导数的概念经典例题

1、经典例题透析类型一：求函数的平均变化率21例1、求y 2x2 1在x0到x0x之间的平均变化率，并求 x0 1 , x 5时平均变化率的值思路点拨：求函数的平均变化率，要紧扣定义式一y f(x一x)一回)进行操作.x解析：当变量从x0变到xo x时，函数的平均变化率为2_24x0f(xox) f(xo) 2(xox) 1 2xo 1xx25.一1 一.当xo 1, x 时，平均变化率的值为：4 12只要求出平均变化率的表达式，其他就迎刃总结升华：解答本题的关键是熟练掌握平均变化率的概念， 而解.举一反三：【变式1】求函数y=5x2+6在区间2,2+ x内的平均变化率。【答案】y 5(2 x)2

2、 6 (5 22 6) 20 x 5 x2,所以平均变化率为上20 5 x。 x【变式2】已知函数f (x) x2,分别计算f (x)在下列区间上的平均变化率：(1) 1 , 3;(2) 1,2;(3) 1 ,;(4) 1 ,.【答案】(1) 4; (2) 3; (3); (4).12.【变式3】自由落体运动的运动万程为s gt2 ,计算t从3s到，各段内的平均速度(位移 s的单位为m)。【答案】要求平均速度，就是求 一s的值，为此需求出s、 tot设在3 ,内的平均速度为 V1,则t1 3.1 3 0.1(s),12 12S s(3.1) s(3) -g 3.12 -g 320.305g(m

3、) o所以 V1事 0.305g 3.05g (m / s)。t10.1s20.03005g同理 v2 - 3.005g (m / s) 0t20.0111xxV3S30.0030005gt30.0013.0005g (m / s)。【变式4】过曲线y一3f (x) x 上两点 P(1,1)和 Q(1x,1y)作曲线的割线，求出当x 0.1时割线的余率.【答案】当x 0.1时k(1y) 1PQ(1x) 1f(1 x) f(1)(1x)3 1x山 3.310.1类型二：利用定义求导数例2、用导数的定义，求函数f(x)在x=1处的导数。y f(1 x)1 . 1 x1 x1 1 x(11 x)、1

4、xf,(1)总结升华:(1 .1 x) - 1 x (1 J x) , 1 x.y1lim 。x 0 x2利用导数的定义求导数的步骤:第一步求函数的增量 y ；第二步求平均变化率；第三步取极限得导数。 x【变式1】已知函数y 1 .X(1)求函数在xx=4处的导数.(2)求曲线Jx上一点P(4,：)处的切线方程。(1) f'(4)lim f(4x)f(4)x 0 x1lim 4xx 0.4x4lim x 0(4 x 2)11m04(4 x) . 4 x 2lim 1x 0 4(4 x)5516(2)由导数的几何意义知，曲线在点处的切线斜率为f'(4)，所求切线的斜率为所求切线方

5、程为 y5o1675 /(x4164),整理得5x+16y+8=0。【变式2】利用导数的定义求下列函数的导数:(1)f(x)(2)f(x)(3)f(x)(4)f(x)(1)f (xx) f (x)c 0,f(xx) f(x) 0ylimx Ilim 0x 00。(2)f (xx)f(x)y1xlim -yx 0 x(3)y f (xx)f(x)(xx)22x x ( x)22x xylim ylim(2 xx 0 xx 0x)2x。(4)y f (x x) f(x)x x (xx) x (x x) x(x1x) x y'lxmo-xlimx o(x x) x1o2x例3、求曲线y=x3

6、+2x在x=1处的切线方程.思路点拨：从函数在一点处的导数定义可求得函数y=x3+2x在x=1处的导数值，再由导数的几何意义,得所求切线的斜率，将 x=1代入函数可得切点坐标，从而建立切线方程.解析：设 f (x) x3 2x.f(1f'(1)则。，x) f(i)lim (1 x)32(1 x) (132 1)x 0x项0x( x)2 3 x 52lim( x)2 3 x 5 5由f(1)=3 ,故切点为(1, 3),切线方程为y3=5(x1),即y=5x2.总结升华：求函数y f(x)图像上点P (x0,y0)处的切线方程的求解步骤:求出导函数在x x0处的导数f'(x。)(

