导数的专题一

1、导数的综合应用一一、考纲要求：(1) 了解导数概念的实际背景；理解导数的几何意义。(2) 熟记基本导数公式。(3) 了解可导函数的单调性与其导函数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)了解可导函数在某点处取得导数的必要条 件和充分条件(导数在极值点两侧异号)，会求闭区间上函数的最大值、最小值；会利用导数解决某些实际问题。二、复习重点：(1) 导数与函数、数列、向量、不等式、解析几何、立体几何等知识的交汇。(2) 充分利用导数作为解题工具，求单调性和最值问题。三、双基考察1、设函数 f(X)二 x(x 1)(x2) (x n)，则 f'(0

2、) =n!2、 在函数y =x3 -8x的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数4是(D )A、3B、2C、1D、0解：设切点(xo，y°)，该点处的切线的斜率为y' x=x0 = 3x2 -8,其大于等于0小于1，故8 < x2 : 3且x0 Z，这样的点不存在。33、 对正整数n，设曲线y =xn(1-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为 an，则数列出的前n项和公式是2nd - 2n 1解：由y二xn(1 -x)求导得y二nxnJ -(n - 1)xn， x =2处的切线的斜率为k 二 n 2nJ -(n 1)2n，切线方程为 y -(2n -

3、2n J 珂门鸟心1 -(n 1)2n(x-2)，令 x = 0,切- a.线与y轴交点的纵坐标为 an = (n，1)2n，则数列-?的通项公式为2n，前n项和为n +1n 12 -2。4、(天津卷)函数f (x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f (x)在(a,b)内的图象如图所示,贝U函数f (x)在开区间(a,b)内有极小值点( A)yh y = f "(x)A. 1 个 B. 2 个乂zC. 3个1 / 10>x注：X = Xo是函数的极值点=X = X0是方程f'（x） = 0的根；反之不一定成立。四、典型例题3 例一、曲线y =2x - x在点（1,1）

4、处的切线方程。解：曲线y = 2xX3在点（1,1）处的切线的斜率k = yx=1，故（1，1）处的切线方程为y -仁 -（x -1）即x y -2 = 0变式训练一、2已知曲线C： f（x）=：x3-x2，经过点P（1,2）的曲线C的切线方程。解：因为点P在曲线上，过点 P的切线有两种情况：（1）点P为切点，切线方程为 2x-y =0 ；（2）点P不为切点，切线经过点P,设切点为M （ x0,y0）（x0式1），则k = y'X0=kMp即33x2 -1 =Xo_Xo，化简得（X0_1）（2X01）-0，X0=1（舍去）或X。= -1，x0 -122*1 191为（一2,8），斜率一

5、4，切线方程为x，4y-9 = 0。所以经过点 P（1,2）的曲线 C的切线方程为2x-y = 0 或 x 4y-9 = 0。变式训练二、已知曲线C : f（x） =X3-X2，求经过（2, 0）的曲线的切线方程。3+2解：点P（2, 0）不在曲线上，故设切点为 M（ x0,y0），则k = y' x»0 = kmp即3x2 -1 =x°-2化简得X：（X0 -3） =0，得X0 =0或x° =3。当x° =0时，切点 （0，2），斜率-1，切线方程x y -2 =0 ;当 X0 =3时，切点（3，26）斜率 26,切线方程 26x - y -5

6、2 =0.所以经过点P（ 2，0）的曲线的切线方程为 xy-2=0或26x-y-52 = 0.例二、已知函数f （x）二ax3+bx2+cx在x0处取得极大值，其导数f （x）的图象经过（1，0），（2，0）如图所示,求(1) Xo的值；(2) 求 a,b,c 的值；(3) 求f(x)在0, 3的最大值和最小值。解：由图象可知，在(汽 1 )上 f (x) .0，在(1,2)上 f(X)： 0，在 (2,：)上 f (x) . 0 ,故 f (x)在(-：,1),(2,：)上递增,在 (1,2)上递减,因此f (x)在x =1处取得极大值，所以xo=1.(n ) f (x) =3ax2 2bx

