流体力学_连续方程推导的巧方法

1、第31卷第2期气象教育与科技2008年总第83期流体力学连续方程推导的巧方法施春华,高庆九,李忠贤(南京信息工程大学大气科学学院,江苏南京210044)摘要:针对柱坐标系和球坐标系下流体力学中连续方程形式复杂、点,采用欧拉控制体方法,把“质量通量”整体作为一物理量,类连续方程,该过程物理意义明确、数学算法简单,关键词:连续方程;柱坐标系;球坐标系在大学流体力学教学中,在很多相关专业课程中得到广泛应用。,也易于理解,但在柱坐标系和球123坐标系中,理解相对困难。目前,很多参考书对于后两类连续,要么推导过程较为复杂,使数理基础较薄弱的学生难以理解,在此,演示柱坐标系和球坐标系下一种物理意义明确、数

2、学理解简单的连续方程的推导过程。1连续方程的一般算子形式流体运动的连续方程,是表示流体运动和其质量分布的关系式。在拉格朗日方法中,某流体块在运动时其体积和形状尽管可发生变化,但它始终由这些流点构成,因此它的质量不变。(流体)中的应用。由此可见,连续方程实质上是质量守恒定律在“连续介质”一般的拉格朗日方法考虑,某个别流体微团(质量体)在运动过程中,其随体密度的变化,必然与其体积变化趋势相反,如体积膨胀,它的密度减小,体积收缩,则密度增大。其算子形式1的通用表达式(1)=- V。dt一般的欧拉方法考虑,对于某固定位置的空间单位体积元(控制体)来说,该体积元内单位时间的质量变化,与该体积元边界上的质

3、量通量变化相联系,如质量往外流,它的密度减小,反之1则增大。其算子形式的通用表达式(2)=- (V)。t两种方法的区别:拉格朗日方法多从物理量的定义出发,模型简单容易理解,但数学解析在实基金项目:南京信息工程大学科研基金(20070097)作者简介:施春华(1978),男,博士,研究方向为气候变化,.9© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 际应用中有些困难;欧拉方法则通过适当的数学建模后,能在数学上给出方便的解析,有利于从数学角度更

4、好地理解概念。122在直角坐标系中,通过建立三维空间微元控制体(图略,很多教科书都详细给出,且易于理解),很容易得到(2)式在三维直角坐标系下连续性微分方程的一般表达式(3)+=0。txyz2柱坐标系欧拉连续方程基于柱坐标系把“质量通量”整体作为一物理量的考虑,物理意义明确,数学理解简单的欧拉连续方程的推导见图1。图1柱坐标系体积元ABCDEFGH如图1所示,柱坐标系体积元控制体ABCDEFGH,径向方向r,圆周切向方向,垂直方向z,径向速度vr,圆周切向速度v,切向线微元AD表达,垂直速度w,则径向线微元AB表达为dr为rd,垂直微元GC为dz,体积微元dV=rddrdz。dz)所引起的质量

5、通量均可表达为由径向速度vr垂直穿越面元ADHE和BCGF(面积rdvrrddz,但r坐标值在两个面元处有差异。这使得质量通量沿径向r方向不尽相同,(rrddz)就表达了质量通量在穿越面元ADHE和BCGF时沿径向r方向的梯度,乘以dr后r得(rrddz)dr,它表示了径向速度vr垂直穿越面元ADHE和BCGF后导致体积元ABCDEF2rGH内质量通量的变化量(略去高阶小量,下同),即径向速度vr引起的体积元ABCDEFGH内单位时间净流出的质量。同理,由切向速度v垂直穿越面元DCGH和ABFE(面积drdz)所引起的质量通量均可表drdz)达为vdrdz,但坐标值在两面元处不同,质量通量沿切

6、向方向的梯度描述为,而(drdz)d则描述了切向速度v垂直穿越面元DCGH和ABFE后导致体积元ABCDEF2GH内质量通量的变化量,即切向速度v引起的体积元ABCDEFGH内单位时间净流出的质10© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 量。同理,垂直速度w垂直穿越面元EFGH和ABCD(面积rddr)所引起的质量通量均可表达为wrddr,但z坐标值在两面元处不同,质量通量沿z方向的梯度描述为,而zdz则描述了垂直速度w垂直穿越面元EFGH和ABCD后导致

7、体积元ABCDEFGHz内质量通量的变化量,即垂直速度w引起的体积元ABCDEFGH内单位时间净流出的质量。和z上运动,所以流体单位该柱坐标中,流体所有运动可以分解为在3个正交的方向r、时间净流出控制体ABCDEFGH的质量就表达为(rddz)vdrdz)+,dr+d5r55z式中r、和z相互独立,密度则是空间的函数,体积微元dV=rddrdz,故有(rrddz)vdrdz)dr+d5r5(rr)()drdz+rdzrdz=r5rr)ddV+dVr5rr55z(4),又可以描述为dV,由于在质量通量的表达中,把流出控t制体的方向作为正方向,和实际控制体内质量变化的符号相反,但两者的量值相等,因

8、此(rr)()-dV=dV+dV+dV,tr5rr5z即rr)()+=0tr5rr5z(5)表达式(5)即柱坐标系下欧拉形式的连续方程。3球坐标系欧拉连续方程球坐标系中取一体积元控制体ABCDEFGH如图2所示。d,速度为u;沿经圈方坐标系中经度,纬度,球径向r;沿纬圈方向线微元AB为rcos,速度为v;球径向线微元为dr,速度为w。体积元ABCDEFGH为向线微元DA为rd=rcosdddr。ddr,这两个面元上质量通量沿纬圈方向穿越面元AEHD和BFGC的质量通量均可表达为urd后d就描述了纬圈速度u穿越面沿方向的梯度表示为,乘以d元AEHD和BFGC后导致体积元ABCDEFGH内质量通量

9、的变化量(略去高阶小量,下同),即沿纬圈方向的质量通量所引起的体积元ABCDEFGH内单位时间净流出的质量。和r相互独立,且体积元ABCDEFGH为由于、11© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 24=rcosdddr,d故沿纬圈方向的质量通量所引起的体积元ABCDEFGH内单位时间净流出的质量为=rdddrd2dddr=d=rcos55rcosrcos(6)2同理,沿经圈方向的质量通量所引起的体积元ABCDEFGH内单位时间净流出的质量为=rdddrd

10、2dddr=d=rcos55rcosrcos沿径向的质量通量所引起的体积元ABCDEFGH22ddr=cos5r22)2)drd22rr5r(7)(8)3个方向流失质量之和,应等于该体-d,故t2=+2-dddd,55trcosrcosr5r即2+=0255trcosrcosr5r(9)表达式(9)即球坐标系中欧拉连续方程的表达式。图2球坐标系体积元控制体ABCDEFGH12© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 4小结通过欧拉控制体方法,把“质量通量”整体作为一个物理量,在各独立方向上偏微分推导后,可以便捷地得到柱坐标和球坐标下欧拉形式的连续方程,该方法过程简单,物理意义明确,有利于对连续方程的理解。参考文献:1余志豪,苗曼倩,蒋全荣,等.流体力学M.3版.北京:气象出版社,2004.2吴望一.流体力学M.北京:北京大学出版社,198