2018年一轮复习(理)数学教案：第2章第13节定积分与微积分基本定理含解析

1、第十三节定积分与微积分基本定理考纲彳真1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积 分的概念.2.了解微积分基本定理的含义.抓基础自主学习|知识幡理1.定积分的概念与性质(1)定积分的定义给定一个在区间a, b上的函数y=f(x),将a, b区间分成n份，分点为：a = X0X1X2 xn 10, .T=3.明考向题型突破|I考向1 I定积分的计算例口计算下列定积分.(2) 2|1-x|dx.o解x ill +hill All.lx31=2 1x2dx= 2&I2=3.(2) 2|1 x|dx= 1(1x)dx+ 2(x 1)dx oo11 2 L 1 212分=x- 2x2 |

2、+ 2x x |段积分再求和;对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号，再求积分;注意用“Fxl= f(x)”检验积分的对错.2 .根据定积分的几何意义，可利用面积求定积分.变式训练1 (1)(2017石家庄质检(二)1仅2 +4/)dx=-12 x设f(x)= 1 xxC 01(e为自然对数的底数)，则ef(x)dx的值为0九2(1)2 + 3(2)3 3(1)原式=-1-11 1x2dx = x3| +3-11、1 x2 dx= 3 +3-11 勺1 -x2 dx-11产M dx等于半径为-11 一 / f办万 一 ，的圆面积的2,即141 -x2dx=2,故原-1式=2+ 3.，

3、xC 01,ef(x)dx=01x2dx+0e1dx= 1x31x3| +ln x| 0I =3+ln13e= 3.利用定积分求平面图形的面积例 曲线y= x+ 2, y= Jx与x轴所围成的面积为 .4(2)已知曲线y=x2与直线y= kx(k0)所围成的曲边图形的面积为4，则k=3【导学号:57962122(1)6 (2)2 (1)如图所示，由y=以及y= x+ 2可得交点横坐标为x= 1.由定积分的几何意义可知，由v= Vx, y= x+ 2及x轴所围成的封闭图形的面27 |1=6.2 21x2y=x2由 J y= kx积为 1以dx+ 2(x+2)dx=x/| + 2xy 0130x=

4、 0,x=k,得或 2y= 0y = k ,则曲线y=x2与直线y= kx(k0)所围成的曲边梯形的面积为k(kx-x2)dx= 2x2-3X30=kL 1k3=4-2 3k3，即 k3 = 8, . .k=2.规律方法利用定积分求平面图形面积的步骤(1)根据题意画出图形；(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限;(3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；(4)计算定积分，写出答案.易错警示：利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被 积函数.当图形的边界不同时，要分不同情况讨论.变式训练2 (1)(2016山东威海一模)曲线y= sin x(0x力与x

5、轴围成的 封闭区域的面积为.(2)抛物线y2 = 4x与直线y= 2x 4围成的平面图形的面积为 .【导学号：57962123】兀(1)2 (2)9 (1)由题意知封闭区域的面积 S= &in xdx= cosx| = 一cos兀-(-cos 0) = 1 ( 1) = 2.由y2=4x, y=2x 4,x= 1,y= - 2x = 4, y = 4.画出草图如图所示.选用x为积分变量所求面积为12/x-(-2Vx)dx+ 4(2十一2x+4)dx01313442 2 一 2 2=4*那/| +2Xx。 x2| +4x|324(161)+(16 4)=9. 33 3I考向3|定积分在物理中的应

6、用囱一辆汽车在高速公路上行驶,一由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)25 =73t +币(t的单位：s, v的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()【导学号:57962124】11A. 1 + 25ln 5B. 8+25lnv3C. 4+25ln 5D. 4+50ln 2258/ c 25473t+Q dt =C 由v(t) = 73t+E =0,可得t=4t= 3舍去，因此汽车从刹车到停止一共行驶了 4 s,此期间行驶的距离为4v(t)dt07t-2t2 + 25ln 1 + t ： = 4 + 25ln 5.20规律方法定积分在物理中的两个应用(1)求物体

7、做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为v=v(t),那么从时刻t = a到t = b所经过白路程s= bv(t)dt.a(2)变力做功，一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从x= a移动到x=b时，力F(x)所做的功是 W=午(x)dx. a5, 0x 2F相同的方向，仄x= 0处运动到x=4(单位：m)处，则力F(x)做的功为 J.36 由题意知，力F(x)所做的功为W=午(x)dx= 25dx+ 4(3x+4)dx002= 5X2+ 3x2+4x |2 23 23-2,八= 10+ 2X42+4X4- 2X22+4X 2 =36(J).名甄微博冬思想与方法1 .求定积分的两种常用方法：(1)利用微积分基本定理求定积分，其步骤如下：求被积函数f(x)的一个原函数F(x);计算F(b) F(a).(2)利用定积分的几何意义求定积分.2 .对于求平面图形的面积问题，应首先画出平面图形的大致图形，然后根 据图形特点，选择相应的积分变量及被积函数，并确定被积区间.易错与防范1 .被积函数若含有绝对信号，应先去绝对信号，再分段积分.2 .若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量.3 .定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限.4 .定积分的几何意义是曲边梯形面积的代数和，但要注意面积非负，而定积