7、即过点P的切线的斜率)，用点斜式写出切线方程，再化简整理。举一反三：【变式】在曲线y=x2上过哪一点的切线:(1)平行于直线 y=4x5;(2)垂直于直线 2x6y+5=0;(3)与x轴成135°的倾斜角。【答案】f'(x)lxm°虫x) f(x)lim(xx)2x2x ox设所求切点坐标为 P (1)因为切线与直线 即 P (2, 4)。(x。，y。)，则切线斜率为k=2x。y=4x5 平行，所以 2xo=4, xo=2yo=4,(2)因为切线与直线12x6y+5=0 垂直，所以 2% -33 9即P( 3,9)。2 4(3)因为切线与x轴成135。的倾斜角，所以

8、其斜率为一1。即112' Yo Z'例4.已知函数f(x)可导，若f(1) 3,-2 一f(x ) 3解析：limx 1f (x ) 3 limx 1 x 1f(x2) 3x2 1(x 1)(f(1) 3)f(x2) f(1)x2 1(x1)lxm1f(x2) f(1)x2 1lxmi(x 1)(令 t=x221tmf(t) f(1)2f'(1) 2【变式】已知函数f(x)可导，若f (3)求limx 32x 3f (x)【答案】lim空x 33f(x)(2x 6) 6 3f(x)呵232 f(x)3limx 3f(3) f(x)3lxm3x 3f(x) f(3)3f&

9、#39;(3) 2 32) 8类型三：利用公式及运算法则求导数例5.求下列函数的导数:(1)(2)(3)log 2 xlog2 x(4)y=233x?+5x + 4解析:(1)y1(x4),4 14x4x(2)y1(5,),3(x5),3x55_3_55 x2(3) ylog 2 xlog 2 x log 2 x ,y' (Iog2 x),1x ln2_322( x )' 3(x )' 5(x)' (4)'6x2 6x 5(4) y'总结升华：熟练掌握导数基本公式，仔细观察和分析各函数的结构规律,不具备求导法则条件的，一般要遵循先化简，再求导的原

10、则, 问题水到渠成.举一反三：【变式】求下列函数的导数：选择基本函数求导公式进行求导； 适当进行恒等变形，步步为营，使解决(1)(2)(3)y 2sin：(1 2cos2 -x)y=6x3 4x2+9x 6(1)3(x . x)' (x2)3x323、g2(2)2sin 二(1 2cos2 3) 242sin x(2cos2- 1)242sin - cos- sin x22(4)y'2(x sin x)cosx.(3)6( x3)' 4( x2)' 9(x)'(6)' 18x2 8x 9例6.求下列各函数的导函数(1)f(x) (x2 1)(2x

11、 3)；(2) y=x2sinx;(3 )xe 1y=;ex 1(4)x cosx y=x sin x解析:（1）法一：去掉括号后求导.f(x) 2x3 3x2 2x- 2 一 一f'(x) 6x 6x 2法二：利用两个函数乘积的求导法则f'(x) (x2 1)'(2x 3) (x2 1) (2x3)(2)=2x(2x 3)+(x 2+1) X 2=6x2 6x+2y' = (x2) ' sinx +x2 (sinx ) ' =2xsinx+ x2cosx(3 )y'xxxx(e 1)(e1) (e 1)(e1)(ex 1)22exx 2

12、(e 1)(x cosx)(x sin x) (x cosx)(x sin x)(1 sinx)(x sin x) (x cosx)(1 cosx)7、2(x sin x)_ xcosx xsin x sin x cosx 1(x sin x)2举一反三：【变式1】函数y (x 1)2(x 1)在x 1处的导数等于()A. 1 B . 2 C .3 D .4 【答案】D法一： y' (x 1)2'(x 1) (x 1)2(x 1)'-22_2(x 1) (x 1) (x 1) 3x 2x 1' y'lx1 4.法二： y (x 1)2( x 1) (x2

13、 1)(x 1)y' (x3)' (x2)' x' 1' 3x2 2x' y'lx1 4.2x3【变式2】下列函数的导数 2 (1) y (x 1)(2x 3x 1)；(2) y【答案】2x35x2 2x 1(1)法一：y 2x3 3x2 x 2x2 3x 1 2 y 6x 10x 2法二：y (x 1)(2x2 3x 1) (x 1)(2x2 3x 1)2x2 3x 1 + (x 1) (4x 3)_2-6x 10x 2313(2) y 2x2 3x 2 x 1 x 213O 232 y3x - x2【变式3】求下列函数的导数(1) y

14、x(x21工)3) x x(.x 1)(1); (3)x5 、. x sin x2x(1) y3x22x(2) y1晨X 1321x y(3) y y3x22(x )'sin x2x (sin x)'3x23 c2x sin x x2cosx.类型四：复合函数的求导例7.求下列函数导数.(1)(3)4 ，(1 3x)(2) y ln(x2x 1e ;(4) y cos(2 x 1).思路点拨解析：:求复合函数的导数首先必须弄清函数是怎样复合而成的,然后再按复合函数的求导法则求导(1) y1 3x.y'xy'uu'x(u4) (1 3x)(2) y y(3

