大学物理力学答案2.

1、第二章基本知识小结基本概念drdvd 2rr r (t) vadt 2dtdtr (t ) v (t )a(t )（向右箭头表示求导运算，向左箭头表示积分运算，积分运算需初始条件：t t0 ,rr0 , vv0 ）?222直角坐标系rxiyjzk, rxyz, r与 x,y,z 轴夹角的余弦分别为x / r ,y / r ,z / r .?222vvz k,vvxv yvz,v与x,y,z轴夹角的余弦分别为vx ivy jv x / v, vy / v, vz / v .?222aazk , aaxayaz,a 与 x,y,z轴夹角的余弦分别为axia y jax / a, a y / a,

2、az / a.yy'dxdydzVvxvy, vzdtoxo'x'dtdta xdvxd 2 xdvyd 2 y, azdvzd 2 zzz'dtdt2 ,a ydtdt2dtdt2(x, y, z)(v x , v y , vz )(ax ,a y , az )自然坐标系rr (s);v?vds,v| v |v,dtdv22aa?ann?,aa 2an2 ,ad 2s,anvdtdts(t )v (t)a (t)?,?22极坐标系rvvrvrrvr r v , vvrdr ,vr ddtdt相对运动对于两个相对平动的参考系rr 'r0 , tt 

3、9;（时空变换）vv 'v0（速度变换）aa'a0（加速度变换）若两个参考系相对做匀速直线运动，则为伽利略变换，在图示情况下，则有：x'xVt , y'y, z'z, t'tvx 'vxV , vy 'v y, vz 'vzax 'ax ,ay 'ay ,az 'az2.1.1 质点运动学方程为： ?r (3 2t )i5 jr(23t)i?(4t1) ?j,求质点轨迹并用图表示.解： x 32t, y5, 轨迹方程为 y5的直线 . x 23t, y4t 1 ，消去参数 t得轨迹方程 4x3 y

4、50y5/3y5x5/4x2t?2t?2.1.2质点运动学方程为re2k .求质点轨迹；求自 t= -1到 t=1 质点的ie j位移。解：由运动学方程可知：xe 2t, ye2t , z2, xy1 ，所以，质点是在z=2 平面内的第一像限的一条双曲线上运动。rr (1)r ( 1)( e22)?2e2?ei(e) j7.2537i?7.2537 ?j。所以，位移大小：| r |(x) 2(y)2(7.2537) 27.253727.2537 2,与 x轴夹角arccosx|arccos(2 )135|r2与 轴夹角arccosyarccos(245yr|2)|与 轴夹角arccoszarc

5、cos090zr |2.1.3 质点运动学方程为r4t2?求质点轨迹； 求质点自 t=0 至 t=1 的位i ( 2t3) j.移 .解：xt2,yt3 ，消去参数t得：x( y 3)242rrr?(1)(0)i5j3j4i2j42.2.1 雷达站于某瞬时测得飞机位置为R1 4100m, 1 33.70.75s 后测得 R24240m,2 29.3 ，R1,R2 均在铅直面内， 求飞机瞬时速率的近似值和飞行方向（ 角）R解： vvR2R1R，在图示的矢量三角形中，应用余弦定tt理，可求得：R222R1 R2 cos( 12 ) 1R1R2R1R4100242402R2241004200cos4

6、.42349.58m 1vvR /t349.58/ 0.75465.8m / s据正弦定理：R / sin( 12 )R2 / sin(1801)sin(1801)R2 sin( 12)/ R4240sin 4.4 / 349.580.931,1801111.41 ,34.892.2.2一圆柱体沿抛物线轨道运动，抛物线轨道为y=x 2/200(长度：毫米 )。 y第一次观察到圆柱体在x=249mm 处，经过时间 2ms 后，圆柱体移到 x=234mm处。求圆柱体瞬时速度的近似值。解：由于t 很小，所以， vvr，0xtx1 x2其中，t2ms,r?xx2x1234 24915xiyj,yy2y

