵BA例例3 3可可逆逆，且且依依题题意意，显显然然A 7421A11000100017000400026 16000300016 610003100016.100020006 116 IAB即即4例例）均均为为可可逆逆阵阵，、（、已已知知同同阶阶方方阵阵BABA 111）则（则（BAAABBA)()(11 BABAC)()(11 ABABB1)()( BBAAD1)()( 解解11111111 ABABBAIBIABA11)(

31、 BBAAABABBA1111)()( . ）（故而选择故而选择 B同理，同理，111111 IAIBABBA111111)( ABABBABAABBBAABA1111)()( . ）（故而也可选择故而也可选择D说说明明：.()到到了了加加法法的的交交换换律律满满足足交交换换律律！而而是是使使用用法法），并并不不能能说说明明矩矩阵阵乘乘、选选择择（DB，叫做，叫做逆阵乘积的形式的技巧逆阵乘积的形式的技巧表示成一矩阵与其表示成一矩阵与其并将并将称适当乘上单位阵称适当乘上单位阵II.单位阵技巧单位阵技巧1、逆矩阵的概念及运算性质、逆矩阵的概念及运算性质.2、逆矩阵的计算方法：、逆矩阵的计算方法：

32、;1 待定系数法待定系数法 节节介介绍绍）（本本章章第第初初等等变变换换法法5.2对对待待具具体体矩矩阵阵，有有，有有对对待待抽抽象象矩矩阵阵 A;)()(法法凑凑IAA ?,11 BAYBYABAXBAXA是是否否有有唯唯一一解解矩矩阵阵方方程程是是否否有有唯唯一一解解那那么么矩矩阵阵方方程程可可逆逆若若.1的的唯唯一一性性决决定定的的这这是是由由于于是是的的 A答答.,101020101,2BAIABBA求求且且已知已知 .201030102,)()(:2 IABIAIAIAIABIA所以所以可逆可逆因为因为由已知得由已知得解解第四节第四节 分块矩阵分块矩阵一、矩阵的分块一、矩阵的分块则则

33、二二、分分块块矩矩阵阵的的运运算算法法三、小节、思考题三、小节、思考题第一章第一章 矩阵矩阵对于行数和列数较高的矩阵对于行数和列数较高的矩阵 ，为了，为了简化运算，经常采用简化运算，经常采用分块法分块法，使大矩阵的，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算运算化成小矩阵的运算. . 具体做法是：将具体做法是：将矩阵矩阵 用若干条纵线和横线分成许多个小用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为矩阵，每一个小矩阵称为 的的子块子块，以子，以子块为元素的形式上的矩阵称为块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵分块矩阵. .AAA,321 BBB bbaaA110101000001例例 A001aba110

34、000b110 1B2B3B即即 bbaaA110101000001,4321 CCCC A1a1C002C10010a3Cbb11004C即即又又例例如如, BIOA ,4321AAAA bbaaA110101000001 bbaaA110101000001 aaA01其中其中 bbB11 1001I 0000O 0101aA其中其中 1012aA 1003bA bA1004 有有相相同同的的分分块块法法采采用用列列数数相相同同的的行行数数相相同同与与设设矩矩阵阵,1BA那那么么列列数数相相同同的的行行数数相相同同与与其其中中,ijijBA.11111111 srsrssrrBABABABA

35、BA srsrsrsrBBBBBAAAAA11111111, 那末那末为数为数设设,21111 srsrAAAAA.1111 srsrAAAAA 分分块块成成矩矩阵阵为为矩矩阵阵为为设设,3nlBlmA ,11111111 trtrststBBBBBAAAAA那那末末的的行行数数的的列列数数分分别别等等于于其其中中,2121ijjjitiiBBBAAA srsrCCCCAB1111 ., 1;, 11rjsiBACkjtkikij 其其中中 即即是是方方阵阵且且非非零零子子块块都都其其余余子子块块都都为为零零矩矩阵阵上上有有非非零零子子块块角角线线的的分分块块矩矩阵阵只只有有在在主主对对若若阶

36、阶矩矩阵阵为为设设.,5AnA,21 sAAAAOO ,411 srAAA设设rA11sA.11 TsrTTAAA则则TsA1TrA1TsA1TrA1.11 TsrTTAAA则则,21 sAAAAOO ., 2 , 1对对角角矩矩阵阵为为分分块块那那末末称称都都是是方方阵阵其其中中AsiAi 并并有有均均可可逆逆、则则都都可可逆逆每每个个子子块块若若, 2 , 1BAsiAi ,621 sAAAA设设oo;21 sAAAAoo1 1 1 1 OAAAOBs21 OAAAOBs121 1 1 1 ssBBBAAA00000000000072121.0000002211 ssBABABA 1001