15、) y4u123)_ 512u(1 3x)511 ux (lnu)'(x 2)2x 1.y'u u'x(eu)'(2x 1)u2ec 2x 12e(4) y cosu, u 2x1,y'xy'u u'x (cosu)' (2x 1)2sin u 2sin(2 x 1).总结升华:复合函数的求导，一定要抓住“中间变量”这一关键环节，然后应用法则，由外向里一层层求导，注 意不要漏层。熟练以后，可以摆脱引入中间变量的字母，只要心中记住就行，这样可以使书写简单；求复合函数的导数的方法步骤：(1)分清复合函数的复合关系，选好中间变量；(2)

16、运用复合函数求导法则求复合函数的导数，注意分清每次是哪个变量对哪个变量求导数并把中间变量换成自变量的函数(3)根据基本函数的导数公式及导数的运算法则求出各函数的导数, 举一反三：【变式1】求下列函数的导数：(1) y (1 2x2) 2 yxyuux (u ) (1 2x )； y Vx Vx2_x(3)y=ln( J x2x V 1 x21 x2+寸1 x )；(4) f (x) e (cosx sin x)【答案】令 u 1 2x2, y u8,_ 7 _ 2 78u 4x 32x(1 2x ).11(2)令 u x x3,y u3,yx(u3) (x x3)22113 .13 .13u

17、(1 x ) x x333213一 x3(3) y'1171x(x -1 x )' = (1)(4) f '(x)e x ( x)'(cos x sin x)e x (cosx sinx)ex(cosx sin x)e x( sin x cosx)e x( sin x c0sx c0sx sin x) e x( 2sin x)2e x sin x类型五：求曲线的切线方程例8.求曲线y=x3+2x在x=1处的切线方程.解析：y' 3x2 2,-2_y'lxi 3 12 5x=1 时，y=3,切点为(1,3),切线斜率为5切线方程为 y3=5(x1)

18、,即y=5x2.总结升华：求函数y f(x)图像上点P (x0,y0)处的切线方程的求解步骤：求出函数y f(x)的导函数y f'(x)求出导函数在x x0处的导数f'(x。)(即过点P的切线的斜率)，用点斜式写出切线方程，再化简整理。举一反三：11【变式1】求曲线y 1，切线万程为y - x ，即4x 4y 1 0.42【变式3】已知曲线C : y x3.(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线的方程；(2)第(1)小题中的切线与曲线 C是否还有其他的公共点？在点(；2)处的切线的斜率，并写出切线方程.解析： y'(1)'xx，切线的斜率k y| 14.x 21

19、，切线万程为y 24(x万)，即4x y 4 0.【变式2】已知P( 1,1), Q(2,4)是曲线y x2上的两点，则与直线 PQ平行的曲线y x2的切线方程是.【答案】y x2的导数为y' 2x.设切点 M (x0,yO),则 y'|x . 2xo. PQ的斜率kPQ 生1,又切线平行于 PQ , 2 111 1、 k y |x x0 2xo 1,Xo a , 切点 M (2,4),【答案】(1)将x 1代入曲线C的方程得y 1, 切点P(1,1). 2 y 3x，.二 y |x 1 3.过点P的切线方程为y 13(x 1),即3x y2 0.(2)由 y3x 2 可得(x

20、1)(x2x 2) 0 ,解得 x1 或 x2.y x从而求得公共点为 P(1,1),或P( 2, 8).切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另外的点.2例9.已知直线I,为曲线y x x 2在点(1, 0)处的切线，12为该曲线的另一条切线，且1112.(1)求直线l2的方程；(2)求由直线11、I2和x轴所围成的三角形的面积解析：(1) y' 2x 1, y'|x 12 113直线I1的方程为y 3x 3.设直线l2过曲线y x2x 2上的点 B(b,b2 b 2),则I2的方程为y (b2 b 2)一，、一一2(2b 1 Xx b),即 y (2b 1)x b一一 12因为 I1 l2,则有 2b 1- , b .33,122所以直线l2的方程为y x .39c c1y 3x 3,x,(2)解方程组 122 得 6广y -x ,539 y2.所以直线l1和l2的交点坐标为15(6 2).一-一，一八一，22小I1、I2与x轴父点的坐标分力为(1, 0)、(,0),31 255 125所