7、1( x22x12) / 200(23422492 ) / 20036.2v(x /?(y /?t )it ) j7.5i18.1 j 。其大小| v |(7.5) 2(18.1) 219.6mm / ms ；与 x 轴夹角arccosvxarccos7.5arccos( 0.38265)112.5v19.62.2.3 一人在北京音乐厅内听音乐，离演奏者17m；另一人在广州听同一演奏的转播，广州离北京 2320km ，收听者离收音机2m，问谁先听到声音？声速为340m/s，电磁波传播的速率为 3.0× 108m/s.解：声音传播情况如图所示，北京人听到演奏声音所需时间：17mt1 1

8、7/ 3400.05s340m/s2320km,3 ×8广州人听到演奏声音所需时间：10 m/st 2232010 320.0136s340m/s3.01083402m2.2.5 火车进入弯道时减速，最初列车向正北以90km/h 速率行驶， 3min 后以 70km/h 速率向北偏西 30°方向行驶，求列车的平均加速度。北30° v2v2v1v解： attv对矢量三角形应用余弦定理：v1=90km/hv2 =70km/h2290270 2西vv1v22v1v2 cos3090 70345.69km / h12.69m / sav12.690.07 m / s2，由

9、正弦定理：v2vt360sinsin 30sinv2 sin 30 /v700.5 / 45.690.766,502.2.6 r?，R为正常数，求t=0, /2时的速度和加速度。R cost iRsin tj2tkr?4.5t2 ?6t3?，求 t=0,1时的速度和加速度（写出正交分解式）。3t ijk解：vdrdtR?R?/sint icostj2k?adv / dtv |t 02k, a |t0R cost iR sin tj .R jR i ,?v |t/ 22k, a |t/ 2R iR jvdr / dt?2?a dv / dt?；3i9tj18tk,9 j36tk?v |ta |t

10、0v |t118k,a |t 136k0 3i ,9 j,3i9 j9 j2.3.1 图中 a、 b 和 c 表示质点沿直线运动三种不同情况下的 x-t 图像，试说明每种运动的特点（即速度，计时起点时质a x(m)b点的位置坐标，质点位于坐标原点的时刻）解：质点直线运动的速度vdx / dt ，在 x-t 图像中为曲线斜率。由 于 三 种 图 像 都是直线，因此三种运动都是匀速直线运动，设直线与x2030°c10120°45°20010t(s)30-10轴正向夹角为 ，则速度 v tgx / t-20对于 a 种运动：vtg1203m / s, x |t 020m

11、, t |x 020tg 3011.55s对于 b 种运动：vtg303 / 3ms 1 , x |t 010m, t |x 010 / tg3017.32s对于 c 种运动：vtg 451ms 1 ,t |x 0 25s, x |t 0 25tg 4525m2.3.2 质点直线运动的运动学方程为 x=acost,a 为正常数， 求质点速度和加速度，并讨论运动特点（有无周期性，运动范围，速度变化情况等）解： x a tvxdx/dtataxdvx /dta tcos ,sin ,cos显然，质点随时间按余弦规律作周期性运动，运动范围：a x a,a v xa,a a xa1e2.3.3 跳伞运

12、动员的速度为v1eqtqt， v 铅直向下， ,q 为正常量，求其加速度，讨论时间足够长时（即t）速度、加速度的变化趋势。解：dvd (1eqtaqt )dtdt 1e(1e qt ) qe qt(1 e qtt )( qe qt )2qe qt(1e qt ) 2(1e qt ) 2因为 v>0， a>0，所以，跳伞员做加速直线运动，但当t时， v ， a 0，说明经过较长时间后，跳伞员将做匀速直线运动。2.3.4直线运行的高速列车在电子计算机控制下减速进v0v(km/h)v=v 0cos x/5站。列车原运行速率为v0=180km/h ，其速率变化规律如图所示。求列车行至x=1

13、.5km 时的加速度。x(km)解： v v0 cos(x / 5), dv / dx5 v0 sin 5x.1.5advdxdv12sin2代入dxdtv dx10v05 x ，将 v0=180km/h,x=1.5kma13.142sin 1089676km / h20.75m / s2101802.3.5 在水平桌面上放置A、B 两物体， 用一根不可伸长aABA 0.5g0x的绳索按图示的装置把它们连接起来，C 点与桌面固定，已知物体A 的加速度 aA =0.5g，求物体 B 的加速度。解：设整个绳长为L ，取图示坐标o-x，则 3xA +(-4x B ) = L对时间求两次导数，3aA

