大学物理习题答案第二章.

1、 习题解答 2-1 处于一斜面上的物体，在沿斜面方向的力F 作用下，向上滑动。已知斜面长为5.6 m，顶端的高度为 3.2 m， F 的大小为 100 N ，物体的质量为12 kg，物体沿斜面向上滑动的距离为4.0 m，物体与斜面之间的摩擦系数为0.24。求物体在滑动过程中，力F 、摩擦力、重力和斜面对物体支撑力各作了多少功？这些力的合力作了多少功？将这些力所作功的代数和与这些力的合力所作的功进行比较，可以得到什么结论？解 物体受力情形如图2-3 所示。力 F 所作的功；摩擦力图 2-3,摩擦力所作的功；重力所作的功;支撑力 N 与物体的位移相垂直，不作功，即；这些功的代数和为.物体所受合力为

2、,合力的功为.这表明，物体所受诸力的合力所作的功必定等于各分力所作功的代数和。2-3 物体在一机械手的推动下沿水平地面作匀加速运动，加速度为0.49 m s 2 。若动力机械的功率有 50%用于克服摩擦力，有50%用于增加速度，求物体与地面的摩擦系数。解 设机械手的推力为F 沿水平方向，地面对物体的摩擦力为f，在这些力的作用下物体的加速度为 a，根据 牛顿第二定律，在水平方向上可以列出下面的方程式,在上式两边同乘以v，得,上式左边第一项是推力的功率()。按题意，推力的功率P 是摩擦力功率fv 的二倍，于是有.由上式得,又有,故可解得.2-4 有一斜面长 5.0 m、顶端高3.0 m，今有一机械

3、手将一个质量为 1000 kg的物体以匀速从斜面底部推到顶部，如果机械手推动物体的方向与斜面成30 ，斜面与物体的摩擦系数为0.20，求机械手的推力和它对物体所作的功。解 物体受力情况如图2-4 所示。取 x 轴沿斜面向上， y 轴垂直于斜面向上。可以列出下面的方程,(1),(2). (3)根据已知条件,.由式 (2) 得图 2-4.将上式代入式 (3)，得.将上式代入式 (1)得,由此解得.推力 F 所作的功为.2-5 有心力是力的方向指向某固定点(称为力心 )、力的大小只决定于受力物体到力心的距离的一种力，万有引力就是一种有心力。现有一物体受到有心力的作用 (其中 m 和都是大于零的常量

4、)，从rP 到达 rQ，求此有心力所作的功，其中rP 和 rQ 是以力图 2-5心为坐标原点时物体的位置矢量。解 根据题意，画出物体在有心力场中运动的示意图，即图2-5，物体在运动过程中的任意点C处，在有心力f 的作用下作位移元dl，力所作的元功为,所以，在物体从点P (位置矢量为 rP) 到达点 Q (位置矢量为rQ )的过程中， f 所作的总功为.2-6 马拉着质量为 100 kg 的雪撬以 2.0 m s 1 的匀速率上山，山的坡度为0.05(即每 100 m 升高 5m)，雪撬与雪地之间的摩擦系数为 0.10。求马拉雪撬的功率。解 设山坡的倾角为，则.可列出下面的方程式,.式中 m、F

5、、f 和 N 分别是雪橇的质量、马的拉力、地面对雪橇的摩擦力和地面对雪橇的支撑力。从以上方程式可解得,.于是可以求得马拉雪橇的功率为.2-7 机车的功率为2.0 106 W ，在满功率运行的情况下， 在 100 s内将列车由静止加速到 20 m s 1 。若忽略摩擦力，试求：(1)列车的质量；(2)列车的速率与时间的关系；(3)机车的拉力与时间的关系；(4)列车所经过的路程。解(1)将牛顿第二定律写为下面的形式,(1)用速度 v 点乘上式两边，得.式中 Fv = P，是机车的功率，为一定值。对上式积分,即可得,将已知数据代入上式，可求得列车的质量，为.(2)利用上面所得到的方程式,就可以求得速

