【精品提分练习】专题05数形结合法年高考数学)30分钟拿下选择、填空题

1、审定部编版试题专题05 数形结合法 方法探究数形结合法，也就是我们常说的图解法，就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位 置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问 题简单化，抽象问题具体化，从而实现优化解题途径的目的在高考中，数形结合是一种常用的解题方法，也是一种重要的数学思想方法，特别是在一些计算过 程复杂的函数、三角、解析几何等问题中，可以先作出有关函数的图象或者构造适当的几何图形，再利用 图示辅助，即参照图形的做法、形状、位置、性质，综合图象的特征进行直观分析，从而得出结论.比如：(1)在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来

2、处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了 .(2)借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法.函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法.(3)处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路(4)有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图象来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法(5)线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题.从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用.(6)数列是一种特

3、殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数.用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图象进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问 题来解决.(7)解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线 的性质及其相互关系的研究中 .(8)立体几何中用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行研究，可将抽象的几何 问题转化为纯粹的代数运算 .著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休 .”数形结合是数学解题中常用的思想 方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有

4、助于 把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷.所以，我们一定要学好并应用好数形结合的方法.经典示例【例1】(集合中的数形结合)已知集合A=(x, y)|x2+ y2 =l,氏(x, y)|y =x,则Ap|B中元素的个数为A. 3B. 2C. 1D.0【答案】B【解析】集合中的元素为点集，由题意，可知集合力表示以(6。)为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成 的集合，集合B表示直线7二H上所有的点组成的集合，画出大致图象可知，圆/+ 2=1与直线相交于两点母3 j卜3则”1月中有2个元素,故选B【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点

5、集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性【备考警示】对于点集问题，常表示的是某曲线上的点的集合，所以通过画图可以顺利解决此类问题.【例2】(函数中的数形结合)对任意实数a, b定义运算“？” ： a bba b*1，设a, a - b ： 12f(x) = (x -1)(4+x),若函数y = f (x )+k恰有三个零点，则实数 k的取值范围是B. 0,1D. -2,1)A. (-2,1)C. -2,0)【答案】D【解析】由新定义可得4 x,(

6、x2 -1)-(4 x) -1f(x)=22x -1,(x -1)-(4 x) ： 1x -1) - (4 x) - 14 x, x - -2或x -3f(x) = 9.其图象如图x2 -1,-2 : x 二3欢迎您下载!所示，所以由y = f (x)+k恰有三个零点可得，-1-k2,所以-2wk1.故选d.【备考警示】一般情况下，这种问题常利用数形结合法，把此问题转化为求两函数图象的交点问题.x y _ 0【例3】（线性规划中的数形结合）不等式组x-y-6W0表示的平面区域的面积为.y 1【答案】16x y _ 0【解析】画出不等式组 Jx-y -6E0表示的平面区域，如图中阴影部分所示，则

7、阴影部分的面积为y M11 c ”84 =16.2B.D.【备考警示】对于线性规划中的区域面积问题，正确地画出平面区域的面积是正确求解的关键【例4】（向量中的数形结合）等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值为A.C.【答案】A【解析】如图，分别以等腰直角三角形的两直角边所在的直线为了轴、y轴建立平面直角坐标系，设A(2a.0)rB(0,2d)?则 F(aO),E(Og) , .而=(碍。而=3.设向量工瓦斯的夹角为9,则858=AE BFI存11万(2a: a) (a, -2a) 4a2【思路点拨】根据已知建立平面直角坐标系，将等腰直角三角形的两直角边所在直线作为x轴和y轴，分别设

8、出三角形顶点和两直角边中点的坐标，再代入坐标求解两中线所对应的向量的数量积和模，进而求得夹角的余弦值.【备考警示】涉及向量的坐标或几何意义时常通过画图进行解决反而更快捷22【例5】(解析几何中的数形结合)已知双曲线C： 324=1但A0,b A0)的右顶点为A,以A为圆心,M N两点.若/ MAN60 ,则 C的离心率为a bb为半径作圆A,圆A与双曲线 C的一条渐近线交于【答案】2_33【解析】如图所示，作AP_L MN ,因为圆A与双曲线C的一条渐近线交于 M N两点，b则MN为双曲线的渐近线y = x上的点，且A(a,0) , |AM|=|AN|=b, a|b|b2而 AP _LMN ,