37、1001A00001121 例例1 设设,1011012100100001 A,0211140110210101 B.AB求求解解分块成分块成把把BA, IIO1A 0211140110210101B 11BI21B22B则则 2221111BBIBIAOIAB.2212111111 BABBAIB.2212111111 BABBAIBAB又又21111BBA 110121011121 11012043,1142 02141121221BA,1333 于是于是 2212111111BABBAIBAB.1311334210210101 例例2 2 设设,120130005 A.1 A求求解解 1

38、20130005A,21 AOOA ,51 A;5111 A,12132 A;321112 A;321112 A 12111AOOAA;5111 A.3201100051 例例3 3 设设,003100005104002000 A.1 A求求解解.算算看看成成分分块块矩矩阵阵可可简简化化计计显显然然将将A,21 OAAOA取取,02141011 A则则,300512 A于是于是 OAAOOAAOA11121211 0002100410300005001A2A例例4 (4 (性质性质) ) 设设有分块形式：有分块形式：阶方阵阶方阵An nA ,21 TnTTA 21及及.,21 AAdiagn；

39、乘积乘积，试求矩阵，试求矩阵又有对角矩阵又有对角矩阵 解：解：AA有意义，必需取矩阵有意义，必需取矩阵依题意，为使依题意，为使 的行分块形式，即有的行分块形式，即有 nA 21 TnTT 21 TnnTT 2211同同理理，有有 n 21 nA ,21 nn ,2211 在矩阵理论的研究中在矩阵理论的研究中, ,矩阵的分块是一种最矩阵的分块是一种最基本基本, ,最重要的计算技巧与方法最重要的计算技巧与方法. .(1) 加法加法采采用用相相同同的的分分块块法法同同维维矩矩阵阵 ,(2) 数乘数乘的每个子块的每个子块乘乘需需乘矩阵乘矩阵数数AkAk,(3) 乘法乘法.,的的列列划划分分相相一一致致

40、划划分分与与的的列列的的需需相相乘乘与与若若BABA 分块矩阵之间的运算分块矩阵之间的运算分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似(4) 转置转置 srAAA11rA11sATsA1TrA1 TsrTTAAA11(5) 分块对角阵的逆阵分块对角阵的逆阵 sAAAA21OO ., 2 , 1112111 siAAAdiagAsiAA且且可逆可逆可逆可逆,都都是是可可逆逆方方阵阵和和其其中中设设CBCODBA .,1 AA并求并求可逆可逆证明证明证证,1 YWZXA设设.000 IIYWZXCDB则则 .,ICYOCWODYBZIDWBX .,1111OWD

41、CBZCYBX.11111 CODCBBA因此因此第五节第五节 初等变换和初等矩阵初等变换和初等矩阵同解变换同解变换方程组的方程组的一、初等变换的引入一、初等变换的引入 二二、矩矩阵阵的的初初等等变变换换三、初等矩阵的概念三、初等矩阵的概念四、初等矩阵的应用四、初等矩阵的应用五、小结、思考题五、小结、思考题第一章第一章 矩阵矩阵引例引例求解线性方程组求解线性方程组 12130232121321xxxxxxxx我们来分析用消元法解下列方程组的过程我们来分析用消元法解下列方程组的过程解解132 123 31 13135023232321xxxxxxx132)(I 13135023232321xxx

42、xxxx1325 3223 4121302332321xxxxxx132 3100232321xxxxx132323)121( 3 3100232321xxxxx1323 12 21 31031321xxx)(II的的解解。即即原原方方程程组组显显然然，方方程程组组)()(III小结：小结：1上述解方程组的方法称为上述解方程组的方法称为Gauss消元法消元法三三类类：中中用用到到的的变变换换不不外外经经观观察察，发发现现解解题题过过程程 2（1）交换两个方程的次序；）交换两个方程的次序；（3）一个方程加上另一个方程的常数）一个方程加上另一个方程的常数k倍倍ij（ 与与 相互替换）相互替换）（以

43、替换）（以替换）i i（2）以不等于的常数）以不等于的常数 乘上某个方程；乘上某个方程； j（以替换）（以替换）k ij3上述三种变换都是可逆的上述三种变换都是可逆的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是变换是同解变换同解变换ji)(A若若),(B)(B则则);(Ajik )(A若若),(Bji)(A若若),(Bi )(B则则);(Ai 1 )(B则则).(A)( k ji因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与