14、=4aB ，所以 aB = 3aA /4=3× 0.5g/4 = 3g/82.3.6 质点沿直线的运动学方程为x=10t+3t 2. 将坐标原点沿o-x 正方向移动2m，运动学方程如何？初速度有无变化？将计时起点前移1s，运动学方程如何？初始坐标和初速度发生怎样的变化？加速度变不变？解： x=10t+3t 2， v=dx/dt=10+6t ， a=dv/dt=6 ， t=0 时， x=0,v=10将坐标原点向 x 轴正向移动 2m，即令 x'=x-2 ，x=x'+2 ，则运动学方程为：x'=10t+3t 2-2， v'=dx'/dt=10+6t

15、 ， v'=v将计时起点前移 1s，即令 t'=t+1 ，t=t'-1 ，则运动学方程变为： x = 10(t'-1) + 3(t'-1) 2 = 10t' 10 + 3t' 2 - 6t' + 3 = 4t' + 3t' 2 7v'=dx/dt'=4+6t' ， t'=0 时， x= -7 ， v'=4 ，加速度 a 不变。2.4.1 质点从坐标原点出发时开始计时，沿x 轴运动，其加速度ax = 2t (cms -2 )，求在下列两种情况下质点的运动学方程，出发后 6s 时

16、质点的位置、在此期间所走过的位移及路程。初速度 v0=0；初速度 v0 的大小为 9cm/s，方向与加速度方向相反。解： dvxa xdt2tdt,vxdv x2ttdt,vxv0 t 2v00xttdx vx dt(v0t 2 )dt ,dxv0 dtt 2 dt , x v0 t 31 t 3000 v00 时， vxt2,x1t3;x(6)16272cm33xx(6)x(0)72m路程 Sx72cmv时， vt2x1t3t09x9,39x x(6) x(0) 18cm令 vx=0，由速度表达式可求出对应时刻 t=3 ，由于 3 秒前质点沿 x 轴反向运动， 3 秒后质点沿 x 轴正向运动

17、，所以路程：S | x(3)x(0) | x(6)x(3) |x(6) 2x(3)182(313393)183654cm2.4.2 质点直线运动瞬时速度的变化规律为：vx = -3 sint ，求 t1=3 至 t2 =5 时间内的位移。x55解： dxvx dt3sin tdt, dx3 sin tdtx33x x5x33(cos5 cos3)3.82m2.4.3 一质点作直线运动，其瞬时加速度的变化规律为ax= -A 2cos t.在 t=0时，vx=0,x=A ，其中 A, 均为正常数。求此质点的运动学方程。解：axdvx / dtA2 cost, dvxA 2 cos t，v xA2t

18、Attd (t )dvxcos tdtcos000vxA sintdx / dt ,dxA sintdtxtsintdtAttd (t )dxAsinA00x AA cost |0tA(cost 1),xAcost2.4.4 飞机着陆时为尽快停止采用降落伞制动，刚着陆时，t=0 时速度为 v0，且坐标 x=0，假设其加速度为ax = - bv x2， b=常量，求飞机速度和坐标随时间的变化规律。vxt解： dvxax dtbvx 2 dt, v x2 dvxb dt , vx1 |vv0xbtv0011bt,11bt,1 v0bt, vxv0v0vxxv0v01 v0 btvdxvx dtv0

19、 dtxtv0 dt1 t d (1 v0 bt )1 v0 bt, dx,00 1 v0 btb 0 1 v0bt1x ln(1 v0bt )b2.4.5 在 195m 长的坡道上，一人骑自行车以 18km/h 的速度和 -20cm/s 2 的加速度上坡，另一自行车同时以 5.4km/h 的初速度和 0.2m/s2 的加速度下坡，问：经多长时间两人相遇？两人相遇时各走过多长的路程？解：以上坡者出发点为原点沿其前进方向建立坐标 o-x ，用脚标 1 表示上坡者，用脚标 2 表示下坡者。两人的加速度实际上是相同的：a1a20.2m/ s2初始条件： t0 时， x1x10 0, x2x20 19

