《几何画板》与高中数学教学整合研究探索

1、几何画板与高中数学教学整合研究探索刘 根 祥 （西安市育才中学，陕西 西安，710061）【摘 要】：通过对几何画板在数学课堂教学中的整合案例的分析，展现用几何画板进行辅助教学的特有的优势。充分体现数学源于实践，源于生活；充分体现“以学生发展为本”；具体实现“数学教学是数学活动的教学”；“数学是学会的，而不是教会的”等教学新理念；同时揭示了几何画板与数学教学整合的一些规律。【关键词】：几何画板数学教学整合 探索建构主义学习理论认为：知识不是通过教师传授得到的，而是学习者在一定的情境下，借助于他人（包括教师和学习伙伴）的帮助，利用必要的学习资料、媒体，通过意义建构的方式而获得的。所以数学知识的学

2、习，需要学生主动观察、探索来消化和理解，最终建立自己的数学认知结构。而在传统教学过程中，往往只重视数学结论的得出，而忽视数学过程的学习，这就大大脱离了学生的经验体系，导致学生不能很好地理解数学知识和数学逻辑，而几何画板正是理想的能够帮助学生从动态中观察、探索、发现数学知识的工具。它功能强大、操作简便，能够为数学课程整合提供理想的教学环境，借助几何画板，我们可以激活课本内容，让静止的图形运动，准确测算处理数据，并实现数形的实时追踪，这样就可以为学生创设有意义的问题和情景，帮助学生理解概念的形成过程，暴露公式的推导过程，展现推理的思维过程，在课件的引导下还可以探索发现数学的规律。它的开放性，使得它

3、能成为学生在建构意义下的认知工具，利用它开展数学CAI，避免了学生按教师预先设计好的教学程序来学习所带来的弊端。又可以让学生在教师指导下利用计算机自主参与和思维的整个过程。具有高度选择性、探索性。学生由被动接受变为主动探索，为现代教育思想指导数学CAI提供了一个很好的平台。下面结合教学实践谈谈如何利用几何画板开展数学CAI。一、几何画板与数学教学整合的探索1、利用几何画板绘制函数图像，动态地研究函数性质 现行教课书中，基本初等函数的学习，贯穿整个高中阶段，学生对这些“基本初等函数”从定义域、值域、图像、性质的掌握并不觉得困难，但由这些基本初等函数经有限次加、减、乘、除、乘方、开方、复合生成的初

4、等函数，学生在学习中感觉不好理解。在数学学习中，“数形结合”是传统的、形之有效的教与学的方法，而往往一个并不复杂的函数，想绘制草图都很困难。苦于条件限制，教师在教学中也只是就基本初等函数具有的性质结合复合函数、单调性等定义，反复讲解复合后的函数性质，从理论到理论，但效果也并不理想，往往需要配备大量的重复的练习才能使接受能力较好的同学摸到一些门道。我在这段内容的教学中，使用几何画板中“绘制新函数”功能，较好地解决了这个问题。例1：讨论y=log2(x-2)2-2的性质刚刚学过对数函数，学生知道函数y=logaX在a1时是增函数，所以立即有学生回答这是增函数，对于学生的积极性，我并没有立即肯定、或

5、否定学生的回答，而是用几何画板当场作出函数的图像。操作如下：打开几何画板，选择“图表”菜单，下拉到“绘制新函数”单击，在计算器中输入函数y=log2(x-2)2-2。单击“确定”，出现函数图像。结合函数图像，再请学生分析：图像为什么是这样的？解题应从哪些方面入手？怎样根据定义，写出解题过程？如果改变底数“2”为“ ”会怎样？y=log2(x-2)2-2 图像与y=log (x-2)2-2 的图像有什么异同？这个异同是怎样产生的？如果函数是y=a(x-2)-2,(a0,a1)会有怎样的性质？随着一系列问题的不断探讨，并获得解决，使学生从感性认识上升到理性认识，而这个图像也使学生加深了对复合函数的