44、运的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算算若记若记 121110130121)(bAA则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵 (方方程组（程组（I）的增广矩阵）的变换）的增广矩阵）的变换A定义定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换: ）；）；记作记作两行两行对调两行（对调对调两行（对调ijrji,1 ;02乘乘以以某某一一行行的的所所有有元元素素以以数数 ）记作记作行乘行乘（第（第)(, iri .)(3 ）记记作作行行上上倍倍加加到到第第行行的的对对应应的的元元素素上上去去（第第倍倍加加到到另另一一行行把把某某一一行行所所有

45、有元元素素的的krjkikij定义定义2 矩阵的矩阵的初等列变换初等列变换与与初等行变换初等行变换统称统称为为初等变换初等变换 初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类且变换类型相同型相同 同理可定义矩阵的初等列变换同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是所用记号是把把“r”换成换成“c”)ijr)( ir逆变换逆变换逆变换逆变换;)1( ir)(krij逆变换逆变换. )( krij ijr等价关系的性质：等价关系的性质：；反身性反身性）（A A 1A;B , B A 2则则若若对称性对称性）（C. AC,BB, A 3则则若若）传递性）传递性（等价，记作等价，记作

46、与与就称矩阵就称矩阵，矩阵矩阵经有限次初等变换变成经有限次初等变换变成如果矩阵如果矩阵BABABA具有上述三条性质的关系称为等价关系具有上述三条性质的关系称为等价关系例如，两个线性方程组同解，例如，两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价就称这两个线性方程组等价3定义定义定义定义 由单位矩阵由单位矩阵 经过经过一次一次初等变换得到的方初等变换得到的方阵称为初等矩阵阵称为初等矩阵. .I三种初等变换对应着三种初等方阵三种初等变换对应着三种初等方阵. 矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛用广泛. 行行（列列）上上去去乘乘某某行行（列列）加加到到另另

47、一一以以数数乘乘某某行行或或某某列列；以以数数对对调调两两行行或或两两列列；k. 30. 2. 1 行行（列列）矩矩阵阵，得得初初等等两两行行（列列），即即中中第第对对调调)(,ijijcrjiI对对调调两两行行或或两两列列、1 1101111011ijijCR行行第第 i行行第第 j列列第第 i列列第第 j).(ijijCR，得，得左乘左乘阶初等行矩阵阶初等行矩阵用用nmijijaARm )( mnmminiijnjjnijaaaaaaaaaaaaAR21212111211行行第第 i行行第第 j).( ijrjiAA行对调行对调行与第行与第的第的第把把：施行第一种初等行变换施行第一种初等行

48、变换相当于对矩阵相当于对矩阵，右乘矩阵右乘矩阵阶初等列矩阵阶初等列矩阵以以类似地，类似地，ACnij mnmimjmnijnijijaaaaaaaaaaaaAC12222111111).( ijcjiAA列对调列对调列与第列与第的第的第把把：施行第一种初等列变换施行第一种初等列变换相当于对矩阵相当于对矩阵 02乘某行或某列乘某行或某列、以数、以数 阵阵），得初等行（列）矩），得初等行（列）矩（即即列列第第行行乘单位矩阵的第乘单位矩阵的第以数以数)()()(0 iicrji 1111)()( iiCR行行第第 i第第 i 列列).()( iiCR；行行的第的第乘乘相当于以数相当于以数)( iri

49、A mnmminiiniaaaaaaaaaAR212111211)( 行行第第 i类类似似地地，得，得左乘矩阵左乘矩阵以以ARi)( ).( )( iiciAAC列列的第的第乘以乘以相当于以数相当于以数，其结果，其结果矩阵矩阵右乘右乘以以上上去去列列加加到到另另一一行行列列乘乘某某行行、以以数数)()(3k)()( kcijIkkrjiIkjiij列列上上列列加加到到第第的的第第乘乘或或以以行行上上行行加加到到第第的的第第乘乘以以 1111)()(kkCkRjiij行行第第i行行第第j，得，得左乘矩阵左乘矩阵以以AkRij)( mnmminjnijijiniinijaaakaakaakaaaa

50、aaaaAkR2122112111211)().(krjkiAij行上行上加到第加到第行乘行乘的第的第等价于把等价于把 ).()(kcikjAAkCjiji列上列上加到第加到第列乘以列乘以的第的第把把，其结果相当于，其结果相当于右乘矩阵右乘矩阵类似地，以类似地，以 mnmjmjmimnjjinjjijiaakaaaaakaaaaakaaakAC1222221111111)( 定理定理1 1 设设 是一个是一个 矩阵，对矩阵，对 施行一施行一次初等行变换，相当于在次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于施行一次初等列变换，