6、度与时间的关系，为. (2)(3)由式 (2)得,将上式代入式 (1)，得,由上式可以得到机车的拉力与时间的关系.(4)列车在这 100 秒内作复杂运动， 因为加速度也在随时间变化。列车所经过的路程可以用第一章的位移公式 (1-11)来求解。对于直线运动，上式可化为标量式，故有.2-8 质量为 m 的固体球在空气中运动将受到空气对它的黏性阻力f 的作用，黏性阻力的大小与球相对于空气的运动速率成正比，黏性阻力的方向与球的运动方向相反，即可表示为f = v，其中是常量。已知球被约束在水平方向上，在空气的黏性阻力作用下作减速运动，初始时刻t0 ，球的速度为 v0 ，试求：(1) t时刻球的运动速度；

7、v(2)在从 t0 到 t 的时间内，黏性阻力所作的功A。解(1)根据已知条件，可以作下面的运算,式中.于是可以得到下面的关系,对上式积分可得. (1)当 t = t0 时， v = v0，代入上式可得.将上式代入式 (1)，得. (2)(2)在从 t0 到 t 的时间内，黏性阻力所作的功可以由下面的运算中得出.2-9 一个质量为 30 g 的子弹以 500 m s 1 的速率沿水平方向射入沙袋内，并到达深度为20 cm处，求沙袋对子弹的平均阻力。解 根据动能定理，平均阻力所作的功应等于子弹动能的增量，即,所以.2-10 以 200 N 的水平推力推一个原来静止的小车，使它沿水平路面行驶了 5

8、.0 m。若小车的质量为 100 kg，小车运动时的摩擦系数为0.10，试用 牛顿运动定律和动能定理两种方法求小车的末速。解 设水平推力为F，摩擦力为 f，行驶距离为s，小车的末速为v。(1)用牛顿运动定律求小车的末速v：列出下面的方程式,.两式联立求解，解得,将已知数值代入上式，得到小车的末速为.(2)用动能定理求小车的末速v：根据动能定理可以列出下面的方程式,其中摩擦力可以表示为.由以上两式可解得,将已知数值代入上式，得小车的末速为.2-11 质量 m = 100 g 的小球被系在长度 l = 50.0 cm 绳子的一端，绳子的另一端固定在点O，如图 2-6所示。若将小球拉到 P 处，绳子

9、正好呈水平状，然后将小球释放。求小球运动到绳子与水平方向成= 60 的点 Q 时，小球的速率 v、绳子的张力T和小球从P到Q的过程中重力所作的功。A解 取 Q 点的势能为零，则有,即,图 2-6于是求得小球到达Q 点时的速率为.设小球到达Q 点时绳子的张力为T，则沿轨道法向可以列出下面的方程式,由此可解的.在小球从 P 到 Q 的过程中的任意一点上，沿轨道切向作位移元ds，重力所作元功可表示为,式中 是沿轨道切向所作位移元ds 与竖直方向的夹角。小球从P 到 Q 的过程中重力所作的总功可以由对上式的积分求得.2-12 一辆重量为19.6 103 N 的汽车，由静止开始向山上行驶，山的坡度为0.

10、20，汽车开出 100 m后的速率达到36 km h1 ，如果摩擦系数为，求汽车牵引力所作的功。0.10解 设汽车的牵引力为F ，沿山坡向上，摩擦力为f，山坡的倾角为。将汽车自身看为一个系统，根据功能原理可以列出下面的方程式, (1),.根据已知条件，可以得出，汽车的质量以及。从方程 (1)可以解得.汽车牵引力所作的功为,将数值代入，得.2-13 质量为 1000 kg 的汽车以 36 km h 1 的速率匀速行驶，摩擦系数为0.10。求在下面三种情况下发动机的功率：(1)在水平路面上行驶；(2)沿坡度为 0.20 的路面向上行驶；(3)沿坡度为 0.20 的路面向下行驶。解(1)设发动机的牵