6、认识，掌握讨论并解决这类问题的有效办法。又例如，函数的单调性是经常用到的一个知识点，让学生掌握它的性质是用好其性质的关键所在。利用几何画板画出a为某一特定值时此函数图象，观察其单调区间；改变a的值，再观察其单调区间，从而分析得出a与函数单区间的关系，这样对学生来讲印象就比较深刻，而且对图象的形状也有了一个总体的认识，再用单调性的定义进行理论证明，使知识的学习形象系统。又如三角函数图象变换学习中，可利用几何画板制作课件演示由y=sinx的图象到y=Asin(x+)的图象的变换，按相位变换周期变换振辐变换以及由周期变换相位变换振辐变换等几种不同的变换顺序进行演示。在演示时，抓住相位变换与周期变换的

7、先后顺序不同，则平移的单位也不同这一教学难点，重复利用慢镜头演示。通过让学生亲自目睹其现实，较好地领悟变换过程，并在教师引导下自己总结出一般性的结论，再利用相应的习题强化这一认识。在具体课堂教学时，结论可让一个学生回答，教师简单地板演、补充、纠正，最后电脑显示，以进一步在视觉上加深对结论的印象2、利用几何画板帮助学生深入理解数学思想方法数学思想是现实世界空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实和数学理论（概念、定理、公式、法则、方法等）的本质的认识，它比一般说的数学概念具有更高的抽象和概括水平，它能使我们更深刻认识数学对象，它是数学方法的精神实质和理论基础

8、。方法则是实施有关思想的技术手段。渗透数学思想方法教学一直是中学数学的难点之一，数学思想方法很多，下面以分类思想方法的渗透教学为例，阐述如何利用几何画板进行计算机辅助教学。分类思想是一种依据象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的数学思想。同一事物按不同的标准则有不同的分类结果；无论什么标准，对一种事物分类，应当既不重复又不遗漏。分类思想教学难点在于学生很难把握好以上原则，对分类事物标准不统一，分类时容易产生重复与遗漏。利用几何画板能够动态的保持给定的几何关系的特点，设计可控制的动画功能，形象直观地帮助学生深入理解数学分类思想方法。例2：求函数y=x2-x,xt,t+1的最值求解本

9、题是渗透分类思想教学的一个好例子，难点在于对什么进行分类，怎样分类。利用几何画板设计如下：在坐标系下作出y=x2-x的图象用细线表示，在x轴上取一点A坐标为（t，0）由点A平移得点B（t+1，0），由A、B构造在抛物线上对应点C、D，用粗连接曲线CD，并把t的值由计算机自动跟踪显示，拖 动点A时，发现线段AB在x轴上移动，曲线段CD在抛物线上运动。让学生仔细观察函数的最值y（C）与y（D）的变化情况，学生就不理解为什么要对t进行分类以及如何分类了。利用几何画板架起学生理解的桥梁，让学生从形象直观的图形中理解高度抽象的数学思想方法。再如在二次曲线复习教学中，为了使学生深刻理解椭圆、抛物线和双曲线

10、三者之间的联系与区别。我们也可以利用几何画板在屏幕上显示二次曲线图像，控制e（e>0）的变化，让e从小到大，关注e<l、e=l、e>l时图形由椭圆变为抛物线，再变为曲线的动态过程，使学生目睹了画面的左边缓缓“走”来了双曲线另一支的奇妙情境，十分形象地体现出二次曲线分类标准的内涵。几何画板对揭示分类思想方法是非常有效的，同样对渗透数形结合思想、化归思想、函数思想、极限思想、数学美学思想的教学也是非常有效的，值得在实践中积极探索。3、利用几何画板模拟几何图形，动态地揭示几何关系线线、线面、面面的位置关系是立体几何学习的重点，利用几何画板绘制的图形，当改变图形的某一部分时，所有相关