51、相当于在在 的右边乘以相应的的右边乘以相应的 阶初等矩阵阶初等矩阵. .nm mnAAAAA综合得综合得初等变换初等变换初等矩阵初等矩阵初等逆变换初等逆变换初等逆矩阵初等逆矩阵 1；的的逆逆变变换换是是其其本本身身，则则变变换换ijijijRRr );1()()1()(1 iiiiRRrr ，则则的的逆逆变变换换为为变变换换. )()()()(1kRkRkrkrijijijij ，则则的的逆逆变变换换为为变变换换的的变换把它变为形如下式变换把它变为形如下式总可经过有限次初等总可经过有限次初等对于任何矩阵对于任何矩阵, nmA 2定理定理.标准形标准形nmrOOOIN ，必必可可找找到到初初等等

52、矩矩阵阵矩矩阵阵亦亦即即，对对任任一一Anm 使使得得,11slCCRRnmrOOOI slCACRR11.为为零零阵阵，其其余余元元素素全全的的左左上上角角是是一一个个单单位位矩矩N特点特点：.,有有关关的的实实数数是是个个与与三三个个数数唯唯一一确确定定，其其中中此此标标准准形形由由nmrrnm证明略证明略 00000310003011040101例如，例如， 00000310004010130110B12r 00000310003011040101)1()1(2414ccN 00000001000001000001 0000030100310104100134 c 00000301003

53、001040001.的的标标准准形形即即为为矩矩阵阵矩矩阵阵BN)4(15 c)3(25 c)3(35c注意注意有有四四种种变变形形：标标准准形形N OIr,)1( OIr)2()()4(nmrIr OI 0)3( 121110130121)(bAA比比如如对对节节首首的的引引例例，有有 31100001031001r 010000100001)31(14c)31(34c OI ,3 矩阵的标准形分解矩阵的标准形分解成成：可可改改写写可可逆逆阵阵，定定理理由由于于可可逆逆阵阵的的乘乘积积仍仍是是2，使得，使得阶可逆阵阶可逆阵、阶可逆阵阶可逆阵，必可找到，必可找到矩阵矩阵对任一对任一定理定理Qn

54、PmAnm 2QOOOIPAnmr )2 . 5 . 1(.)2 . 5 . 1(的的标标准准形形分分解解为为矩矩阵阵一一般般称称式式A1例例.342172建立标准形分解建立标准形分解试对矩阵试对矩阵 A解解 342172A12r)4()2(1312rr 503021)5()31(232rr 001021)2(12c 001001 OI2标准形标准形有有初初等等矩矩阵阵的的对对应应关关系系，于于是是，根根据据初初等等变变换换与与 OI2)2()2()4()31()5(12121213223ACRRRRR 仍仍是是初初等等阵阵，即即得得根根据据初初等等矩矩阵阵的的逆逆矩矩阵阵)2()2()4()

55、31()5(11221121213223 COIRRRRRA)2()5()31()4()2(12212312113112112 COIRRRRR)2()5()3()4()2(122232131212 COIRRRRR)2()5()3()4()2(1223232131212 COIIRRRRR)()2(150010001)3()4()2(1222131212 COIRRRR)2(150030001)4()2(122131212 COIRRR )2(154030001)2(1221212 COIRR)2(154030001)2(1221212 COIRR )2(15403200112212 COI

56、R )2(1540010321222 CIOI)(QOIPOI 221021154001032.解毕解毕 定理定理3 3 A A为可逆方阵的充分必要条件是存在为可逆方阵的充分必要条件是存在有限个初等方阵有限个初等方阵.,2121llPPPAPPP 使使.,:1 BPAQQnPmBAnm 使使阶可逆方阵阶可逆方阵及及阶可逆方阵阶可逆方阵存在存在的充分必要条件是的充分必要条件是矩阵矩阵推论推论2推论推论可可经经过过可可逆逆的的充充分分必必要要条条件件是是阶阶矩矩阵阵AAn.的充分必要条件的充分必要条件可逆可逆为单位矩阵，即矩阵为单位矩阵，即矩阵有限次初等行变换后化有限次初等行变换后化AIA r逆矩阵的方法。逆矩阵的方法。变换求变换求，可以得到利用初等行，可以得到利用初等行利用推论利用推论2注意：注意：（应用一）（应用一）利用初等变换求逆阵的方法：利用初等变换求逆阵的方法：，有，有可逆时，由可逆时，由当当lPPPAA21 ,11111IAPPPll , 1111