7、 c,由 f (1) =0, f (2) =0, f(1)=5,3a 2b c = 0,得 12a 4b c =0,a b c =5,解得 a =2,b - -9,c =12.(川)由图可知f'(x) = 0得X1 =1,X2 = 2x0(0, 1)1(1 , 2)2(2,3)3y,+0-0+y0/极大值5极小值4/9最大值9,最小值0变式训练一、设函数f(x)二ax3-6ax2 b(a>0)在-1 ,2上最大值与最小值分别为3和-29,求常数a,b。解：f (x) = 3ax2 -12a，令 f (x) = 0得 x = 0(x = 4不合题意，舍去)x(-1, 0)0(0,

8、2)f'(x)+0-f(x)/极大值当 x=0 时， 函数有最大值， 从而 3二f(0)=bf(-1)= -7a 3, f (2) = -16a3 ： f (-1)，所以 一 29 二 f (2) = -16a3得a = 2变式训练二、若函数f(x) =x3 _6ax2 2x在-1 , 2上是增函数，求a的取值范围。解：f (x) =3x2 -12ax 2，要使函数在-1，2上是增函数，则f (x)丄0对称轴2a1 '_5(1 )当 2a _ -1 时，即 a ， f (-1) _ 0，得 a ， a不存在；(2)当一1 ： 2a ： 2 时,2 12刚 1*'46&l

9、t;676后即 a :1时f (2a) _0，得a "， a的取值范围是a "； ( 3)当2 6 6 6 676 V 62a亠2时，即a亠1时f_ 0，得a ， a不存在。故a的取值范围是a _12 6 6例三、(四川卷第21题)已知函数f(x) = x3+3ax - 1, g(x)二f (x)-ax-5,其中f'(x)是 的f(x)的导函数。(I)对满足-1空a乞1的一切a的值， 都有g(x) : 0,求实数x的取值范围；()设a = -m2，当实数m在什么范围内变化时，函数y=f(x)的图像与直线y= 3只有一个公共点。解: (I)由题意 g x = 3x2

10、_ax 3a _5令(a) = (3 _ x)a 3x2 _ 5, _1 _ a _ 1对1乞a岂1，恒有g x : 0，即'a : 0 (1) 3-x=0即卩x =3时，显然不成立；(2) x = 3时有1 : 0 讥 T ：0即宀-2 ：03x2 x -8 02解得 x : 13故xJ21 i时，对满足1WaE1的一切a的值，都有g(x)c0 I 3丿3 ' 2 2(n) f(x) = x+3ax T, f x =3x2-3m2 当m =0时，f x二x3 -1的图象与直线y = 3只有一个公共点 当 m0 时，令® (x)= f(x)-3= x3+3ax4 ,

11、® '(x) = 3x2 + 3a =3x2 3m2列表：x(-°°,-m)-|m(-|m|, m|)lm(m|,焜)0(x)+00+®(x)单调递增极大单调递减极小单调递增(x)极小值 hF (m) - -2m2m - 4 :：: -4又(x)的值域是R，且在(|m，址)上单调递增 当xa m时函数y =®(x)的图象与x轴只有一个公共点。当x彳m时，恒有:(x) _ (- m)由题意得(-m) ： 0即 2m2 m -4 ： 0解得 m-3 2,00,32综上,m的取值范围是三、巩固练习321、已知曲线C： f(x)=x -3x 2

12、x a的一条切线方程为 y=2x，则实数a的值等于 0或4。32、(广东卷)设函数f(x)二-x 3x 2分别在为、x2处取得极小值、极大值.xoy平面上点 A B的坐标分别为(为(为)、(X2, f(X2),该平面上动点P满足PA?PB=4,点Q是点P关于直线 y =2(x - 4的对称点.求(I) 求点A、B的坐标；(II)求动点Q的轨迹方程(I )令 f (x)二(-x3 3x 2) = -3x23 = 0 解得 x = 1 或x = -1当 x ： -1 时,f (x) ：0,当 一1 ： x : 1 时，f (x)0 ，当 x 1 时，f (x) ： 0所以屈数在x二-1处取得极小值