9、所以 /PAN =30,点bA(a,0)到直线y = x的距离|AP|=a在 RtA PAN 中，cos/PAN =LPA! |NA|代入计算得 a2 = 3b2,即a = J3b ,由 c2 =a2 +b2得c = 2b,所以 e = - a2b 233b 3【名师点睛】双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题备受出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点：求解渐近线，直接把双曲线后面的 1换成0即可；双曲线的焦点到渐近线的距离是 b； ab双曲线的顶点到渐近线的距离是ab【备考警示】对于解析几何问题，常需要边读题边画图，找出基本量之间的基本关系才可以找准突破口拓展变式1 . 函数 f

10、 (x)=2x+lg( x+1) -2 的零点有A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【解析】解法一：因为却尸1+0-2-19 =4十睁-2=的令所以由图额零点存在性定理知，欧 在2)上必定存在零点.又人力=十崛父+1)-2在(T, +皿)上为增函数，故方)=0有且只有一个实根, 即函数通)仅有一个零点.解法二：在同一坐标系中作出h(x)=2-2x和g(x)=lg( x+1)的图象，如图所示，由图象可知h(x)=2-2号D g(x)=lg( x+1)有且只有一个交点，即 f(x)=2x+lg( x+1)-2与x轴有且只有个交点，即函数f(x)仅有一个零点.J_x y _ 02.不等式组|x-

11、y-6E0表示的平面区域的面积为.y 1【答案】16x y - 0【解析】画出不等式组Jx-y -6E0表示的平面区域，如图中阴影部分所示，则阴影部分的面积为y-11 c ”8 4 =16.23.已知ZXABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则pA (PB+PC)的最小值是A. -2EI. -2C. 一4D. 一13【答案】B【解析】如图，以 BC为x轴，BC的垂直平分线 DA为y轴，D为坐标原点建立平面直角坐标系,则 A(0,73), B(1,0), C(1,0),设 P(x, y),所以 PA = (x,T3 y) , PB = (1x,y),PC =(1x,-y),所以PB

12、 +PC =(-2x,-2y), F 22.3 233,，3,，PA(PB+PC)=2x -2y(V3-y)=2x + 2( y ：)2 3 之3 ,当 P(0,：-)时，所求的最小值为,故选B. 2【名师点睛】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.终极押题-、选择题1.已知集合 A=x|(x+2)(x3) 0, B =xw N* |x

13、10,则 AI B =A. 1,2.3B. 1,2C. 2,3D. 1，所以 AI B = 1,2,故选 B.【解析】依题意得,A=x2x0,b0)的一条渐近线过圆 Q:x +y 4x + 6y = 0的圆心，则双曲线 a bC的离心率为A.32B.D. 3P 13C. 审定部编版试题【答案】A【解析】依题意得，圆Q:x2+y24x+6y =0的圆心坐标为(2,-3),代入双曲线的渐近线 y=Bx中, a得-3 = -2b ,即 b = 3 ,所以 e= = Jl+(B)2 =Y13 ,故选 A. a a 2a 1. a 25 .算法统宗是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该著作完善了

14、珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“诵课倍增”就是其中一首：有个学生心性巧，一部孟子三日了；每日增添整一部，问君每日读多少？某老师据此编写了一道数学题目：一本书共有1533页，一位同学9天读完，所读页数逐日增加一倍，问这位同学第5天所读的页数为A. 24B. 48C. 64D. 96【答案】B【解析】根据题意可知,每天所读页数是一个公比为2的等匕儆列，假设第1天读的页数为口，根据等比数列求和公式可得胃=1533解得3,故这位同学第5天所读的页数为3x2- = ,故6 .已知一个简

15、单几何的三视图如图所示，则该几何体的表面积为【答案】D【解析】由三视图知对应的几何体是底面半径为3,高为4的二圆锥与底面为直角边长为 3的等腰直角4三角形，高为4的三棱锥组成的组合体， 所以圆锥的母线长为 5,如图，在三黏t P-OBC中，侧棱PO垂直于底面，PB =PC =5 , BC =3J2，所以该几何体的表面积为1M 冗父3父5+1父 UX32+- x 3x3+- x 6x4+1 x 372 x/52 -(32)2 =6 /+33,341 故选 d.44222-2 )2B欢迎您下载!7 .函数f(x) =(2x _2)cosx在区间一n,n上的图象大致为【答案】B【解析】易知/(功为R