20、5v1v1018km/ h5m / s, v2v205.4km/ h1.5m / s根据匀变速直线运动公式：v20xv101950a2a1x1v10 t21 a1t 25t 0.1t 2x2195v20 t 21 a2t 21951.5t0.1t 2令 x1=x 2，可求得相遇时间：5t=195-1.5t, t=195/6.5=30s对于上坡者，在相遇期间做的不一定是单方向直线运动，据上坡者的速度表达式：v1=5-0.2t ，令 v1=0，求得对应时刻t=25s，所以，上坡者在25s 前是在上坡，但25s 后却再下坡。因此，上坡者在30s 内走过的路程：S1| x1 (25)x1 ( 0) |

21、 x1 (30)x1 (25) | 2x1 ( 25)x1 (30)2(5 25 0.1 252 ) (5300.1 302 ) 65m对于下坡者，因为做单方向直线运动，所以30s 内走过的路程：S2| x2 (30) x2 ( 0) |x2 (0)x2 (30) 19560 135m2.4.6 站台上送行的人， 在火车开动时站在第一节车厢的最前面，火车开动后经过t=24s，火车第一节车厢的末尾从此人的前面通过，问第七节车厢驶过他面前需要多长时间?火车做匀加速运动。解：设每节车厢长为L ，以地为参考系，以人所在21点为原点建立图示坐标o-x ，以第一节车厢的前端点为研究对象， t=0 时，前端

22、点的坐标x=0，速度 v=0，据匀0x加速运动公式：x12 at 2 ，令 x=L ，求得： a2L2L ， x Lt 2 / 242(t )224 2令 x=6L ，可求得第6 节车厢尾端通过人时所需时间t6：6L Lt 2 / 242 , t 26 242 , t t 624 6令 x=7L ，可求得第7 节车厢尾端通过人时所需时间t7：7L Lt 2 / 24 2 , t 27 242 , t t 7 24 7因此，第7 节车厢通过人所需时间：t t 7t6 24( 76) 4.71s2.4.7 在同一铅直线上相隔h 的两点以同样速率v0 上抛二石子，但在高处的y石子早 t0 秒被抛出，

23、求此二石子何时何处相遇？解：以地为参考系，建立图示坐标o-y。据题意，设t=0 时，上面石子坐标hy1=h ,速度 v1=v 0； t=t 0 时，下面石子坐标y2=0 ， v2=v 00解法 1：根据匀变速直线运动的规律，可知y1h v0t 21 gt 2y2v0 (tt0 )21 g(tt 0 ) 2令 y1y2 , 有hv0t21 gt 2v0 (tt 0 )21 g(tt0 )2求得相遇时间thv0t 0，代入或中，可求 得gt0g212h21相遇时石子坐标yv02 h2gt0 2ggt04解法 2：可根据速度、加速度的导数定义和初始条件，通过积分得到、，然后求解。2.4.8 电梯以

24、1.0m/s 的匀速率下降，小孩在电梯中跳离地板 0.50m 高，问当小孩再次落到地板上时，电梯下降了多长距离？解：以电梯为参考系，小孩相对电梯做竖直上抛运动，他从起跳到再次落到地板所需时间，是他从最高处自由下落到地板所需时间的2 倍。由自由落体运动公式：h 21 gt 2 ，可求得从最高出落到地板所需时间：t2g / h2 9.8 / 0.5 0.32s ，所以小孩做竖直上抛所需时间为0.64s，在此时间内电梯对地下落距离：L = 1.0 × 0.64 = 0.64 m2.5.1 质点在 o-xy平面内运动 ,其加速度为 a?，位置和速度的初始条件cost isin t j为： t

25、=0 时，v?r?，求质点的运动学方程并画出轨迹。j ,i解：?vttdvadt(dv?costdt?costisin tj )dt ,ijsin tdt?00jv?(cos t?j sin ti1) jsin ticostj?rttdrvdt(dr?sin tdt?costdtsin ticostj ) dt ,iji?00r?i (cos t1)isin tjcostisin tjxcost, ysin tyx2y 21x2.5.2 在同一竖直面内的同一水平线上A、B 两点分别以30o、60o为发射角同时抛出两球，欲使两小球相遇时都在自己的轨道的最高点，求 A、B 两点间的距离。已知小球在