13、，在x =1取得极大值，故x1 - -1,x2 =1, f (T) =0, f (1) =4所以，点A、B的坐标为A(_1,0), B(1,4).22(n )设 p(m, n), Q(x, y), PA PB 二 一1 一 m,n 1 一 m,4 - n = m -1 n _4n=4kpQ，所以 土兰，又PQ的中点在y =2(x4)上，所以丄=2匚一 42x -m 222消去 m,n 得(x 8 f + (y + 2 $ = 93、(江苏卷)请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为的正六棱锥(如右图所示)。试问当帐篷的顶点 0到底面中心oi的距离为多少时，帐篷的

14、体积最大?3m解：设00为x m,则由题设可得正六棱锥底面边长为32 - (x -1)2 = 8 2x -X2 (单位：m于是底面正六边形的面积为(单位：吊)6 (、8 2x _x2)24帐篷的体积为(单位:卅)V(x)=辽(8 2xx2) 】(x1) 1 二出232(16 12宀)求导数，得V (x)乜仆？ 3x2)2令V(X)=0解得x=-2(不合题意，舍去),x=2.当 1<x<2 时，V (x)0 ,V(x)为增函数；当 2<x<4 时，V(X)： 0 ,V(x)为减函数。所以当x=2时,V(x)最大。答当OO为2m时，帐篷的体积最大。导数的综合应用、考纲要求：

15、(3) 了解导数的概念的某些实际背景；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义； 理解导数函数的概念(4) 熟记基本导数公式(5) 会从几何直观了解可导函数的单调性与其导函数的关系；了解可导函数在某点处取得导数的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)，会求一些实际问题的最大值和最小值、复习重点：(6) 导数与函数、数列、向量、不等式、解析几何、立体几何等知识的交汇(7) 充分利用导数作为解题工具，求切线、单调性和最值问题三、双基考察:1、设函数 f (x)二 x(x 1)(x2) (x n)，贝y f ' (0)=2、 在函数y=x3-8x的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐

16、标为整数的点的个数是4()A、3B、2C、1D、03、 对正整数n ,设曲线y = xn (1 - x)在x = 2处的切线与y轴交点的纵坐标为 a.,则数列出詁勺前n项和公式是n 14、(天津卷)函数 f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f (x)在(a,b)内的图象如图所)示，则函数f (x)在开区间(a,b)内有极小值点(四、典型例题例1、曲线y =2x-x3在点(1,1)处的切线方程例2、已知函数f (x) = ax3+bx2+ex在x0处取得极大值5，其导数f (x)的图象经过(1,0), (2, 0)如图所示，求(1) X。的值；(2) 求 a,b,e 的值；(3) 求f (

17、x)在0, 3的最大值和最小值变式训练1、设函数f (x) =ax - 6ax2 - b(a>0)在-1 , 2上最大值与最小值分别为3和-29,求常数a,b.变式训练2、若函数f(x) =x3 -6ax2 2x在-1，2上是增函数，求a的取值范围例 3、(四川卷第 21 题)已知函数 f(x) = x3+3ax-1, g(x) = f(x)-ax-5,其中 f'(x)是的f(x)的导函数.(i)对满足-1乞a叮的一切a的值， 都有g(x) < 0,求实数x的取值范围；(n)设a=-m2，当实数m在什么范围内变化时，函数y=f(x)的图像与直线y= 3只有个公共点四、练习321、 已知曲线C： f (x) = x -3x 2x a的一条切线方程为 y=2x，则实数a的值等于2、 (广东卷)设函数f (x) - -x3 3x 2分别在x2处取