16、上的奇国额，故只需研究工时的图象即可.注意到/(7L)= (2I-2-，)C0S7LO,故排除X、C两个选项当时，可得21-尸0?的工0, it时 0，故排除D选项，故选Bx - -18 .已知x, y满足约束条件3x5y+250,则目标函数z = 3x+y的最大值为x 4y-3-0A.-2C.B. 4D. 6审定部编版试题【解析】由题画出可行域如图所示，可知直线z=3x+y过点A-1,多i时，目标函数取得最大值,5即Zmax =-,故选C.59.执行如图所示的程序框图，若输入m=1,n=3,输出的x = 1.625,则空白判断框内应填的条件为开始是中=工片上 口 一吉33欢迎您下载!A. |

17、m-n|vlB. |m n|0.5D. |m n|v0.1C. |mn|v0.2【答案】C【解析】执行第1次，rn = tn = 3? JC = -2；寸一3 = 4-3b否，兑=2 , |卅一川=1,因为兀=2不是输出结果，故不满是条件，循环，陋+附%Q112执行第2次，x=-= -, *_3 =;_30,是，掰二三，I印一川=因为工=:不是输出结果,224222故不满足条件，循环，m n 7249 -7 ., 17 ,一执行第3次，x=m=7, x2 3=4930,否，n=7 , |m n| = 1 ,因为x = 7不是输出结果，2416444故不满足条件，循环，m n 13216913,

18、 113执仃第 4 次，x = , x -3 = 3 b 0）的一个焦点为F ,该椭圆上有一点 A ,满足zOAF是等边三角形（O a b为坐标原点），则椭圆的离心率是A. ,3-1B. 2 - ,3C 2 -1D- 2-2【答案】A【解析】不妨设尸为椭13的右焦点，点月在第一象限内，则由题意得会与将其代入椭圆方程得白+第结合化简并整理得“溢2+汇皿即八4皿结a,b,c的方程或不合解得=6一1,故选A.【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于等式，再根据a,b,c的关系消掉b得到a,c的关系式.建立关于a,b,c的方程或不等式时，要充分利用椭圆和双曲线的几何性

19、质、点的坐标的范围等.12 .已知关于x的方程|2x3 -8x|+mx=4有且仅有2个实数根，则实数 m的取值范围为A. (一1,1)C. (-2,2)【答案】DB.（一二，_1）U（1,二）D.（-二，-2）U（2,二）3m qx2f【解析】依题意得，|2x3 8x| = 4mx,即| x3 4x |= 2 x ,故问题转化为函数 y=|x34x|与y =2 ；x的图象有两个交点.令f （x） =x3 4x ,则f，（为=3x2 -4 （ xxw（久3,与）时，函数f（x）单调递减，当xw（g,延）和xw （延,+g）时，函数f（x）单 3333调递增，作出函数 f（x）的大致图象如图（1）

20、所示，进而得到函数 y =|x3 -4x|的大致图象如图（2）所示，又函数y =2m2x的图象恒过点（0,2）,当函数y = 2 - 1x的图象与曲线y=|x3 4x|相切时:设过第一、二、三象限的切线的切点为（设，小），则易求得该切线方程为y-yo=（4-3x2）（x-x0）,32、即y -（4xo -xo）=（4 -3xo）（x x0）,将（0, 2）代入，解得 x0 =1 ,故切线斜率为1,切线方程为y = x+2 ,此时切线方程正好经过（-2,0）（如图（2）中虚线位置所示）；由对称性可知，过第二、四象限的切线的斜率为-1,所以-m1或-m-1,解得m2,故选D.22图3）图二、填空题,log2(x + a), x 1、|x|+3【答案】1010【解析】由f (0) =2,得10g2a =2 ,解得a=4,又由f (2)=二-= 2，所以a+f (2) = 2.2 314 .