26、A 点的发射速度 vA=9.8 米 /秒。解：以 A 点为原点建立图示坐标系，取发射时刻为计时起点，两点间距离为S，初始条件如图所示。据斜抛规律有：xAvAO cos30 txBvBO cos60 tSv AyvAO sin30gtvByvBO sin 60gt满足题中条件，在最高点相遇，必有vAy=v By=0,x A=x B令 , 0, t vAO sin 30/ g ,vBOvAO sin 30 / sin 60 令 ，得 S (v AO cos30vBO cos60 )t vAO2把 ,代入中得： S(cos 300.5ctg 60 ) 2.83m2g2.5.3 迫击炮的发射角为60&

27、#176;发射速率150m/s，炮弹击中倾角为30°的山坡上的目标， 发射点正在山脚，求弹着点到发射点的距离OA.解：以发射点为原点， 建立图示坐标o-x，斜抛物体的轨迹方程为（见教材）：yv0Agyxtg2v0x260° 30°2 cos2x本题， =60 °， v0=150m/s ，A 点坐标 xA ,yA 应满足轨迹方程，所以：y AxA tg 602v0gx A 23xA2g x A22 cos260v02另外，根据图中几何关系，可知：x AOA cos3023 OAyA OAsin 3021 OA，代入中，有：21 OA23 OA3g2OA2v

28、2215021531m2OA ,039.82v03g2.5.4 轰炸机沿与铅直方向成53°俯冲时， 在 763m 的高度投放炸弹， 炸弹在离开飞机5.0s时击中目标，不计空气阻力：轰炸机的速率是多少？炸弹在飞行中通过的水平距离是多少？炸弹击中目标前一瞬间的速度沿水平和铅直方向的分量是多少？解：以投放点为原点，建立图示坐标o-xy,设炸弹初速度（即轰炸?0x机速度）为 v0. 由于炸弹在飞行过程中的加速度a，所以炸弹在53° v0gjx 方向做匀速直线运动，在y 方向做竖直下抛运动，有yvxv0 sin 53vyv0 cos53gtxv0 sin 53 tyv0 cos53

29、t21 gt 2令 t=5.0s， y=763m ，由可求得轰炸机的速率：v0y 0.5gt 2763 0.59.8 52212.86m / scos53 t0.6081 5将 v0 代入中，可求得炸弹击中目标时速度的水平分量：vx212.86sin 53170m / s令 t=5，由可求得炸弹击中目标时速度的竖直分量：vy212.86cos539.8 5 177.1m/ s2.5.5雷达监测员正在监视一越来越近的抛射体，在某一时刻，他给出这样的信息：抛射体达到最大高度且正以速率v 沿水平方向运动；观测员到抛射体的直线距离是l；观测员观测抛体的视线与水平方向成角。问：抛射体命中点到观测者的距离

30、D 等于多少？何种情况下抛体飞越观察员的头顶以后才命中目标？何种情况下抛体在未达到观察员以前就命中目标？ov解：以抛体所达最大高度处为计时起点和坐标原点，建立x图示坐标 o-xy ，抛体以速度 v 做平抛运动 .l设命中时间为t1，由自由落体公式：x12x2l sin1,t12l sin/ gy观命2 gt1测中者点命中点 x坐标为： x1vt1 v 2l sin / g ，由图中几何关系，观测者的x 坐标： x2l cos 。所以，观测者与命中点间的距离：D | x2x1 | | l cosv2l sin / g |当 x1<x 2，即 v2l sin/ gl cos , v l cosg时，则抛体在未达到观察员前2l sin即命中目标。当 x1>x 2，即 vl cosg时，则抛体在飞越观察员后才命中目标。2l sin2.6.1 列车在圆弧形轨道上自东转向北行驶，在我们所讨论的时间范围内，其运动学方程为 S=80t-t 2（ m,s）， t=0 时，列车在图中O 点，此圆弧形轨道的半径r=1500m ，求列车驶过 O点以后前进至 1200m 处的速率及加速度。解： S=80t-t2 v=dS/dt=80-2t 北令 S=1200，由可求得对应时间：S东t 280t12000, 求得 t60s,20svan将 t=60 代入中， v=-40 ，不合题