11、引力为F 1 ，路面的摩擦力为f。因为汽车在水平路面上行驶，故可列出下面的方程式,.解得.所以发动机的功率为.(2)设汽车沿斜面向上行驶时发动机的牵引力为F 2，可列出下面的方程式,.解得.发动机的功率为.(3)汽车沿斜面向下行驶时发动机的牵引力为F 3，其方向与汽车行驶的方向相反。所列的运动方程为,所以,这时发动机的功率为.2-14 一个物体先沿着与水平方向成15 角的斜面由静止下滑， 然后继续在水平面上滑动。 如果物体在水平面上滑行的距离与在斜面上滑行的距离相等，试求物体与路面之间的摩擦系数。解 设物体在水平面上滑行的距离和在斜面上滑行的距离都是l ，斜面的倾角= 15 ，物体与地球组成的

12、系统是我们研究的对象。物体所受重力是保守内力，支撑力N 不作功，物体所受摩擦力是非保守内力，作负功。以平面为零势能面，根据功能原理可以列出下面的方程式,其中, 将它们代入上式，可得,所以.2-15 有一个劲度系数为 1200 N m 1的弹簧被外力压缩了 5.6 cm，当外力撤除时将一个质量为0.42 kg 的物体弹出，使物体沿光滑的曲面上滑，如图 2-7 所示。求物体所能到达的最大高度h。图 2-7解 将物体、弹簧和地球划归一个系统，并作为我们的研究对象。这个系统没有外力的作用，同时由于曲面光滑，物体运动也没有摩擦力，即没有非保守内力的作用，故系统的机械能守恒。弹簧被压缩状态的弹力势能应等于

13、物体达到最大高度h 时的重力势能，即,.2-16 如图 2-8 所示，一个质量为m = 1.0 kg 的木块，在水平桌面上以v = 3.0 m s 1 的速率与一个轻弹簧相碰， 并将弹簧从平衡位置压缩了x = 50 cm 。如果木块与桌面之间的摩擦系数为= 0.25 ，求弹簧的劲度系数k。解 以木块和弹簧作为研究对象，在木块压缩弹簧的过程中，系统所受外力中有重力和摩擦力，重力不作功，只有摩擦力作功。根据功能原理，可列出下面的方程,图 2-8其中, 代入上式，并解出弹簧的劲度系数，得.2-17 一个劲度系数为k 的轻弹簧一端固定，另一端悬挂一个质量为m 的小球，这时平衡位置在点 A，如图 2-1

14、 所示。现用手把小球沿竖直方向拉伸x 并达到点 B 的位置，由静止释放后小球向上运动，试求小球第一次经过点A 时的速率。解 此题的解答和相应的图2-1，见前面 例题分析 中的例题2-1。2-18 一个物体从半径为R 的固定不动的光滑球体的顶点滑下，问物体离开球面时它下落的竖直距离为多大？解 设物体的质量为m，离开球面时速度为v，此时它下落的竖直距离为h。对于由物体、球体和地球所组成的系统，没有外力和非保守内力的作用，机械能守恒，故有. (1)图 2-9在物体离开球体之前，物体在球面上的运动过程中，应满足下面的关系, (2)式中 N 是球面对物体的支撑力，是物体所处位置到球体中心连线与竖直方向的

15、夹角。在物体离开球体的瞬间，由图2-9 可见,并且这时应有，于是式 (2)成为,即.将上式代入式 (1)，得.2-19 已知质量为 m 的质点处于某力场中位置矢量为r的地方，其势能可以表示为，其中 k 为常量。(1)画出势能曲线；图 2-10(2)求质点所受力的形式；(3)证明此力是保守力。解(1)势能曲线如图2-10 所示。(2)质点所受力的形式可如下求得.可见，质点所受的力是与它到力心的距离r 的 n+1 次方成反比的斥力。(3)在这样的力场中，质点沿任意路径从点P 移到点 Q，它们的位置矢量分别为rP 和 rQ ，该力所作的功为.这表明，该力所作的功只决定于质点的始末位置，而与中间路径无关，所以此力是保守力。2-20 已知双原子分子中两原子的相互作用的势能函数可近似表示