11、的部分也随之改变，能观察到一系列相关的情况，揭示一系列几何关系。例如三垂线定理的学习，利用几何画板制作课件，把图形运动引入教学法中，用动态的眼光研究定理的形成、发展、应用和延拓等各个阶段，从而摒弃静态图形的形状、大小、位置对学生认知的干扰，获得对定理深刻、全面的理解。在课件演示中，主要考虑三种动态变化，一是改变斜线与平面所成角及斜线的位置，可让斜面线绕斜足旋转或平移；二是平移平面上的直线，可以是经过斜足或垂足或它们之间或两边；三是平移或翻转平面。让学生认识接触变化后的图形，从图形变化中仍保持定理的存在性揭示定理的本质：三垂线定理与直线在平面内的位置，平面的位置，斜线的位置无关，只与斜线、斜线在

12、平面上的射影，平面内的直线的相互位置关系有关。笔者自己还用几何画板制作了二面角、平面图形的翻折等几个立体几何的课件，可以由按钮点击进行演示，也可以手动实时操作，让学生自己动手体会，加强了交流，课堂教学效果很不错。4、利用几何画板追踪动点路径，动态地探索动点轨迹 解析几何是综合运用代数和几何知识的一门学科，其特点之一是数和形紧密结合，特点之二是把曲线看作为点按一定几何条件运动的集合。几何画板的点追踪、轨迹功能形象直观地体现数形结合思想，以运动、变化的观点揭示解析几何的本质。在圆锥曲线定义的教学中，借助几何画板制作了三种曲线的第一定义的演示，使学生们直观地感受了曲线的形成过程，加深了印象

13、。而在三种曲线的统一定义的教学中，我又不失时机地借助几何画板，在对三种曲线的形成过程作统一解释的基础上，加以归纳和比较，帮助学生深入理解三种圆锥曲线的联系。如下图，当你拖动点A时，离心率e会随之变化，当e取大于1、等于1、小于1时，双击“动画”按钮可分别得到双曲线、抛物线、椭圆三种不同曲线。使学生们不仅知道了事物的来龙去脉，还在理解中进行了归纳和记忆。特别在轨迹的学习中，几何画板为探求点的轨迹，检验轨迹的纯粹性和完备性提供了强有力的保障。轨迹概念包含完备性和纯粹性两方面的要求，怎样才能使所求轨迹满足完备性和纯粹性，即如何堵漏去杂，一直是中学数学教学的难点。静态的图形不仅使学生，也常使教师解题思

14、考不够完整全面。如忽略对动点运动的多种情形的讨论，忽略动点的特殊位置等，从而造成轨迹的遗漏。若教师课前利用几何画板的功能对轨迹进行验证，有助于课堂的教学，并且可能从中又得到一些新的启示；而在课堂中的演示又有助于学生探索解题思路，培养思维创新能力。5、利用几何画板辅助“数学实验”几何画板是开展数学CAI理想的数学实验室，由于它具有比直尺和圆规更加准确的作图功能，提供了旋转、平移、缩放、反射等图形变换，还能进行动态测量和计算，以及动画演示，可以方便绘制多种函数图像，并且能在运动中保持给定的几何关系，所以我们可以开展一系列定量研究，运动和变换的轨迹试验。这些观察和探索的结果有助于学生理解数学知识的形

15、成过程，数学问题的解决。可以帮助教师解决教学过程中的重点、难点问题，克服传统教学的局限性。如研究一个数列，在很短时间内不可能计算出它的任意n项；研究函数的图像时，不可能在同一坐标系中迅速准确画出几个函数图像加以比校；研究圆锥曲线的统一方程时，不可能根据任意给出离心率画出圆锥曲线，现在有了几何画板，可以方便解决以上一些问题，同时给我们提供了一个数学实验室，它将极大地丰富学生的数学实践活动。高二数学（上册）抛物线一节的开始部分有一个画抛物线的实验，教具有图板、直尺、三角板、细绳和铅笔。实验操作方法如图所示，把直尺固定在图板上L位置，把三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘，再把细绳一端固定在三角尺的另一

16、直角边上的一点A。取绳长等于A到直角顶点C的长（即A到L的距离），并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F，用铅笔尖扣着绳子，使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，笔尖就在图板上描出一条曲线，即可引出抛物线的概念。 考虑到实际操作时有许多困难，需要多次操作才能完成，使用效果不是很好。因此我设计此课件实验辅助数学实验，从而把两种实验结合起来，取得了较好的效果。还可通过讲解，让学生了解课件原理：曲线上的点M都满足|MF|=|MC|，符合抛物线的义。实验时可点按相关动画按钮或拖动点F、C，让学生观察变化，以开阔视野。二、对几何画板与数学教学整合的思考l、几何画板是基础教育中

17、新的认知工具，所谓工具在辞海中有二方面的含义：一是泛指从事劳动生产所使用的器具，二是比喻用以达到某种目的的事物。“认知工具”是指：不但是一种支持，指引，扩充使用者思维的心智设备，而且还是一种计算设备。认知工具包括内部和外部两个方面。如认知学习策略，这是学习者内部环境。而我们这里要讲的是通过运用几何画板这一多媒体计算机系统的外部环境来扩充学生的思想过程的认知工具。“学而不思则惘，思而不学则殆”，它阐述了思维在学习过程中的重要性，从学习过程中看它强调了学生作为认知主体。多媒体网络技术为学生传递着大量的信息，学习只有在学生的主动参与下才有可能发生。而学生积极参与是由一系列的学习活动所激发的，学习活动

18、也是由一系列的教学事件和教学技术进行控制和支持的。几何画板这一认知工具是学生学习的一种外部条件，它可以激发起学生的内部认知工具的启动和运作。对原有的认知结构同化并吸收新的信息，或者对原有的认知结构进行重组以解释原有认知结构解释不了的问题。作为认知工具是在强调主客体的相互作用的同时，突出认知主体在建构过程中的作用，强调认知的结构和过程，这对于在教学实践中明确学生的主体地位，具有非常重要的意义。2、几何画板在课堂教学中的运用产生了良好效应。它的启动，改变了常规教学的陈旧模式，使课堂教学更加形象和生动。实践中，学生从心理上所反映出来的是惊喜和兴奋，进而有一种强烈求知欲，它可以充分调动学生的学习积极性

19、，同时也营造了一种学习活动的良好氛围。从知识学习的达成度看收效甚佳。3、几何画板运用于教学中的前景广阔。作为一种新的认知工具的独特优势，是任何传统的教学手段和模型所无法替代的，而且良好的教学效果，必能得到广泛的使用，前途光明。设想，如果学生能进一步掌握操作技能，在教师的引导下，自行构建模型，然后通过类比，优化模型，找到解决问题的途径，将起到事半功倍的成效。也为教育的一大目标，即学会自己学习、发展自己的实现奠定基础。4、使用几何画板进行数学试验教学，巧妙地将传统的基础知识教学与几何画板教学软件的特色有机结合，使几何画板教学软件成为学生自主使用的认知、探究手段和解决问题的工具，构建学生自主学习、发

20、现性学习、创造性学习、探究性学习和研究性学习的教学环境，提高了学生自主获取信息，加工处理及应用信息的能力，分析和解决问题能力，交流与合作的能力；整合中使我们的教师、学生，学习伙伴能进行多元化的信息交互，从而达成互动教学，转变传统的教与学的方式。5、利用几何画板的辅助教学，有利于学生素质的提高，把几何画板引入中学数学教学，学生主动参与讨论，做“数学试验”，参与教学实践活动，他们不再是知识的被动接受者，而是知识的主动探索者，问题的研究者，几何画板的运用使抽象、枯燥的数学概念变得直观、形象，使学生从害怕、厌恶数学变为对数学的喜爱，有效地激发他们的学习兴趣，增强他们学好数学的信心，调动了学习的积极性，特别是需要反复认识的概念，反复学习的内容，少数学生课堂上弄不清楚的，可以把软件拷贝回家，再反复观察、反复认识、反复学习，给学习困难的学生提供了再学习的机会，把电脑辅助教学“辅”到了不同层次的学生身上。    三、几何画板与数学教学整合的几点建议1、教学中的课件应以几何画板为主，但不排斥其他工具软件。几何画板在动态制作与动态演示上确有独到之处。2、我们在设计几何